Del átomo al Higgs IV: La electrodinámica cuántica y los primeros ejemplos de la teoría cuántica de campos

1926-1929: Maxwell se encuentra con la Mecánica Cuántica

Propuesto intuitivamente por Michael Faraday, y descrito (podríamos decir quizás, literalmente inventado) hace 150 años por James Clerk Maxwell, hoy nadie podría poner en duda la realidad del campo electromagnético. Toda nuestra tecnología y nuestra vida cotidiana está apoyada en servicios y productos que existen gracias a la inteligencia conseguida desde el último tercio del S. XIX sobre las leyes del electromagnetismo y luego de la mecánica cuántica, claro: querido lector, pregúntese cómo está llegando este texto a su pantalla y si esto hubiera sido posible sin electromagnetismo o sin mecánica cuántica.

Debe destacarse el enorme salto conceptual implícito en el electromagnetismo de Faraday y Maxwell, que dio por vez primera carta de naturaleza al concepto de campo como entidad irreducible. En 1940 A. Einstein, comentando sobre la novedad de la concepcion maxwelliana dice: “it took physicists some decades to grasp the full significance of Maxwell”s discovery, so bold was the leap that his genius forced upon the conceptions of his fellow-workers”.

Faraday y Maxwell imaginaron inicialmente el campo como una excitación “mecánica” de un cierto medio material subyacente, el famoso éter luminífero, pero hoy sabemos que el campo electromagnético no requiere de soporte material o de ningún medio para su existencia ni para su propagación. El campo electromagnético puede existir en el vacío, al igual que el gravitatorio y al contrario por ejemplo del sonido, que requiere un medio de propagación, sea la atmósfera, un raíl, la Tierra etc.)

Hay un doble aspecto en el que campo electromagnético clásico es un sistema “continuo”. El primero se refiere a que el campo electromagnético se extiende a través del espacio y a lo largo del tiempo: se trata pues de algo definido en un “sustrato” inmaterial continuo, el espacio-tiempo. El otro, más relevante para nuestra historia, consiste en que los valores que puede tener el propio campo forman una entidad continua: en la teoría de Maxwell, hay campos más y menos intensos, y si tenemos un cierto campo, es imaginable otro campo menos intenso, y a su vez otro, y otro, y otro y este proceso se supone iterable sin límite. La luz, que es una onda electromagnética, corre la misma suerte en las teorías clásicas: la intensidad luminosa se podría disminuir y disminuir, hasta llegar a valores todo lo pequeños que queramos.

El campo electromagnético tiene energía (y momento, y momento angular…). Los campos cada vez menos intensos poseen, en la teoría de Maxwell, densidades de energía cada vez menores, sin que exista ninguna cantidad de energía mínima que el campo pueda tener. Nótese la analogía de este segundo aspecto con la hipótesis clásica de que la materia sea indefinidamente divisible.

Los átomos emiten y absorben luz. Y la luz es una onda electromagnética. Hacia 1900, en manos de Lorentz y otros, se habían planteado los primeros modelos —que hoy sabemos incorrectos— para describir la emisión y absorción de luz por la materia, que se basaban en el electromagnetismo de Maxwell y en la mecánica Newtoniana.

El descubrimiento de la estructura atómica nos obliga a reconocer que al llegar a los átomos hay un límite natural para la subdivisión de la materia, por debajo del cual no es posible continuar subdividiendo en fragmentos que sigan teniendo la misma naturaleza. Esto significa que un pedazo macroscópico de materia tiene un número finito (aunque sea extremadamente grande) de átomos. Precisar esta idea conduce al número de Avogadro, dentro de un orden de ideas que se discutieron en varios posts anteriores.

Pues bien, resulta que algo profundamente análogo le ocurre al campo electromagnético. La Mecánica Cuántica exhibe aquí de nuevo su universalidad, un rasgo en el que no siempre se insiste debidamente. No sólo existen “átomos” de materia, también hay “átomos” del campo electromagnético, o “átomos de luz”, que de alguna manera son los ingredientes elementales del campo.

Un campo electromagnético como el radiado por una estación doméstica de WiFi, o el que emite a través del espacio la energía producida en el Sol (una parte mínima de la cual acaba llegando a la Tierra) transporta en un tiempo dado un número finito (aunque sea extremadamente grande) de esas unidades mínimas de campo electromagnético. Estas “partículas de luz”, los fotones, fueron bautizados así por Lewis en 1926 aunque hubieran sido ya propuestas por Einstein en 1905 para explicar el efecto fotoeléctrico. He leído, aunque no me consta con seguridad, que el propio Einstein nunca empleó el término fotón (parece que siempre habló de “cuantos de luz”). En cualquier caso la cita de Lewis, en una carta al editor de Nature Magazine (Vol. 118, Part 2, December 18, 1926, page 874-875) en la que hace su propuesta es sorprendentemente poco conocida:

I therefore take the liberty of proposing for this hypothetical new atom, which is not light but plays an essential part in every process of radiation, the name photon.

Los fotones, que constituyen el aspecto corpuscular del campo electromagnético cuántico, entraron en la historia bajo el nombre genérico de “cuantos de luz” un cuarto de siglo antes de que comenzara a desarrollarse la teoría cuántica correcta del campo electromagnético, la electrodinámica cuántica, de la que hablamos a continuación.

1928-1948 La electrodinámica cuántica y el nacimiento de la idea de campo cuántico

A lo largo de toda la década de los 1920s, estaba claro que los conceptos necesarios para estudiar la emisión y absorción de luz por los átomos debían adaptarse a la naciente Mecánica Cuántica. Para conseguir este objetivo no bastó simplemente con yuxtaponer el Electromagnetismo clásico con la Mecánica Cuántica, sino que fue necesario construir una nueva teoría que conjugara ambas en un todo coherente.

Esta nueva teoría se llama Electrodinámica Cuántica, y se suele abreviar con el acrónimo inglés QED. Los primeros pasos los dió Dirac en 1928, y la teoría se completó tras la segunda guerra mundial en 1948; el Premio Nobel de 1965 se concedió conjuntamente a tres de sus artífices finales, el japonés Sin-Itiro Tomonaga y los norteamericanos Julian Schwinger y Richard P. Feynman, mientras que Dirac compartió con Schrödinger el de 1933.

Si se mide por el número de decimales exactos de alguna de sus predicciones, la QED resulta ser una de las teorías físicas con mayor poder predictivo. La razón giromagnética del electrón, el factor 2 del que hablamos en el post anterior, resulta ser ligerísimamente diferente de 2 y se conoce experimentalmente ge = 2.0023193043617(15) con once cifras significativas exactas. La discrepancia con respecto al valor 2 se debe a efectos descritos por la QED, que permite su cálculo teórico obteniendo una coincidencia de ¡once cifras significativas!  Se suele decir que esta precisión es comparable a la de conocer la distancia entre Madrid y Nueva York con un error del grosor de un cabello.

Los fotones, los cuantos del campo electromagnético, son partículas estables, que se producen y/o absorben en las transiciones atómicas. “Extraer” un fotón de un campo electromagnético subyacente (por ejemplo, del campo de un átomo) es fácil y para ello basta aportar un poco de energía (calentando un hierro, se pone al rojo y emite luz) y una vez extraído (o emitido) el fotón se mantiene estable, aunque no pueda quedarse quieto debido a que es de masa nula, e inicia su viaje en la dirección en que fue emitido, hasta acabar, si no es absorbido antes, llegando a nuestra retina o a la Luna. Como consecuencia de que los fotones sean estables y de masa nula, podemos recibir fotones procedentes de la bombilla de nuestro escritorio, del Sol o de la galaxia más lejana que podamos observar. Es realmente impresionante reconocer cómo todo lo que sabemos de la estructura atómica de la materia ordinaria, que ha conducido a todas nuestras tecnologías modernas, se explica con la conjunción entre Electromagnetismo y Mecánica Cuántica ordinaria.

Pero si queremos ir más allá, y describir la posibilidad de interacción entre electrones y fotones en cualquier situación, no solamente en el interior de un átomo, aparece algo radicalmente nuevo.

En el interior de un átomo, las energías cinéticas de los electrones son mucho menores que su propia energía en reposo. Esto se suele enunciar dando el orden de magnitud \frac{v}{c}\approx \frac{1}{137} de la “velocidad” con que se mueve el electrón en un átomo de Hidrógeno en su estado fundamental. El valor, menor del 1 por ciento de la velocidad de la luz,  justifica que se diga que los electrones en el átomo son poco relativistas, y esto también explica a posteriori que una teoría no-relativista, como la Mecánica Cuántica ordinaria fuera capaz de explicar la estructura atómica con tan buena aproximación. En estas condiciones, la idealización de que el número de electrones en el átomo se mantiene constante es perfectamente aplicable.

Pero en otras circunstancias, en las que la energía disponible pueda ser mucho mayor que la energía en reposo del electrón, debemos esperar que el número de partículas de cada tipo, tanto fotones como electrones, sea cambiante, y en general no tenga ningún valor definido: un electrón puede aniquilarse con un antielectrón, produciendo fotones. Y un fotón puede ser absorbido por un electrón y desaparecer como tal fotón.

Lo que significa que aunque para describir lo que ocurre se use el mismo término de lenguaje, “campo“, el contenido conceptual de la idea completamente nueva llamada a describir estas situaciones es muy diferente del que corresponde al campo electromagnético en electromagnetismo clásico o a la función de onda en Mecánica Cuántica ordinaria. Estos dos últimos son, ambos, campos clásicos. Parece que la anterior frase es una boutade o un juego de palabras, pero ignorarla ha generado históricamente mucha confusión innecesaria; podría parecer que la función de onda, cuyo sentido pertenece a la mecánica cuántica, debería ser un objeto cuántico, pero realmente es más un campo clásico asociado a un “primer nivel” de la dualidad onda-partícula.

Para aliviar la posibilidad de confusión, es habitual referirse a estos campos que describirán un número variable y cambiante de partículas en ellos —electrones o positrones, fotones, u otras en otras teorías— como campos cuánticos. Estos objetos son los que realizan, de verdad, la fusión del aspecto campo y el aspecto partícula a la que se refiere la dualidad onda-partícula. Tradicionalmente, y por seguir la nomenclatura histórica, al esquema así obtenido se le denomina “segunda cuantificación“.

De manera que para construir una electrodinámica cuántica, una teoría cuántica que describa la absorción y emisión de luz por los átomos, y en general, la interacción de la materia y la radiación electromagnética, necesitamos de dos campos. Uno es el campo cuántico de materia, cuyas partículas son los electrones (y sus antipartículas, los antielectrones o positrones); la ecuación básica que rige la evolución temporal de este campo es la ecuación de Dirac. El otro es el campo cuántico electromagnético, cuyas partículas son los fotones.

La relación entre el aspecto “partícula” y el aspecto “campo” de un campo cuántico es sutil. El campo cuántico tiene en común con las ondas clásicas el estar definido en un continuo que es el espacio-tiempo, pero, y esto es lo que marca la diferencia con las ondas clásicas, su “intensidad” está cuantizada y la energía que contiene el campo no puede ser menor que un cierto valor mínimo. Las partículas aparecen como los “átomos de campo”, esto es, como los campos de intensidad menor posible y cualquier otro campo puede verse también como un conjunto de tales partículas, en diferentes estados monoparticulares, en número que puede ser arbitrario y que además puede cambiar con el tiempo, lo que corresponderá a procesos de creación y destrucción de partículas.

Usando solamente el lenguaje ordinario es muy difícil transmitir de manera correcta esta relación: quizás la mejor manera sea decir que simultáneamente las partículas son las excitaciones mínimas o excitaciones elementales del campo, y que el propio campo es una asamblea de un cierto número, cambiante, de tales partículas en diferentes estados. Pero ninguna de estas afirmaciones puede ni debe tomarse de manera demasiado literal si se está pensando en las partículas o en las ondas de la mecánica clásica; la interpretación correcta requiere el formalismo conceptual de la Mecánica Cuántica, cuyas matemáticas nos ofrecen una descripción completamente precisa e inambigua.

Y el significado físico de la relación entre los aspectos “campo” y “partícula” que se integran en un campo cuántico depende de manera crucial del principio cuántico de superposición. Este principio comparte el nombre, pero no el contenido, con el principio  de superposición clásico, lo que es en cierto sentido muy desafortunado, ya que al emplear un término familiar no se pone en guardia sobre la impresionante y radical novedad conceptual que tal nuevo principio esconde.

La QED, la teoría cuántica de la interacción del campo electromagnético y los electrones se debe inicialmente en una gran medida a Paul Dirac, quien aportó la ecuación correcta que describe a los electrones en una teoría cuántica relativista —la ecuación de Dirac— y planteó el formalismo adecuado para los campos cuánticos, que describen sistemas formados por un número arbitrario y posiblemente variable de partículas: electrones, positrones, fotones, ….. Desarrollada en los siguientes veinte años por muchas personas, la electrodinámica Cuántica fue el primer eslabón hacia nuestras actuales teorías, englobadas en el modelo estandar.

Con nuestra perspectiva actual, hoy vemos que la electrodinámica cuántica tiene una estructura matemática destacada: la QED es una teoría con invariancia gauge. Que esta característica era esencial no estaba claro para todos en la época inicial de construcción de la QED ni consiguió un reconocimiento generalmente aceptado hasta bastante más tarde. Como presentar y discutir esta cuestión se torna enseguida algo demasiado técnico, espero colgar en su momento un post sobre la idea gauge en la página En 496 segundos. Aquí me limito a dar unas pinceladas sobre esta cuestión, el mínimo que permita dar sentido y continuidad conceptual a la historia.

La mayoría de edad de la idea de la invariancia gauge, que hace su entrada en la física sin mucha fanfarria, llega con el trabajo de Hermann Weyl en 1929. Hermann Weyl estaba en la posición adecuada, ya que en 1918 había efectuado una propuesta de corte matemáticamente semejante, para tratar de unificar el electromagnetismo con la recién nacida teoría de la gravitación de Einstein. En aquel intento, que resultó fallido, Weyl había introducido el término eichinvarianz (invariancia de escala), que dió origen más adelante al término “gauge” (un término que en inglés se emplea como una referencia de tamaño o de calibre, por ejemplo para los anchos de vía de ferrocarril o para los diámetros de los alambres).

Ya en 1926 Vladimir Fock, y en 1927 Fritz London habían analizado el problema de la ambigüedad intrínseca del potencial electromagnético —la libertad gauge de la teoría— en la nueva Mecánica Cuántica. Hoy sabemos que ese análisis lleva a la idea del acoplamiento electromagnético mínimo, una “regla de sustitución” que aplicada a la ecuación que describe un sistema libre, en ausencia de interacciones, conduce a la ecuación que describe el sistema en presencia de la interacción electromagnética. Fue Hermann Weyl quien en 1929 lo vio claramente y lo elevó a la categoría de principio. Reproduzco  el abstract del artículo Electron und Gravitation, Zeit. f. Physik, 56 (1929), 330:

The Dirac field equations for \psi together with the Maxwell equations for the four potentials A_\mu of the electromagnetic field have an invariance property [….] the equations remain invariant when one makes simultaneous substitutions \psi \to e^{i \lambda} \psi , A_\mu \to A_\mu - \partial\lambda/\partial x^\mu. It seems to me that this new principle of gauge invariance, which follows not from speculation but from experiment, tells us that the electromagnetic field is a necessary accompanying phenomenon not of gravitation, but of material wave field represented by \psi.

Aunque los trabajos de Fock y London se encuadran en el contexto de la Mecánica Cuántica de una sola partícula en un campo electromagnético externo, que suponen  descrito clásicamente, por el electromagnetismo de Maxwell y nada más), la idea de Weyl va más allá, y realmente ya aparece formulada en el contexto de la nueva teoría cuántica del campo electromagnético de Dirac, la naciente Electrodinámica Cuántica. En esta nueva teoría el campo electromagnético está cuantizado y tiene “átomos”, los fotones, y se describe, al igual que el del electrón, por un campo cuántico.

Exigir que ninguna predicción observable de la teoría dependa de la elección de potenciales concretos —del gauge escogido— es una exigencia muy constrictiva, que prácticamente determina la forma de la teoría, precisamente a través de la regla de acoplamiento electromagnético mínimo. Y que además conduce de manera natural a la conservación de la carga eléctrica, como consecuencia de la simetría bajo el grupo de los cambios locales de fase de la función de onda, que en cada punto del espacio-tiempo es un grupo U(1).

En la QED, el primer ejemplo de ese paradigma, tan solo existen el “campo del electrón” y el “campo del fotón”. Los electrones y los fotones, vistos como partículas, aparecen como los átomos de esos campos, sus excitaciones elementales, los campos de menor intensidad que pueden existir. De manera que esta teoría da lugar a lo que podríamos decir un nuevo paradigma, el de la teoría cuántica de campos (QFT), que realiza finalmente el programa contenido en  la idea de dualidad onda-partícula. A diferencia de la mecánica clásica, donde existen dos entidades irreducibles, partículas y campos, en la QFT sólo existen campos cuánticos.

La descripción es puramente matemática pero adquiere un aura visual usando un lenguaje figurado. En vez de hablar del campo (que matemáticamente es un operador en un cierto espacio de Hilbert) se habla de partículas y sus antipartículas, electrones y positrones por un lado, fotones por otro, que a estos efectos se pueden imaginar más o menos como objetos que transportan energía, momento, y cargas.

Los electrones pueden emitir y absorber fotones, lo que se describe pictorialmente mediante unos diagramas, los diagramas de Feynman, cuyo papel es doble.  Superficialmente, estos diagramas dan una idea visual del desarrollo temporal de cada proceso posible. Pero el papel realmente importante corre por debajo: estos diagramas permiten sistematizar el cálculo de las cantidades observables de la teoría, mediante unas reglas precisas que asocian una contribución calculable matemáticamente a cada posible diagrama. Naturalmente, aquí no hablaré nada de este segundo papel.

Un diagrama de Feynman que representa la repulsión coulombiana

Un diagrama de Feynman que representa la repulsión coulombiana

Los diagramas se pueden entender sin necesidad de palabras: por ejemplo este es el de la interacción “de Coulomb” entre dos electrones. El tiempo se representa en la dirección vertical, el espacio en la horizontal. La antigua teoría clásica hablaría de una fuerza repulsiva entre ambos electrones, mientras que la nueva QED solo habla de un “intercambio” de fotones, que como son emitidos por un electrón y luego absorbidos por el otro tienen solamente una cierta existencia “virtual”, durante un lapso finito de tiempo. En el diagrama esto corresponde a que el fotón (representado en ondulado) es una línea interna, mientras que las de los electrones, que están desde el principio y salen al final, son líneas externas, entrantes o salientes. La ley de Coulomb establece que dos cargas eléctricas se atraen o repelen con una fuerza que decae con la distancia como 1/r^2. Esto, que a finales del S. XVII fué el punto de partida histórico del electromagnetismo clásico, aparece en la electrodinámica cuántica como una consecuencia: esta precisa dependencia espacial de la fuerza entre las dos cargas resulta del intercambio de “fotones virtuales” y del hecho de que los fotones reales sean partículas de masa nula.

En la QED cualquier proceso electromagnético —no solo la interacción coulombiana— podría describirse en último término como un “intercambio de fotones”, aunque la naturaleza real de ese intercambio no sea en algunas ocasiones nada intuitiva. Seguramente, como varios autores han señalado (ver por ejemplo este post en el blog de Matt Strassler), el nombre de partículas virtuales es manifiestamente inadecuado, pero como el uso no va a desaparecer por mucho que alguien lo señale como inadecuado, es mejor adoptar una postura pragmática, advirtiendo que un tal nombre debe tomarse más como una manera figurada de hablar o de transcribir lo que dicen las ecuaciones que como una imagen realista, que desde luego conviene poco ya que a estos “fotones virtuales” no les son aplicables estrictamente todas las propiedades que los reales deben satisfacer.

La exigencia de invariancia gauge impone de manera inescapable que los bosones portadores de las interacciones deben ser partículas de masa nula. La electrodinámica cuántica encaja con esta exigencia: efectivamente los fotones, que son los bosones portadores, son de masa nula. La electrodinámica cuántica fue de hecho el primer ejemplo histórico de este tipo de teorías y desde el punto de vista formal es la versión más sencilla imaginable pues el grupo de gauge que en ella aparece es el grupo uniparamétrico y abeliano U(1) que actua sobre las fases, \psi \to e^{i \lambda} \psi como ya enunciaba Weyl.

La QED ha resultado ser una teoría con un impresionante éxito predictivo. Ya mencionamos antes la inhumana precisión con la que se predice el factor giromagnético del electrón y la no menos abrumadora concordancia con las medidas de esta cantidad. Solamente si se está muy mal informado es posible afirmar que las teorías cuánticas de campos son especulaciones carentes de confirmación observacional. Lo que sí conviene anotar es que al tratar de observar un campo cuántico, la observación directa más factible es a través de sus partículas. Esto ocurre así ya en el caso del campo electromagnético clásico: nadie ha “observado directamente” un campo electromagnético, pero todos estamos “viendo” permanentemente fotones. Y ello es porque los efectos “visibles” del campo se transmiten a través de sus partículas, los fotones.

Lo que da una nueva perspectiva al mero hecho de “ver”.

Este post, “Del átomo al Higgs IV: La electrodinámica cuántica y los primeros ejemplos de la teoría cuántica de campos” forma parte de una serie. Este enlace lleva al post sucesivo. Si quiere saltar directamente a otro post de la serie, puede usar los enlaces directos a cada entrada.

O Átomos y vacío: donde Demócrito conoce a Higgs
I Los átomos de la materia ordinaria
II Cuantificación y la estabilidad del Átomo
III Espín, Bosones y Fermiones
IV La electrodinámica cuántica y los primeros ejemplos de la teoría cuántica de campos
V El nacimiento de la idea de las cuatro interacciones fundamentales
VI El Zoo de partículas y los primeros intentos de describir las interacciones fuerte y débil
Interludio: Los Nobel en la historia del átomo al Higgs
VII Dificultades iniciales de las teorías gauge entre 1954 y 1961
VIII Los quarks, desde su propuesta hasta su “descubrimiento” (1961 a 1974)
IX El campo de Higgs y el mecanismo de Brout-Englert-Higgs
X La libertad asintótica y la Cromodinámica Cuántica
Interludio: ¿Pero qué hay realmente en un protón?
Interludio. Calculando la masa del protón
XI El actual modelo estandar a vista de pájaro
XII 1898-1995, un siglo descubriendo partículas …
XIII Búsqueda y hallazgo del bosón de Higgs
Del átomo al Higgs: Para saber más
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