Interludio. Calculando la masa del protón

¿No has aprendido nada de Khayyám? «Súbitamente, el Cielo te quita hasta el instante necesario para humedecerte los labios.»

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Amin Maalouf, Samarkanda

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En el anterior Interludio comparaba, para los casos de un átomo y de un protón, las masas del sistema completo en relación con las masas de sus “partículas constituyentes”. Las dos situaciones son radicalmente diferentes, y las escalas de energía implicadas en ellas totalmente diversas.

El átomo está constituido por partículas dadas (para el hidrógeno, el protón y el electrón). Las masas de estas partículas son aquí “datos”, y la masa del sistema incluye a su suma y además a la “masa equivalente” que corresponde a la energía de interacción entre ambas. Ésta última es el resultado de un cálculo teórico descrito por el modelo del átomo según la Mecánica Cuántica. La masa que proviene de la energía de enlace del electrón (de los electrones) al núcleo es, en términos relativos, del orden de 10-8 (la centésima parte de una millonésima) comparada con la masa total del átomo, y la masa propia del electrón (de los electrones) es del orden de 10-3 (una milésima) de la misma cantidad. Esto quiere decir que en una aproximación razonablemente buena, del 1 por mil, la masa del átomo de Hidrógeno es la del protón, y la de un átomo cualquiera es la suma de las masas de sus nucleones. Como el número de éstos es entero, 1, 2, 3, … 26, 27, … y las masas del protón y el neutrón son muy parecidas, en una buena aproximación las masas de los diferentes átomos muestran un patrón predeciblemente escalonado.

Mirando hacia atrás, realmente el nacimiento de la Química moderna con el sistema periódico es deudor de esta característica. Cierto, la existencia de isótopos naturales y el hecho de que en la Naturaleza algunos elementos se presentan como mezclas de varios isótopos, de masas atómicas diferentes, complicó ligeramente la historia de este reconocimiento, al alterar el orden natural de masas atómicas de los elementos existentes respecto al de los números atómicos, que son quienes determinan la identidad química de cada elemento.

Y conviene apreciar que, en este campo, el gran éxito de la Mecánica Cuántica se refiere a la predicción precisa de la energía de interacción entre el electrón y el núcleo, una cantidad minúscula si se compara con la masa total, pero que es la responsable, esencialmente, de las propiedades químicas de la materia. Y que es del mismo orden de magnitud, electrón-voltio, que las energías de enlace entre átomos para formar moléculas y que las energías de los fotones en el rango de luz visible, entre 1.5 y 3 eV más o menos.

Ahora vemos que el valor muy pequeño de una relación numérica —que las energías de enlace de los átomos, traducidas a escala de masas sean despreciables frente a las masas de los núcleos de los átomos— permitió que se llegara a la inteligencia de la descripción cualitativa de la estructura atómica y al inicio de la Química  mediante una historia relativamente sencilla, historia que con seguridad hubiera sido muchísimo más complicada si este cociente numérico no hubiera sido tan pequeño.

Hasta aquí, los átomos. Pasemos a los nucleones. Ya hemos aprendido que los nucleones (protones y neutrones) no son elementales, sino que están compuestos de quarks ligados entre sí por gluones, y que hay muchas otras agrupaciones de quarks (todos los hadrones, entre ellos mesones como el pión y otros bariones además de los nucleones). Naturalmente ahora se plantea la cuestión de entender porqué las agrupaciones de quarks que existen tienen las propiedades que tienen. El desideratum sería predecir estas propiedades a partir de las leyes de la Cromodinámica Cuántica (QCD).

No es tan fácil hacer esto. Ya que éstas agrupaciones están descritas por la Cromodinámica Cuántica, se podría pensar en calcular, dentro de esta teoría, las masas de protones y demás hadrones. Que resultarían, como en el átomo, de las energías totales de las configuraciones de equilibrio de estos sistemas, incluyendo las de las masas de sus constituyentes y las energías de interacción. Así, la masa del protón, que era un “dato” al nivel del átomo pasa a ser en la QCD un valor que ésta teoría deberá ser capaz de predecir como resultado.

Tal cálculo deberá hacerse tomando como datos las masas de los quarks y el resultado debería ser consecuencia de las ecuaciones de la Cromodinámica Cuántica (QCD) que describen la interacción entre quarks y gluones en un hadrón. Pero la descripción de lo que hay realmente en el interior de un protón, recordemos, tres quarks más un mar fluctuante de un número indefinido de gluones y pares quark-antiquark debiera levantar la sospecha de que se trata de un cálculo extremadamente delicado.

La primera pregunta aparentemente de sentido común, sería: ¿pero cuantos pares quark-antiquark y gluones hay en un protón? Esta pregunta admite una respuesta precisa en  Mecánica Cuántica: el número es indefinido y cambiante. Esto parece absurdo. Pero no lo es: lo que hay en el protón admite una descripción completa a través de la Cromodinámica Cuántica, en el contexto de Mecánica Cuántica y en MC las preguntas que admiten respuesta reciben una respuesta unívoca, aunque haya otras —¿dónde está precisamente el electrón en un átomo?— que no tienen respuesta ni siquiera tienen sentido como preguntas. Y preguntar cuántos pares hay en el interior del protón es una de ellas. En relación con la Electrodinámica Cuántica, ya lo advirtió Feynman en su excelente libro QED: the strange theory of Light and Matter:

La teoría de la Electrodinámica Cuántica describe la Naturaleza como algo absurdo desde el punto de vista del sentido común. Y concuerda totalmente con los experimentos. Por tanto, espero que podáis aceptar la naturaleza tal como es: absurda.

Pero, aunque se conozcan las ecuaciones básicas que lo gobiernan, con las actuales técnicas el cálculo de la masa de un protón (o de cualquier otro hadrón) es imposible de efectuar de forma analítica cerrada y es extremadamente complicado (aunque posible) de llevar a cabo mediante combinaciones bastante alambicadas de modelización analítica y simulaciones numéricas, costosísimas en tiempo y en recursos de computación.

Tanto es así que las primeras simulaciones ab initio de la masa total de los nucleones tomando como datos las masas de los quarks y la dinámica de la QCD se han podido completar tan solo en tiempos relativamente recientes, digamos en los últimos 25 años. Se trata de simulaciones numéricas en el contexto de una discretización de la QCD en un retículo, la llamada “lattice QCD“. Además de esa técnica numérica, imprescindible para hacer el problema abordable, lo que se puede calcular es la masa de nucleones o de otros bariones o mesones relativamente a uno o varios de ellos que se toman como referencia, esto es, lo que se puede calcular son valores relativos de las masas. Tales cálculos requieren las potencias de los grandes superordenadores con procesamiento masivamente paralelo y ponen a prueba tanto la capacidad de éstos como el ingenio y sentido físico de los autores humanos del cálculo. Y es que, como dice Wilczek en su Nobel Lecture, en 2004:

… to predict the masses of mesons and baryons is hard work. It requires difficult calculations that continue to push the frontiers of massively parallel processing. I find it quite ironical that if we want to compute the mass of a proton, we need to deploy something like 1030 protons and neutrons, doing trillions of multiplications per second, working for months, to do what one proton does in 10-24 seconds, namely figure out its mass. Maybe it qualifies as a paradox. At the least, it suggests that there may be much more efficient ways to calculate than the ones we’re using.

De hecho, al parecer en parte la implicación de Feynman en la computación en sus últimos años no era ajena a su interés en este cálculo concreto, cuyos requerimientos son seguramente comparables a los de la simulación del tiempo atmosférico.

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Richard Feynman, vistiendo la camiseta con el logo de la version 1 de la Connection Machine. Fuente. Web de Long Now Foundation.

En este artículo accesible en la página de The Long Now Foundation y publicado originalmente en Physics Today 42, 78, (1989) se narran los detalles del episodio de la colaboración de Feynman en la Connection Machine, incluyendo una mención a esa finalidad (el texto está escrito por uno de los responsables de la empresa que desarrollaba el proyecto):

According to Feynman’s calculations, the Connection Machine, even without any special hardware for floating point arithmetic, would outperform a machine that CalTech was building for doing QCD calculations. From that point on, Richard pushed us more and more toward looking at numerical applications of the machine.

Los hechos a los que se refiere la  cita anterior ocurren en 1983, hace pues 30 años. Por entonces aún no era posible hacer simulaciones numéricas fiables del problema. Hacia mediados de los 90s se obtuvieron los primeros resultados que marcaron un hito en esta historia, a pesar de que los márgenes de error rondaban el 10 por ciento, que en muchos otros campos se consideraría una precisión francamente mediocre. Versiones cada vez más más elaboradas y optimizadas de estas simulaciones han llevado a resultados que coinciden con la masa observada de los nucleones y de otros mesones y bariones con un error teórico que se ha logrado reducir al 1 o 2 por ciento, error que es consistente con lo que se podría esperar a causa de las aproximaciones necesarias para hacer factible el cálculo, que sigue siendo un auténtico tour de force.

Sin entrar en los detalles, sí conviene decir que estos cálculos se basan en una complicadísima labor de orfebrería trabajando en un modelo discreto del espacio-tiempo, en la que se ha de buscar un compromiso entre la precisión de los resultados, el tiempo de computación y otros recursos disponibles.  Y hay otro compromiso diferente: al menos de momento, por motivos numéricos, no se pueden realizar simulaciones con los valores reales de las masas de los quarks u y d (que resultan ser “demasiado bajas”) y es necesario efectuar varios cálculos fingiendo que las masas de los quarks fueran mayores, e interpolar entre los resultados para estimar el que se obtendría si se dieran a las masas de los quarks sus valores reales; el procedimiento para llevar a cabo esta interpolación tampoco está libre de discusión. Finalmente, hay una parte de los cálculos que deben hacerse por otros procedimientos y juntarse al final con los resultados de la simulación. Ya dije en el post anterior que no era tarea para una tarde …

Pero el resultado es bastante satisfactorio. La concordancia entre los valores experimentales y las predicciones numéricas obtenidas a través de la QCD por parte de Dürr et.al. (Dürr, S. et al. Science 322, 1224–1227 (2008)) se muestra de manera bastante llamativa en la siguiente gráfica.

Las masas de varios hadrones, calculadas mediante la QCD. Fuente: artículo de Wilczeck en Nature.

Las masas de varios hadrones, calculadas mediante la QCD (en rojo, con barras verticales de error) y comparadas con los resultados experimentales (en negro; los rectángulos verticales corresponden a las anchuras de las partículas que son inestables). Datos de Dürr et al, 2008. Fuente: el artículo de Wilczek en Nature citado en el texto.

El gráfico, tomado del artículo Mass by numbers, de F. Wilczek, (Nature, 456, 449-450 (2008)), reproduce los resultados de los cálculos de Dürr et al. para las masas de los hadrones ligeros, incluyendo en los cuatro grupos separados por líneas verticales a mesones de espín 0, mesones de espín 1, bariones de espín 1/2 y bariones de espín 3/2. Estos cuatro grupos corresponden, en la clasificación del Eightfold Way,  al octete de los mesones escalares, al octete de los mesones vectoriales, al octete de los bariones  de espín 1/2 y al decuplete de  bariones  de espín 3/2.

En total son doce “partículas”, y el cálculo toma como referencia a tres de ellas, π, K y Ξ (para fijar los parámetros de la teoría, de manera que para esas tres, y por construcción, la simulación conduce a los resultados experimentales exactos). La bondad de la simulación la da el ajuste conjunto de las nueve restantes, que como se ve en la gráfica es excelente (las barras de los errores teóricos del cálculo son las líneas verticales en rojo). El cálculo usa exclusivamente la QCD, de manera que los grupos de hadrones que en un mismo multiplete tengan la misma hipercarga Y pero distinto isospin I3 (y por tanto cargas eléctricas distintas, como el protón y el neutrón) aparecen aquí como una sola partícula. Por ejemplo, el protón y el neutrón aparecen aquí bajo la identidad “nucleón” denotado simplemente N (éstas simulaciones basadas en la QCD pura no pueden predecir la pequeña diferencia de masa de origen presumiblemente electromagnético entre neutrón y protón). Nótese que como es habitual en la literatura, las masas se dan directamente en MeV, omitiendo el factor de conversión de energía a masa.

La excelente concordancia entre los resultados experimentales y la simulación numérica es un importante argumento más a favor de la QCD. Pero en vez de quedarnos “encantados de habernos conocido”, está claro que debemos ver aquí un reto aún mayor: el de desarrollar técnicas más potentes para este y otros tipos de cálculos que ahora nos vemos obligados a hacer aplicando estrategias que en cierto sentido aún son de fuerza bruta. Cedo la palabra para acabar a Wilczek en su artículo de 2008 en Nature:

Finally, let me add a note of critical perspective. The accurate, controlled calculation of hadron masses is a notable milestone. But the fact that it has taken decades to reach this milestone, and that even today it marks the frontier of ingenuity and computer power, emphasizes the limitations of existing methodology and challenges us to develop more powerful techniques

[Nota: Publico este interludio, que estaba ya escrito y suficientemente revisado antes de mi caída, anteponiéndolo a los dos restantes de la serie “Del Atomo al Higgs”, que aún tienen pendiente una revisión substancial que de momento no podré hacer, al verme abocado a una intervención para reducir la fractura. Disculpadme si por un tiempo desatiendo el blog, intentaré regresar lo antes posible. ¿Quien duda que Omar Khayyám era un sabio?]

Este post, “Interludio. Calculando la masa del protón” forma parte de una serie. Este enlace lleva al post sucesivo. Si quiere saltar directamente a otro post de la serie, puede usar los enlaces directos a cada entrada.

O Átomos y vacío: donde Demócrito conoce a Higgs
I Los átomos de la materia ordinaria
II Cuantificación y la estabilidad del Átomo
III Espín, Bosones y Fermiones
IV La electrodinámica cuántica y los primeros ejemplos de la teoría cuántica de campos
V El nacimiento de la idea de las cuatro interacciones fundamentales
VI El Zoo de partículas y los primeros intentos de describir las interacciones fuerte y débil
Interludio: Los Nobel en la historia del átomo al Higgs
VII Dificultades iniciales de las teorías gauge entre 1954 y 1961
VIII Los quarks, desde su propuesta hasta su “descubrimiento” (1961 a 1974)
IX El campo de Higgs y el mecanismo de Brout-Englert-Higgs
X La libertad asintótica y la Cromodinámica Cuántica
Interludio: ¿Pero qué hay realmente en un protón?
Interludio. Calculando la masa del protón
XI El actual modelo estandar a vista de pájaro
XII 1898-1995, un siglo descubriendo partículas …
XIII Búsqueda y hallazgo del bosón de Higgs
Del átomo al Higgs: Para saber más
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