Aquí irán todos los materiales, textos detallados y cuadernos de Mathematica que se emplearon en la asignatura ‘Mecánica Teórica’ durante varios cursos académicos. De momento se incluyen en la misma forma que durante el úkltimo curso en que impartí esta asignatura, pero faltan unos cuantos items que espero incluir en breve, según el tiempo lo permita. [Marzo 2023]
Esta es la página de la asignatura ‘Mecánica Teórica’, grupo en español, optativa de 3er curso de Grado de Física, impartida por Mariano Santander y Marcos Tello durante el primer cuatrimestre del curso académico 2019-2020.
Los contenidos que se van a colgar aquí serán enlaces a documentos de consulta aconsejada, comentarios complementarios a lo visto en clase, enunciados de problemas y de tareas para casa, etc. Las notas que pueda redactar sobre algunos de los temas desarrollados en clase estarán disponibles en la subpágina ‘Notas de Mecánica teórica‘. Aconsejo revisar estas dos páginas con cierta regularidad, aunque avisaré en clase si hay alguna adición importante.
8 de Enero
Como quedamos en clase, aquí están los dos exámenes ordinario y extraordinario de la vez anterior en que me ocupé de esta asignatura (el curso 2017-2018). Tened en cuenta los cambios que va a haber en la convocatoria presente: 1) no se permitirá el uso de ningún material (libros, apuntes, etc) durante ninguna de las dos partes del examen; si para resolver un problema fuera necesaria alguna relación que no sea razonable esperar que se recuerde en detalle, tal relación se dará junto con los enunciados. 2) En el curso 2017-2018 la parte de cuestiones no incluyó un bloque de tipo test, que sí habrá en la presente convocatoria; no tengo ningún modelo de esa parte, pero podeis esperar que las cuestiones del test, de respuestas SI/NO, serán comparables a algunas de las preguntas concretas que aquí se hacen en cada una de las cuestiones.
El problema de Kepler: Solución ‘a la Levi-Civita’, expone los detalles del estudio del problema de Kepler usando como parámetro de evolución el parámetro de Levi-Civita en vez del tiempo. El contexto general es que el uso de un parámetro de evolución que no es el tiempo puede simplificar las ecuaciones y la resolución de un problema. En estas notas breves se desarrolla esa idea en el caso particular del problema de Kepler, empleando el llamado parámetro de Levi-Civita.
En este ejemplo, el uso de ese parámetro permite la integración completa del problema con matemáticas completamente elementales, y en el estudio aparece de manera natural el parámetro ‘anomalía excéntrica’ ξ que en los enfoques convencionales sirve para resolver el problema en forma paramétrica (recordemos que lo que ocurre es que no es posible encontrar las funciones x(t), y(t) ó r(t) explícitamente, pero sí que se pueden encontrar expresiones paramétricas para r(ξ) y para t(ξ) en términos del parámetro anomalía excéntrica ξ).
Para quien quiera tener al menos un feeling de lo que hay más allá, en ésta manera de abordar el asunto encontrará indicios de la relación entre el problema de Kepler, el oscilador armónico y el movimiento libre en una hiperesfera. He querido mantener la exposición al margen de esos aspectos avanzados, sin siquiera entrar en esos terrenos, que al nivel de este curso son ignotos. La redacción está hecha algo apresuradamente, así que pueden subsistir erratas o errores. Si alguien detecta alguno, le agradeceré me lo comunique [122kB, v171023].
Excursus sobre Mecánica Teórica
¿Donde aparecieron los corchetes de Poisson?: Lagrange y Poisson en el nacimiento de la Mecánica Simpléctica, detalla lo que Lagrange y Poisson hicieron en ese bienio prodigioso 1808-1810 en el que, en el contexto del estudio del movimiento del sistema solar y del desarrollo de técnicas para abordar el problema de su estabilidad a largo plazo, apareció por vez primera la estructura de los corchetes de Poisson. Actualmente estos objetos se encuadran en la Mecánica Hamiltoniana, pero curiosamente, su ‘invención’ por parte de Lagrange y de Poisson se llevó a cabo 25 años antes de la creación de la mecánica Hamiltoniana.
Vistos desde el S. XXI, los corchetes de Poisson son la ‘sombra’ clásica de la no conmutatividad de los operadores que describen las variables dinámicas en Mecánica Cuántica. Fué P.A.M. Dirac quien primero descubrió esa relación; desde entonces el reconocimiento del papel importante que tienen los corchetes de Poisson en la estructura de la mecánica moderna no ha hecho sino crecer, hasta el punto de que constituyen el corazón, por así decir, de la Mecánica Simpléctica, que es la formulación moderna de la Mecánica Analítica, desarrollada en la segunda mitad del S. XX. Estas notas cubren la historia del nacimiento de esta teoría, en el que lo que se investigaba era la estabilidad del sistema solar a largo plazo usando hábilmente la mecánica Lagrangiana que Lagrange había puesto a punto unos años antes; las herramientas básicas en esa investigación son precisamente los corchetes de Poisson, cuyo origen histórico es un tópico que curiosamente es muy poco conocido, y las notas están escritas con finalidad de extender el conocimiento de esos detalles. Si algún lector conoce alguna otra fuente en la que se presente de manera comprensiva ésta historia (yo me he apoyado en J.M.Souriau, C.M.Marle y P. Iglesias-Zemmour) agradeceré sobremanera cualquier información sobre el particular [271kB, v171030].
10 de Diciembre
Notas La cuerda vibrante: un ejemplo de la formulación lagrangiana para sistemas continuos . Exposición detallada del análisis de la cuerda vibrante partiendo de la formulación de un sistema discreto análogo cuyo `límite’ continuo es la cuerda vibrante. [444kB, v191210].
27 de Noviembre
Esta es la version corregida de la Segunda entrega de las hojas de Problemas de la asignatura, que incluye los relativos a la Mecánica Hamiltoniana. Se ha incluido un enunciado nuevo que se omitió inadvertidamente en la version anterior (y que se resolverá en clase de problemas) y se han corregido las erratas advertidas. Aconsejo que descargueis esta nueva version y elimineis la antigua [144kB, v191127]
25 de Noviembre
Esta es la Tarea para Casa 5 de la asignatura. Será una de las tareas evaluables. Fecha tope para la entrega: martes 10 de Diciembre, a las 23:59
21 de Noviembre
Esta es la Tarea para Casa 4. Está pensado para que pueda servir también como formulario de referencia para la formulación Lagrangiana y la Hamiltoniana de una partícula, escrita en coordenadas cartesianas y en polares esféricas. Las tareas que se proponen son varios cálculos centrados en los corchetes de Poisson de los dos juegos de coordenadas y momentos asociados a las coordenadas cartesianas y a las esféricas polares, y algunos otros cálculos relacionados. No es una tarea para ser entregada, por lo que no hay fecha tope, pero sugiero que la trabajeis con la dedicación necesaria. La solución completa, cálculos incluídos, debe ser accesible, aunque no es corta. Tómese como un test de autocontrol: si se encuentran dificultades importantes, será necesario trabajar el asunto con más intensidad.
Guión parcial del contenido visto en clase sobre Simetrías y Conservación en la formulación Hamiltoniana. No he tenido tiempo de pasar este guión a un formato de notas presentable, pero os lo dejo aquí, según está, por si puede ser interesante como complemento de las notas de clase [294kB, v191014].
29 de Octubre
Esta es la Tercera entrega de las hojas de Problemas de la asignatura, que incluye los relativos a pequeñas oscilaciones. [56 kB, v191025]
17 de Octubre
Cuadernos de Mathematica sobre Mecánica Teórica
EcuacionesDeLagrange.nb. Este cuaderno de Mathematica lleva a cabo de manera automatizada todos los cálculos necesarios para encontrar las ecuaciones de Lagrange de un sistema de cualquier numero de grados de libertad. El dato de partida es simplemente el lagrangiano, expresado en funcion de las coordenadas y las velocidades generalizadas que se escojan para estudiar el problema. El cuaderno incluye cinco ejemplos, de 1, 2 y 3 grados de libertad, que son suficientes para apreciar perfectamente el funcionamiento del programa. Está muy documentado con comentarios sobre el uso y estructura que deben permitir adaptar este programa a cualquier otro Lagrangiano. Está hecho en Mathematica11, pero debería correr sin dificultad en versiones anteriores, al menos creo hasta Mathematica7. Para que el peso del fichero enlazado sea menor se han eliminado todas las celdas de salida, que resultarán al ir ejecutando el cuaderno en Mathematica [.nb, 65Kb, v191017]
PenduloDoble.nb. Cuaderno de Mathematica11 que estudia de manera numérica y gráfica el péndulo doble, un sistema de dos grados de libertad, aparentemente sencillo, pero que en realidad merece un lugar destacado en el panteón de los modelos, al lado del oscilador armónico y el péndulo simple. A diferencia del oscilador armónico, que solamente tiene una cara `lineal’ (es el sistema lineal por excelencia, en el que todos los movimientos son pequeñas oscilaciones) y del péndulo simple, que tiene una cara ‘lineal’ de pequeñas oscilaciones y otra ‘no lineal’, el péndulo doble tiene tres caras, ya que además de un régimen de pequeñas oscilaciones (aproximadamente lineal) y un régimen de oscilaciones no lineales, el péndulo doble presenta además un régimen caótico. A cada elección de condiciones iniciales le corresponde una evolución que el cuaderno permite calcular numéricamente con precisión, y que facilita la visualización mental y gráfica de lo que está ocurriendo. El cuaderno contiene definiciones de comandos para resolver numéricamente las ecuaciones de Euler-Lagrange del péndulo simple y del doble. Está muy documentado con comentarios sobre el uso y estructura que deben permitir adaptar este programa a cualquier otro sistema de uno o dos grados de libertad, y con adaptaciones un poco más extensas, a cualquier sistema con tres o más grados de libertad. Está hecho en Mathematica11, pero debería correr sin dificultad en versiones anteriores, al menos creo hasta Mathematica7. Para que el peso del fichero enlazado sea menor se han eliminado todas las celdas de salida, que resultarán al ir ejecutando el cuaderno en Mathematica [.nb, 238Kb, v191017]
He colocado también estas notas en la subpágina ‘Notas de Mecánica teórica‘ donde quedaran archivadas de forma permanente.
11 de Octubre
Esta es la Tarea para Casa 3 Es un guión para desarrollar por cuenta de cada uno la solución `a la Hamilton’ del problema de Kepler, que vimos en la clase de hoy. No es una tarea para ser entregada, por lo que no hay fecha tope, pero sugiero que la trabajeis con la dedicación necesaria. La solución completa, cálculos incluídos, no debería ocupar más que el enunciado del guión, y los cálculos necesarios son extremadamente simples y no deben presentar ninguna dificultad especial.
Notas Pequeñas oscilaciones en sistemas lagrangianos. Estas notas cubren ese tema, que veremos en clase próximamente. La idea original proviene de Daniel Bernoulli, y de alguna manera marca el nacimiento de la Física Matemática. Luego ha ido siendo desarrollada y pulida por cantidad de autores. Y aunque parezca un tema muy académico, su relevancia es inmensa: si uno sabe mirar, encuentra `pequeñas’ oscilaciones en todas partes. [294kB, v191014].
7 de Octubre
Esta es la Tarea para Casa 2 de la asignatura. Será una de las tareas evaluables. Fecha tope para la entrega: lunes 14, a las 23:59.
7 de Octubre
Esta es la Segunda entrega de las hojas de Problemas de la asignatura, que incluye los relativos a la Mecánica Hamiltoniana. Insisto en que, cuando lleguemos a la Mecánica Hamiltoniana en unas semanas, leáis con atención todos los enunciados, penséis si tenéis claro cómo habría que plantearlos y resolverlos, y que en el mayor número posible lo intentéis por vuestra cuenta antes de llegar al momento en que eventualmente se resolverán algunos en las clases prácticas, lo que ocurrirá según vamos viendo el material pertinente en clase. [147 kB, version corregida v1911127]
24 de Septiembre
Esta es la Tarea para Casa 1 de la asignatura. Es un control para auto-comprobar la destreza en el tipo de cálculos que se requieren en la formulación lagrangiana; se trata de hacer el ejercicio, y no hay que entregarlo.
19 de Septiembre
Esta es la Primera entrega de las hojas de Problemas de la asignatura, que incluye los relativos a la Mecánica Lagrangiana. El martes 24 comenzará Marcos resolviendo con detalle los problemas propuestos 2 y 3. No todos los problemas en ese listado se resolverán en clase; insisto en que leáis con atención todos los enunciados, penséis si tenéis claro cómo habría que plantearlos y resolverlos, y que en el mayor número posible lo intentéis por vuestra cuenta antes de llegar al momento en que eventualmente se resolverán algunos en las clases prácticas, lo que ocurrirá según vamos viendo el material pertinente en clase. [156 kB, v190919]
17 de Septiembre
Notas De las ecuaciones de Newton a las de D’Alembert y de Lagrange. Se centran en analizar, siguiendo conceptualmente el proceso histórico, la reformulación de D’Alembert y de Lagrange de las ecuaciones de Newton, originalmente pensada para tratar con partículas sujetas a ligaduras, pero cuyo alcance ha resultado ser incomparablemente más amplio (la notación vectorial que usamos aquí no estaba disponible a finales del S. XVIII). [202kB, v190917].
He colocado también estas notas en la subpágina ‘Notas de Mecánica teórica‘ donde quedaran archivadas de forma permanente.
10 Septiembre 2019
Notas El Principio de acción estacionaria con una primera introducción muy básica a las matemáticas del cálculo variacional. Se centran en analizar el ejemplo que discute Feynman, una partícula en movimiento unidimensional en un potencial dado, viendo en detalle cómo llegar desde la exigencia de que la acción sea estacionaria a las ecuaciones de Newton [183kB, v190910].
El capítulo «The principle of least action» de las Lectures de Feynman (capítulo 19 del Vol. II) donde se transcribe, literalmente, la clase de Feynman sobre este principio. Como todo lo de Feynman es una referencia inmejorable; merece una lectura reposada y cuidadosa y unos cuantos ratos de reflexión. Las Lectures de Feynman están disponibles online, con una calidad mejor y las eventuales erratas corregidas; esta lección en concreto, aquí.
Otra referencia breve y elemental que también está accesible en internet es el primer capítulo Principle of least action notas de un curso introductorio de Daniel D. Baumann.
Tras un primer contacto con el principio de acción estacionaria, creo que se debe dedicar un poco de tiempo (poco, no excesivo) a entender el proceso histórico que en el S. XVIII llevó por vez primera a las ecuaciones de Lagrange. En general, en un sistema de partículas puede estar sujeto a ciertas ligaduras, que limitan ciertos movimientos. En un sistema de partículas con ligaduras, sobre el que actúan ciertas fuerzas ‘externas’ dadas (en muchos casos, aunque no siempre, fuerzas conservativas, esto es derivadas de un potencial), resulta necesario considerar, además de las fuerzas ‘externas’, dadas, otras fuerzas auxiliares, pero igualmente reales, las ‘fuerzas de ligadura’. A diferencia de las fuerzas externas, las de ligadura no están determinadas de antemano sino que resultan depender de las posiciones y de las velocidades de las partículas del sistema de una forma complicada que solamente se puede conocer una vez se ha resuelto el problema completo.
La visión de d’Alembert consistió en transformar las ecuaciones de Newton para un sistema con ligaduras (en las que intervienen las fuerzas de ligadura, que son a priori desconocidas) en otras ecuaciones diferentes en las cuales las fuerzas de ligadura se han hecho desaparecer (desaparecer de las ecuaciones, claro, pues las fuerzas de ligadura siguen ahí). Un precio a pagar es usar coordenadas qa que no son en general las coordenadas cartesianas. Al joven Lagrange le quedó la tarea de completar el trabajo de d’Alembert, re-escribiendo las ecuaciones exclusivamente en términos de las coordenadas qa. Al hacerlo se puede comprobar que no se trata realmente de un precio a pagar sino de un enorme beneficio a obtener: basta resolver un par de problemas para comprobar las ventajas iniciales del formalismo lagrangiano, que lleva de manera casi automática a las ecuaciones correctas del movimiento, con muchos menos cálculos y menos posibilidad de error que el formalismo newtoniano puro. Y aunque esta formulación inicialmente trataba de facilitar el análisis del movimiento cuando hubiera ligaduras, como bonus adicional resulta que el formalismo lagrangiano tiene perfecto sentido y se plantea exactamente igual haya ligaduras o no. Sin ningún trabajo adicional por nuestra parte obtenemos así una reformulación de largo alcance de las ecuaciones de Newton, que formalmente se expresa siempre por las `mismas’ ecuaciones de Lagrange, independientemente de la elección de las coordenadas. Se obtiene así la primera formulación de la mecánica que no requiere el uso de coordenadas particulares, ni tampoco requiere que el marco de referencia sea inercial, etc etc.
En este tema, dedicado a esa etapa, que en cierto sentido es la prehistoria de la Mecánica Teórica, me limito a describir en lenguaje actual el proceso que llevó por vez primera a las ecuaciones de Lagrange, al margen de su interpretación variacional. El planteamiento que veremos en clase, y que teneis disponible en las notas ‘De las ecuaciones de Newton a las de D’Alembert y las de Lagrange’ enlazadas más arriba sigue bastante el de José and Saletan, en el Capítulo 2, Secciones 2.1.1, 2.1.2 y 2.2.1. Es obvio que me he inspirado también en las notas de M. Gadella enlazadas más abajo, en cuyo Capitulo I (p. 1 a 19) está contada la derivación anterior con detalles adicionales. He escrito bastante apresuradamente las notas que contienen mi versión de éste proceso; la idea es que podais disponer de ellas cuando lo veamos en clase, para poder centrar la atención en entender la lógica de la cuestión y preguntar las cosas que no queden claras. Advierto que es posible que haya alguna errata en las notas sobre este asunto; si ese es el caso, por favor hacedme llegar un aviso.
En cuanto a libros, (casi) todos los de Mecánica clásica discuten esta cuestión. Unos lo presentan como la primera aparición de las ecuaciones de Lagrange; otros, como un complemento necesario a la obtención de las ecuaciones de Euler-Lagrange vía el principio de menor acción. Ejemplos del primer enfoque: Goldstein y del segundo, Fernández Rañada. Algunos, como Landau-Lifschitz ni lo mencionan. Desarrollaremos en clase a fondo la formulación Lagrangiana en los cuatro temas siguientes del programa.
Quien quiera una exposición magistral del asunto, en el texto de Lanczos.
Notas de Mecánica Clásica de Manolo Gadella, que cubren una gran parte del curso.
Otra presentación de éste proceso:
Notas Lagrange equations and D’Alembert’s principle de la Queen University, London, que presentan la derivación de las ecuaciones de Lagrange a partir de las de D’Alembert en el caso de que no haya ligaduras, que como vereis es casi literalmente idéntica que en el caso de que las haya.
10 de Septiembre
Las clases comienzan el martes 10 de Septiembre de 2019, en el Aula 13 de la Escuela de Teleco, de 11:00 a 12:00.
En paralelo Manuel Donaire estará a cargo del grupo en inglés de la misma asignatura.
La guía de la asignatura puede descargarse aquí.
En la subpágina ‘Notas de Mecánica teórica‘ he colgado unas notas relativas a las primeras clases.
Aquí podéis descargar la documentación general sobre el curso.
Documento de organización del curso.
El programa de la asignatura.
Bibliografía sobre Mecánica Teórica Esta Bibliografía es muy amplia. En clase comentaremos sobre algunos textos especialmente adecuados o aconsejables.
27 de Agosto.
Coloco aquí enlaces a varios conjuntos de notas sobre Mecánica Lagrangiana y Hamiltoniana, todos los cuales son muy aconsejables en mi opinión. Todos incluyen, con mayor o menor extensión, la mayor parte del contenido que veremos en esta asignatura, y en algunos tópicos son más extensos de lo que veremos. Es interesante apreciar que mientras que el contenido esencial es el mismo, en los detalles de presentación, el enfoque, notación, etc. hay bastante diversidad a la que conviene acostumbrarse si uno pretende conseguir una cierta visión de la Mecánica Analítica. En todos los casos se trata de documentos que están en dominio público y/o que se enlazan aquí con permiso del autor.
Notas Mecánica Lagrangiana de Manuel F. Rañada, (Universidad de Zaragoza) versión Dic2015.
Notas Mecánica Hamiltoniana de Manuel F. Rañada, (Universidad de Zaragoza) versión Dic2015.
Notas An Introduction to Lagrangian and Hamiltonian Dynamics de A. J. Brizard. Se trata de la versión de dominio público de las galeradas del libro publicado por el autor en 2015.
Notas Classical Dynamics de D. Tong (Cambridge).
26 de Agosto.
Una Timeline de la Historia de la Mecánica, en dos partes, que proporcionarán el soporte de autores y fechas sobre las que veremos un panorama general de los conceptos de la Mecánica Teórica Lagrangiana y Hamiltoniana y de la teoría de Sistemas dinámicos a lo largo del curso. Se trata de la versión v190826, que tiene varias correcciones o adiciones sobre las versiones anteriores, de 2015 y 2017.
Pinchando en cada una de las dos miniaturas de las dos partes (Parte a, entre S. IV A.C. y 1555, Parte b, entre 1545 y 2017), se descargará en su ordenador el fichero .pdf que una vez abierto mostrará la timeline completa. Allí se debe ampliar la escala de visión hasta que verticalmente el fichero ocupe la pantalla completa. Luego hay que navegar por él lateralmente: el fichero está construido para verse exactamente así. Representa horizontalmente la diacronía, y verticalmente la sincronía. Cada científico está representado por su línea de vida, con su nombre y con una imagen colocada sobre su línea de vida.
Una vista circular 