Fingiendo: Empujados por los experimentos … o arrastrados por la imaginación.

En 1957 Richard Feynman participó en una conferencia sobre ‘The Role of Gravitation in Physics‘ en Chapel Hill, U.S.A.

Felix Arnold Edward Pirani (1928-2015)

En los Proceedings de dicha reunión, republicados en una edición Open Access en 2011, podemos leer sus dos breves aportaciones.  En una, Feynman, tras escuchar a Felix Pirani, un físico matemático que debiera ser más conocido, propuso el experimento mental de las cuentas moviéndose con algo de rozamiento en una varilla rígida, para convencer a los asistentes de la existencia real de las ondas gravitatorias. No hay duda de que fue esa reunión la que marcó el inicio de la  rápida transición hacia el consenso posterior sobre la realidad de las ondas gravitatorias, que hasta aquel momento distinguidos físicos negaban.

Richard Phillips Feynman (1918-1988)

Reproduzco los primeros párrafos de los Comentarios Críticos, la segunda de las  aportaciones de Feynman a esa conferencia, en la que describe su punto de vista sobre cómo abordar el progreso de la física en una situación, como  la teoría de la gravitación o en particular el estudio de las ondas gravitatorias, en la que no se pueden hacer experimentos. Es, como todo lo de Feynman, aparentemente simple y en el fondo brillante y visionario. La evolución de este campo en el medio siglo largo transcurrido desde entonces debe no poco a que a partir de 1957 muchos físicos adoptaron la línea de trabajo que Feynman propone aquí.

Tras un breve enunciado esquemático de cuales son los problemas reales de la teoría de la gravitación (cinco puntos y solo unas setenta palabras), Feynman dice:

Hay, sin embargo, una dificultad seria, que es la falta de experimentos. Que además no vamos a poder hacer, así que tenemos que adoptar una postura sobre cómo tratar con los problemas para los que no hay experimentos disponibles. Hay dos elecciones.

La primera es la del rigor matemático. Quienes trabajan en la teoría de la gravitación creen que las ecuaciones son más difíciles que en cualquier otro campo, lo que desde mi punto de vista es falso [… …]. Históricamente el análisis riguroso de si lo que uno dice es cierto o no se produce muchos años después de haberse descubierto lo que es cierto. Y en este descubrimiento los experimentos ayudan. El intento de buscar soluciones matemáticamente rigurosas de las ecuaciones, sin experimentos que actúen como guía, es precisamente la razón por la que este tema es difícil, no las ecuaciones.

La segunda elección es ‘jugar’ de manera intuitiva y perseverar. Tomemos el caso de la radiación gravitatoria. Mucha gente piensa que probablemente se emita esta radiación. Así que supongamos que es así realmente y calculemos cosas como su scattering por las estrellas, etc., y sigamos hasta encontrar alguna inconsistencia. Entonces volvamos atrás para averiguar cual es la dificultad. Decidamosnos y calculemos sin rigor, de manera exploratoria. No tenemos nada que perder: no hay experimentos.

Creo que el mejor punto de vista es fingir que hay experimentos y calcular. Como en este campo no estamos empujados por los experimentos, la imaginación debe tirar de nosotros.

[…] No seáis tan rigurosos, o no tendréis éxito.

Fingir que hay experimentos sin que pueda haberlos podría, superficialmente, parecer una manera lamentable de escapar de un problema. Pero ¿lo es realmente? La Física moderna comienza con Galileo, estudiando la aceleración con la que caen los cuerpos en la Tierra. Y el principio de Galileo o principio de equivalencia débil, que afirma que todos caen con la misma aceleración constante, comienza como una letanía de un juego infantil, del mismo verbo:

Finjamos que no hay aire.

Finjamos que la Tierra es plana.

Finjamos que la Tierra no se mueve.

. . . .

No conviene olvidarlo.

P.S. Para quienes conozcan sus ‘Lectures on Gravitation‘, que recogen un curso completo sobre Gravitación que Feynman dió unos años después, la lectura completa de éstos breves Comentarios Críticos es fascinante: indican que en 1957 Feynman esencialmente había desarrollado ya el esquema novedoso con el que presenta la gravitación en esas ‘Lectures‘ (completado luego por Weinberg, Deser y otros). En su característico estilo algo iconoclasta, Feynman dice:

En vez de tratar de explicar el resto de la física en términos de la gravedad, propongo dar la vuelta al problema cambiando la historia. Supongamos que Einstein no hubiera existido, y que su teoría [de la gravedad] no estuviera disponible. …

Como se ve, finjamos, de nuevo `Finjamos que Einstein no hubiera existido’.  Pero discutir esto sería . . . otra historia.

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Hamiltoniano, ¿con H de Huygens?

En Mecánica Teórica es universal denotar por L el lagrangiano y por H el hamiltoniano. Con frecuencia se dice en clase (y seguramente yo lo he dicho en alguna ocasión) o en los libros de texto, explícita o implícitamente, que la elección de esas letras hace una referencia intencionada a sus respectivos inventores, Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) y William Rowan Hamilton (1805-1865). Esa interpretación parece tan natural y simétrica que no se discute y se asimila de inmediato. Supongo que es casi inevitable pensar: “Pues claro, ¡qué poca imaginación! Y una vez visto esto, pasemos a otra cosa.

Joseph-Louis Lagrange (1736-1813)

William Rowan Hamilton (1805-1865)

Así que es un lugar común pensar que es H por Hamilton. ¿Correcto? Pues no.

Hay que recordar que el propio concepto de energía, y la aceptación del principio de su conservación, que hoy vemos como una de las leyes auténticamente básicas de la física, no estaba aún consolidado en la época en que Joseph-Louis Lagrange publica la última edición de su Mécanique Analytique, la primera Mecánica moderna, en la que se expone la hoy llamada formulación Lagrangiana.

Con esa cautela, es un hecho (que no admite discusión) que en esa obra, publicada en 1811, cuando Hamilton tenía cinco años, se utiliza la letra H para denotar la energía total de un sistema de partículas. En esquema, lo que Lagrange hace es ver que en un sistema de partículas en el que las fuerzas derivan de un potencial V (y tanto ellas como las eventuales ligaduras no dependan  del tiempo, lo que es “proprement le cas de la nature”, escribe Lagrange, teniendo presente seguramente el movimiento del sistema solar bajo la acción de la gravedad mutua del Sol y los planetas), las ecuaciones de Lagrange que se derivan del lagrangiano L = T – V tienen una integral primera, que  Lagrange denota H y que resulta valer H: = T + V. Actualmente vemos de inmediato que esta integral primera es la energía total, la suma de la energía cinética T y la energía potencial V.

Surge aquí la pregunta: ¿Porqué la elección de la letra H?

Es posible, realmente razonable, e incluso bastante probable, que el empleo de esa letra sea un homenaje de Lagrange a Christiaan Huygens (1629-1695), quien en su Horologium Oscillatorium (1673) formuló el llamado principio de conservación de las fuerzas vivas, que es históricamente la primera aparición (casi) correcta de nuestro actual principio de conservación de la energía. Al introducir H como nombre de la integral primera, Lagrange no menciona la razón por la que ha escogido esa letra, pero Lagrange, en otro lugar del libro, atribuye explícitamente el descubrimiento de la constancia de esa cantidad a Huygens, quien la había denominado como la constante de las fuerzas vivas. El nombre arcaico de fuerza viva se refiere a la cantidad que hoy llamamos energía. Así que la inferencia de que realmente fue H por Huygens no parece descaminada.

Christiaan Huygens (1629-1695)

El uso de la letra H para designar a la energía total, que cuando se expresa en términos de coordenadas y momentos es el Hamiltoniano, tenía ya una historia de uso de un cuarto de siglo cuando Hamilton en 1834 y 1835 publicó su método general en dinámica, lo que hoy llamamos la formulación Hamiltoniana. Al parecer la notación de Lagrange para designar a esa cantidad fue conservada por sus continuadores inmediatos, como Cauchy o Hamilton, y se ha mantenido así desde entonces. Se concluye que H por Hamilton no puede ser la interpretación correcta; como mucho es otra leyenda urbana.

Me he encontrado con esta curiosa historia, que desconocía pero que tiene el peso incontrovertible de la realidad, a consecuencia de una interesante pregunta que me hizo al final de la clase un estudiante —¿Cómo se abordaron los resultados de estabilidad del sistema Solar que obtuvieron Laplace, Lagrange y Poisson?—.  Recordé que tenía un borrador  sobre el origen histórico preciso de los corchetes de Poisson, un asunto sorprendentemente ignorado en la práctica totalidad de los libros de texto, que se limitan a dar la definición, y dediqué algo de tiempo a acabar de documentarme sobre la cuestión y a completar el borrador [Actualización: aquí está la versión completa de ese borrador]. Entre el material que he leído destacan unos trabajos de Jean-Marie Souriau y de Patrick Iglesias-Zemmour, que, en el contexto del nacimiento de la mecánica simpléctica a manos de Lagrange y de Poisson, discuten esa cuestión, y mencionan que decididamente H no puede ser por Hamilton, dando las referencias precisas a los pasajes de la obra de Lagrange que he mencionado antes.

Posiblemente parezca al lector que este asunto carece de suficiente sustancia, y que a fin de cuentas la letra que se emplee para designar un objeto es algo muy poco relevante y que el asunto no tiene más recorrido (el propio Lagrange designaba con Z a lo que hoy llamamos lagrangiano y denotamos L, aquí sí, por Lagrange). Estando básicamente de acuerdo con el planteamiento, disiento de la conclusión implícita. Lo que me parece más instructivo de esta curiosidad es que se trata de un ejemplo menor de un hecho que es en sí relevante y del que conviene ser consciente: lo fácil que es caer en reinterpretaciones de lo que conocemos que parecen razonables y que nos convencen, pero que tienen poco o nada que ver con lo que fue la historia. Lo que en otras situaciones, como en las reinterpretaciones de la Historia (con mayúsculas) puede ser realmente peligroso.

A otro nivel, un hecho en cierto sentido análogo es lo que se ha llamado el ‘teorema cero de la historia de la ciencia‘: enunciado por Ernst Peter Fischer, conocido en la comunidad matemática como el principio de Arnol’d y en una forma ligeramente diferente en la física como principio de Berry, afirma (medio en broma, pero todo en serio) que cuando un descubrimiento, regla, regularidad o visión perceptiva está asociada a un nombre propio, probablemente su origen real está en otra persona.

Con certeza, H no es por Hamilton. Quizás lo es por Huygens.

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El cañón del mediodía, el efecto Zanzíbar y el kilogramo-patrón.

En una visita reciente al Museo del Real Observatorio Astronómico Nacional, en Madrid llamó mi atención un objeto que en cierto sentido desentonaba entre otros muchos ejemplos de instrumentación de siglos pasados: teodolitos geodésicos, un círculo de Borda, un quintante, … , construídos todos ellos en pulido latón y perfecta geometría. A primera vista este objeto, un tanto más tosco, era un reloj de sol horizontal, con su stilo triangular y sus marcas horarias. Pero le hacía especial algo que los relojes de sol no tienen: sobre el plato había un extraño añadido, una sencilla estructura de bronce, en la que reposaba un cañón casi de juguete, de unos diez centímetros de largo, alineado con el stilo, y sobre él, fijada a un soporte inclinable, una lupa.

Cañón meridiano del Museo del Observatorio Astronómico Nacional, en Madrid. Fuente: Página web del Museo.

Intrigado, acudí a la ficha, que decía: “Cañón meridiano, c. 1870, posiblemente de origen inglés“, con un breve texto explicativo: “Reloj de sol que al paso de éste por el meridiano concentraba los rayos solares en el oído del cañón, produciendo una detonación que anunciaba el mediodía“.

Así que se trataba de un ingenioso archiperre para marcar con una señal auditiva y de manera automática el paso del sol por el meridiano.

Debidamente sofisticado, aquel aparato habría tenido un lugar de honor en las invenciones del profesor Franz de Copenhague, y desde luego sirve como ejemplo de que la realidad supera a veces a la ficción.

Lo de dar una salva a mediodía sí que trajo a mi memoria una historia interesante. No he localizado la publicación original, que debo tener fotocopiada en algún lugar, así que la reconstruiré según la recuerdo. Para que tenga perfecto sentido conviene imaginar que temporalmente esta historia ocurre hace unas décadas, antes de que la tecnología nos permitiera disponer de la medida del tiempo global que ahora tenemos (señales horarias, ajuste automático vía Internet, etc. etc.)

Protagoniza ésta historia un viejo capitán de navío que, ya retirado, vivía en Zanzíbar, en una casa apartada de la ciudad, en lo alto de una colina. Desde allí podía mantener la estrambótica costumbre de disparar un cañonazo todos los días exactamente a mediodía.

En cierta ocasión otro capitán que pasaba por la ciudad, sabiendo que su amigo se había instalado allí, subió a la colina a visitarle. Cuando el viejo marino le habló de su costumbre, el amigo, intrigado, le preguntó cómo se las arreglaba para escoger el momento exacto del disparo. “¿Acaso sigues usando el sextante aquí en tierra firme? –le preguntó–. Supongo que será más cómodo hacerlo si el suelo no se balancea“. “¡Oh, no, aquí ya no lo necesito!, –le respondió el viejo capitán–. Los domingos por la tarde bajo a la ciudad a dar un paseo. Cuando paso por delante de la tienda del relojero, pongo mi cronómetro en hora con el que él tiene en su escaparate. Es muy buen relojero, así que estoy seguro de que se preocupa de tener sus relojes perfectamente en hora“.

Al día siguiente, y ya en la ciudad, el amigo pasó por delante de la relojería y pensó que era una buena oportunidad para averiguar cómo se mantenían en hora los relojes del escaparate. Entró y se lo preguntó al relojero . “Fácil, –le contestó éste–. En lo alto de la colina vive un viejo capitán que fue muy buen marino, y seguro tendrá experiencia con los instrumentos que le eran imprescindibles para navegar. El caso es que ahora, ya retirado, todos los días a mediodía dispara un cañonazo, que se oye en toda la ciudad, y que yo aprovecho para poner entonces mis relojes en hora.

Esta historia se menciona en las primeras páginas del libro de B.W.Petley  “The Fundamental Physical Constants and the Frontier of Measurement“. Allí se indica que la historia se debe a George R. Harrison, profesor del MIT entre 1930 y 1979 y que apareció publicada por vez primera en el clásico de 1957 de Cohen et al. “Fundamental Constants in Physics“. Aunque superficialmente pueda parecer un cuentecito sin mayor interés, en realidad describe un problema metrológico serio, que desde el libro de Cohen et al.  se conoce como ‘efecto Zanzíbar‘; las unidades o las medidas cuya definición resulta ser circular en el sentido de esa historia se conocen como ‘unidades Zanzíbar‘ y está claro que evitar el efecto Zanzibar es uno de los mandamientos básicos de la metrología.

Figura que en el texto de Petley ilustra el efecto Zanzíbar.

Es fácil comprender que la confianza que cada uno de aquellos dos hombres —el capitán y el relojero— depositaba en el otro tenía una consecuencia: que el mediodía verdadero diferiría en una cantidad desconocida del momento en que sus relojes, perfectamente sincronizados, eso sí, marcaban las 12:00. Y además, en ausencia de ninguna comprobación independiente y externa, si el reloj del relojero atrasaba (o adelantaba), aunque fuera una pequeña cantidad, la deriva entre el tiempo verdadero y el marcado por sus relojes, además de ser desconocida, se iría incrementando con el paso de los días.

¿Tiene esto algo que ver con el kilogramo, la unidad de masa? Curiosamente, sí.

Hasta ahora (Septiembre de 2017), pero no por mucho tiempo más, el kilogramo es la única unidad física que aún se refiere a un objeto físico: es la masa del kilogramo-patrón. Si todo va según lo previsto, a finales de 2018 se reemplazará esa definición por otra que eliminará de manera definitiva el recurso al último de los estándares artefacto.

Una de las copias del Kilogramo-patrón.

Este objeto es un pequeño cilindro de 39 mm de diámetro y de altura, construido en una aleación de platino e iridio, cuyo original, Le Grand K se conserva en París, y del cual hay en los centros metrológicos nacionales copias que son el inicio de la cadena de calibración de las medidas de masa. A su vez, para asegurar la consistencia entre todas las copias de Le Grand K, cada 40 años se le compara con sus semejantes, las restantes copias-patrón.

La unidad de longitud del sistema Internacional, el metro, también estuvo basada en un estándar artefacto (el metro de París, la distancia entre dos marcas de una barra de platino-iridio, ….) pero hace ya tiempo que esa definición fue sustituida por otra que evitara la referencia a un objeto artificial, construido por el hombre. Como es claro que las exigencias de una metrología de precisión hacen no solo conveniente sino también  necesario basar las unidades en constantes universales o en leyes fundamentales, en el caso del kilogramo, desde hace algunas décadas se llevan estudiando las posibilidades para cambiar la definición basada en el kilogramo-patrón por otra que probablemente estará basada en la constante de Planck (o quizás en el número de Avogadro). Está previsto que la redefinición final se apruebe en la Conferencia Internacional de Pesos y Medidas de 2018. Así que al cilindro kilogramo-patrón le queda poco tiempo de vida como tal patrón.

El punto de contacto con la historia del capitán y el relojero es que una buena parte de los motivos que los metrologistas tienen para reemplazar la definición del kilogramo rompiendo definitivamente la relación con el objeto kilogramo-patrón, es el reconocimiento de que con nuestra definición actual podría estar ocurriendo algo similar a la deriva desconocida de la unidad del tiempo que mantenían el capitán y el relojero. Pues la estabilidad de cada copia del kilogramo-patrón se garantiza ahora simplemente comparándola con las otras.

Si parece que se trata de una precaución innecesaria, o incluso excesiva, el ejemplo de la unidad de voltaje es muy ilustrativo. Hasta los 1960s, el estándar que servía para fijar la unidad de voltaje era la pila patrón Weston, una batería química de muy buena calidad que mantenía, a lo largo de varios años, un voltaje que se consideraba estable en menos de 0.1 partes por millón. Así las cosas, se adoptaron para mantener el voltio copias exactas de esa pila Weston-patrón, conservadas en distintos centros metrológicos nacionales, para ser origen de la cadena de calibración. En 1960 Josephson predijo la aparición de incrementos discretos de voltaje en lo que ahora se conoce como uniones Josephson. Cuando esa predicción se comprobó, y la tecnología se desarrolló lo suficiente, se vió que las uniones Josephson podían proporcionar un método para medir voltajes con una impresionante precisión del orden de 1 parte en 10^16, muchísimo mayor que lo que había sido posible hasta entonces (esta precisión es casi comparable a la que se alcanza para el tiempo con los mejores relojes atómicos actuales, que es de 1 parte en 10^17). Y gracias a esa tecnología se pudo comprobar que el voltio unidad, que hasta entonces se había mantenido con las pilas Weston, había estado disminuyendo de manera permanente, al ritmo de 0.3 partes en millón por año. Lo que, claro está, no había impedido que las comprobaciones entre las diferentes pilas-patrón hubieran resultado perfectas; todas ellas estaban derivando de la misma manera.

Solo una medida externa suficientemente precisa, como la que se hizo para el voltaje con la tecnología Josephson, pudo revelar lo que estaba ocurriendo con el voltio. El viejo capitán de Zanzíbar habría podido romper el círculo que mantenía con el relojero, por el simple expediente de emplear su sextante (o cualquier otro método independiente) para determinar el momento verdadero del paso del Sol por el meridiano. Lo que además habría mostrado si el reloj del relojero atrasaba o adelantaba o no.

Así que, junto al cañón meridiano del museo del Real Observatorio en Madrid y al metro de París, actualmente en el Louvre, dentro de poco tiempo Le Grand K pasará a tener un merecido descanso en algún museo. Es una buena oportunidad para recordar que el riesgo de entrar en situaciones zanzíbarmente circulares, que para las unidades físicas se ha ido evitando con sucesivas redefiniciones, sigue presente de una u otra forma, mutatis mutandis, en muchas de nuestras actividades cotidianas, en las relaciones personales, en las redes sociales, …. aunque ésto sea asunto para discutir en otro momento.

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Una evaluación de un profesor, circa 1690

Al ir a descargar las excelentes notas sobre Classical Dynamics que David Tong, profesor del DAMTP de Cambridge, tiene en abierto en su página web, me he encontrado con una evaluación de un profesor de su universidad, muy bien conocido en su campo.

La materia que enseñaba ese profesor es lo que hoy describimos como mecánica clásica, asignatura cuya docencia, aquí y ahora,  comienza hoy. Por ello, hoy, no resisto la tentación de compartir este texto, cuya fuente con algún detalle más puede consultarse aquí.

So few went to hear him, and fewer understood him, that ofttimes he did in a manner, for want of hearers, read to the walls. He usually stayed about half an hour; when he had no auditors he commonly returned in a quarter part of that time, or less.

La descripción data de alrededor de 1690. Y sí, se refiere a esa persona cuyo nombre tanto mencionaremos en la asignatura que comienza hoy.

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Sorpresas en las sumas infinitas (IV): ¿Qué propiedades puede tener una suma infinita?

¿Porqué escalar las montañas? Porque están ahí.

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George Mallory, 1923

Las series divergentes están ahí. Cuando aparecen al estudiar un problema físico, lo que ocurre frecuentemente, tendemos a pensar que nuestro enfoque ha estado mal planteado y que necesitaríamos otro nuevo. Pero varios indicios sugieren que, al menos en ocasiones, esas series divergentes contienen información relevante al problema que está codificada, y por así decir, esperando a ser extraída.

¿Cómo proceder entonces? Una buena elección es confiar más en las matemáticas. Y lo que las matemáticas nos dicen es que puede asignar  ‘suma’ a una serie divergente. Desde luego, tal ‘suma’ necesariamente deberá tener otro sentido diferente del tradicional, el cual se refiere exclusivamente a las series convergentes. Cualquier tal ‘nuevo sentido’ estará basado en algún procedimiento que habrá que efectuar sobre la serie y que nos debe devolver un único valor. Este valor será lo que entendamos, por definición, como su ‘suma’; las comillas nos recuerdan que no se trata de una suma ordinaria, sino del valor que resulta de aplicar a la serie ese procedimiento y que no debemos dar por sentado que tal ‘suma’ satisfaga las propiedades familiares de las sumas ordinarias (escúchese aquí el eco de las palabras de Euler que reprodujimos en el post anterior).

Buscar procedimientos alternativos al de Cauchy tiene como objetivo poder ‘sumar’ series que el procedimiento tradicional no sume. Cada una de estas definiciones alternativas se conoce como ‘procedimiento de sumación’. La suma de Cauchy puede verse como uno de tales posibles procedimientos, probablemente el más natural.  Lo esencial es que, una vez que damos el paso de intentar asignar suma a las series divergentes, el de Cauchy deja de ser el procedimiento (con artículo determinado) de ‘suma’ de una serie.

Si cierto procedimiento de sumación asigna a una serie dada un valor finito como ‘suma’, diremos que esa serie es sumable con ese procedimiento. Las series sumables con el procedimiento de Cauchy son, claro está, las convergentes. Recordando que las series convergentes son solamente un subconjunto del conjunto mucho mayor de todas las series, debemos esperar que las series sumables con cada posible nuevo procedimiento sean otro subconjunto, y lo que se pretende al buscar procedimientos alternativos al de Cauchy es que dicho subconjunto incluya series divergentes. No todas las series divergentes, claro; si imponemos como condiciones que el procedimiento de ‘suma’ tenga tales o cuales propiedades, por razonables que nos puedan parecer, no deberemos esperar que así podamos asignar suma a todas las series. Tampoco deberemos esperar que sobre las series sumables con un procedimiento dado, dicha nueva ‘suma’ goce de las propiedades de las sumas finitas. Tener en mente estas dos limitaciones a las expectativas ingenuas facilita el entendimiento del asunto y evita que nos distraigamos siguiendo caminos que no llevan a ningún sitio.

Resumiendo, al igual que en su momento hubo que hacer con la definición de ‘suma infinita’ de Cauchy, cada posible procedimiento alternativo de sumación determinará, de modo implícito, cuales son las series sumables con ese procedimiento, y qué propiedades de las sumas finitas se conservan o se pierden para ese procedimiento.

Naturalmente, si queremos alternativas ‘razonables’ para asignar suma a una serie, deberemos exigir ciertas condiciones. Hay una que parece consustancial si pretendemos mantener el nombre de suma: la conocida como ‘regularidad‘. Un procedimiento alternativo de sumación se dice regular si  todas las series convergentes son sumables con ese procedimiento,  y para ellas dicho procedimiento conduce a la misma suma que el procedimiento de Cauchy. Si tal cosa no ocurriera sería difícilmente justificable mantener el nombre ‘suma‘ para dicha cantidad, pues la naturalidad de la definición de Cauchy es indiscutible. En otras palabras, el conjunto de las series sumables con cualquier procedimiento de sumación regular contiene siempre a todas las series convergentes.

En el post siguiente describiremos un procedimiento concreto de sumación, el de Cesàro que tiene en esta historia un especial interés al ser el primer ejemplo de la idea general de sumas suavizadas, que al final resultará ser de fundamental importancia. Pero antes es mejor centrar la atención en listar las propiedades que podría tener un concepto de ‘suma infinita‘. Se trata de tomar como punto de partida las propiedades que sabemos que tiene una suma finita a1+a2+a3+….+aN, y enunciar la extensión literal de dichas propiedades al caso de infinitos sumandos, con vistas a investigar si otros procedimientos de sumación conservan dichas propiedades. Adelantando los resultados, y como ya hemos dicho antes de pasada, ningún procedimiento podrá asegurarlas todas, por lo que para cada posible procedimiento deberemos explorar qué propiedades se conservan y cuales se pierden. Y yendo más allá, en un territorio que no exploraremos en esta serie de entradas en el blog, hay procedimientos de sumación, de los que no hablaremos, que no tienen ninguna de estas propiedades, y para los cuales seguir hablando de ‘suma’, incluso con comillas, se hace cada vez menos aconsejable.

Pudiera parecer que listar las posibles propiedades que pueden tener los procedimientos de sumación antes de definir ninguno en concreto es poner el carro delante de los caballos. Por el contrario, este enfoque permite conseguir una perspectiva general sobre los procedimientos de sumación en función de qué propiedades tienen. Y de paso nos conducirá entre otras cosas a apreciar diferentes niveles o etapas en la extensión de la idea de suma a las series divergentes, y a entender el papel de lo que se conoce como sumación axiomática, que permite obtener la suma de ciertas series divergentes con manipulaciones puramente algebraicas, lo que típicamente no ocurre con las series convergentes y dió lugar a la boutade de que es mucho más fácil sumar una serie divergente que una convergente.

Recordando las propiedades básicas que sí tienen las sumas finitas, pasamos a enunciar sus versiones ‘infinitas‘. Insisto, son propiedades que podrá tener o no cada procedimiento de sumación para una serie infinita. Nuestra intuición sobre las sumas, apoyada como está solamente en las sumas finitas, hace difícil que podamos visualizar la posibilidad de que éstas propiedades no se verifiquen. Pero se debe tener claro que ningún posible concepto de ‘suma infinita’ tiene, para todas las series que sean sumables con ese procedimiento, todas las propiedades listadas. De hecho, incluso con la definición de Cauchy, una de las propiedades enunciadas un poco más abajo ni siquiera se verifica para todas las series convergentes.

Si suponemos que el procedimiento de Cauchy está ya definido de antemano, con su distinción nítida entre series convergentes y divergentes, para cualquier otro procedimiento alternativo tiene sentido enunciar una propiedad de compatibilidad:

  • 0. Regularidad. Aplicado a una serie que sea convergente, el procedimiento asigna a la serie la misma ‘suma’ que el procedimiento de Cauchy.

Naturalmente, si nos situamos antes de dar la definición de Cauchy, esto es, en un enfoque del problema puramente ab initio, entonces la propiedad 0 no tiene siquiera sentido. Es por ello que la hemos asignado el número 0. Los restantes enunciados, numerados del 1 al 5 describen propiedades que son, todas, versiones ‘infinitas’ de las propiedades que las sumas finitas sí que tienen. Insistamos en que en el caso de sumas infinitas, se trata de propiedades que tienen sentido independientemente de la definición de Cauchy y que cada procedimiento de sumación, el de Cauchy incluído, podrá o no tener:

  • 1. Linealidad: Si las dos series de elemento genérico ak y bk son sumables en un cierto procedimiento de sumación, con sumas SA y SB, entonces 1a) la serie de elemento genérico ak+bk es también sumable, con suma SA+SB y 1b), la serie de elemento genérico α ak es sumable, con suma α SA.
  • 2. Inserción de elemento inicial: Al insertar un elemento inicial a0 en la serie sumable a1+a2+a3+…., resulta otra serie sumable cuya suma se incrementa en a0; lo contrario si se elimina.
  • 3. Inserción de ceros: La suma de la serie no se altera intercalando (o eliminando) infinitos términos nulos en cualesquiera posiciones individuales en la secuencia ak y desplazando consiguientemente los términos que permanezcan.
  • 4. Asociación sucesiva: La suma de la serie no se altera haciendo un número infinito de agrupaciones de términos consecutivos en la secuencia y manteniendo la ordenación de los términos agrupados resultantes con respecto a los restantes. Cada agrupación consta de un número finito de elementos sucesivos. Idem para un número infinito de disociaciones, en cada una de las cuales un término se sustituye por un número finito de sumandos, cuya suma ordinaria es igual al término dado, que se insertan en lugar del término manteniendo la ordenación del resto tras el desplazamiento consiguiente.
  • 5. Reordenación: La suma de la serie no se altera reordenando infinitos términos en la secuencia ak (la serie reordenada debe constar del mismo conjunto de valores que la inicial, aunque en otro orden)

Si se verifica la propiedad 2, que aquí he llamado de inserción relativamente al elemento en posición inicial, y que se conoce también como de estabilidad, la misma propiedad se verifica de manera automática para la inserción en cualquier otra posición: para ver que eso es así basta eliminar los términos hasta la posición dada (con lo que, supuesta la propiedad 2 la suma de la serie se decrementa en la suma finita de los términos eliminados), insertar el nuevo término ahora en la posición inicial, y a continuación reinsertar los términos eliminados en el orden inverso al que se retiraron; el resultado neto es que la suma se incrementa precisamente en el valor del término insertado.

Es también claro que si se satisfacen las propiedades 4 de asociación o agrupación sucesiva y 5 de reordenación, entonces también se satisface una propiedad algo más fuerte que la 4, que podríamos llamar de agrupación arbitraria, a saber, que la suma de la serie no se altera haciendo agrupaciones finitas de entre el conjunto de valores de que consta la serie de manera que cada término de la serie inicial aparezca en una y solo en una agrupación, y luego considerando la serie cuyos términos son los valores agrupados.

Podemos plantear ahora una cuestión ‘a la Arrow’, mediante la pregunta:

¿Es posible construir algún procedimiento de sumación que sea aplicable a cualquier serie de término general ak, que permita asociar a tal sucesión un único valor SA como ‘suma’ de la serie a1+a2+a3+…. y que satisfaga las propiedades 1–5 enunciadas antes (que son las variantes ‘infinitas’ de las propiedades bien conocidas de las sumas)?

Ya adelantamos antes, como un simple comentario, que tal cosa no va a ser posible. Un indicio suficiente es que ni siquiera la suma de Cauchy las tiene: para las series convergentes las propiedades 1–4 (linealidad, inserción inicial, inserción de ceros, asociación sucesiva) se verifican, pero la propiedad 5 (reordenación) no está asegurada. Y es que en cuanto el infinito aparece en el juego, ocurren cosas que ingenuamente no esperaríamos.

En otras palabras, mientras que una suma de un número finito de términos resulta independiente del orden en que se sumen los términos (lo que es una consecuencia directa de las propiedades conmutativa y asociativa de la suma), puede ocurrir que la suma de una serie convergente cambie con una reordenación de los términos de la serie. Lo que muestra descarnadamente que incluso autolimitarnos al contexto restringido de las series convergentes no elimina por completo las perplejidades que aparecen ligadas a las sumas infinitas.

Es verdad que esta situación ocurre solamente para una subclase de series convergentes, que se conocen como condicionalmente convergentes: son aquellas series convergentes a1+a2+a3+….   para las que la serie asociada de los valores absolutos |a1|+|a2|+|a3|+…  no es convergente. Por el contrario, a todas las demás series convergentes a1+a2+a3+….   para las que la serie de los valores absolutos |a1|+|a2|+|a3|+…  sea también convergente se las conoce como incondicionalmente convergentes o absolutamente convergentes.

Recordemos que la convergencia de una serie b1+b2+b3+….se determina vía la convergencia ordinaria de la sucesión de sus sumas parciales ρN=b1+b2+b3+….+bN. Una serie convergente es aquella en la que la sucesión ρN es convergente, y una serie absolutamente convergente es aquella en la que la sucesión de las sumas parciales de los valores absolutos de los bk es convergente. Una serie de términos positivos que sea convergente es siempre absolutamente convergente, de manera que las series condicionalmente convergentes necesariamente incluyen términos positivos y negativos, de hecho infinitos términos de cada uno de los dos signos.

Se puede demostrar, como hizo Cauchy por vez primera, que la suma de una serie absolutamente convergente no se modifica bajo ninguna reordenación de sus términos, esto es, satisface la propiedad 5, también conocida como invariancia bajo reindexación. Este resultado, unido a que dicha suma también verifica las propiedades 1–4 puede resumirse diciendo que la suma de Cauchy de una serie absolutamente convergente hereda de hecho todas las propiedades de las sumas finitas. Nuestra intuición ordinaria, alimentada en el caso finito, puede servirnos como una guía bastante fiable al estudiar estas series.

Para las restantes series convergentes que no sean absolutamente convergentes, esto es, para las condicionalmente convergentes, una reordenación de sus sumandos puede cambiar el valor de la suma; para que eso ocurra, necesariamente la reordenación debe afectar a un número infinito de sus términos. Y aquí nuestra intuición ordinaria sobre las sumas fracasa estrepitosamente. La respuesta a la pregunta ¿cómo puede cambiar el valor de la suma? es sorprendente: tras una reordenación adecuada, una serie condicionalmente convergente puede tener como suma cualquier valor prefijado, un resultado que se conoce como lema de reordenación de Riemann. Seguramente, cuando se comienzan a estudiar las series, tras la demostración de que la serie armónica es divergente, este es el siguiente resultado que ciertamente desafía a nuestra primitiva intuición (aunque con la debida perspectiva se entiende perfectamente y se ve como inevitable).

Es más: para una serie del tipo condicionalmente convergente, no solo el valor de la ‘suma’ sino también el carácter de ‘ser convergente’ se puede perder. Tras una reordenación que afecte a un número infinito de sus términos, una serie condicionalmente convergente no solo puede producir una serie reordenada que sea convergente a cualquier otro valor prefijado de antemano, sino que incluso puede resultar en una serie reordenada que sea divergente.

Conviene aquí fijar en la mente para siempre que la idea de suma de una serie depende, de manera esencial, del orden de los sumandos. Si tenemos un conjunto infinito de valores ak, no debemos esperar que las sumas de dos series obtenidas escogiendo en diferentes ordenaciones los términos de ese conjunto de valores ak sean iguales. Es mejor comenzar a pensar que una serie es un concepto en el que el orden de los sumandos es esencial, y que reordenando los términos se obtiene realmente otra serie, que por supuesto puede tener otra suma. Así que:

Si la suma es infinita, la suma en general depende del orden de los sumandos.

Y es que, incluso aquí, las apariencias engañan. Hay un caso en el que tal cosa no ocurre: las series absolutamente convergentes. Pero es mejor pensar que las series absolutamente convergentes, en las que  la suma no depende del orden del orden de los ‘sumandos’ son realmente la excepción al comportamiento genérico.

Tras esta inmersión en la realidad matemática, que muestra que ni siquiera con las series convergentes la suma de Cauchy tiene todas las propiedades 1–5, estamos ya dispuestos a aceptar que la respuesta general a la pregunta formulada previamente tiene que ser “no”. Podemos acabar de convencernos con un sencillo contraejemplo. Supongamos que existiera un procedimiento que asignara una suma SU a la serie 1+1+1+1+…. y para el cual la propiedad 2 de inserción del elemento inicial fuera válida. Insertando un 1 inicial en esa serie, es claro que debería tenerse SU = 1+ SU, ecuación que no es satisfecha por ningún número real; por tanto no puede existir un tal procedimiento. Este ejemplo indica que si queremos asignar una ‘suma’ a la serie divergente 1+1+1+1+…. , habremos de renunciar —al menos—a la propiedad de inserción del elemento inicial, por más que tal propiedad parezca ser la esencia de la idea de suma. Esto nos lleva a la conclusión importante:

Asignar ‘suma’ a series divergentes arbitrarias solamente será posible renunciando a algunas de las propiedades 1-5 formuladas más arriba.

La propiedad 5 de invariancia por reordenación es la que primero se pierde: solamente es válida para las series absolutamente convergentes, y deja de serlo ya para las series convergentes que solo sean condicionalmente convergentes. Por ello, está claro que ningún procedimiento alternativo de sumación que sea regular tendrá la propiedad de reordenación, razón por la que en el listado la hemos colocado en último lugar. En el siguiente post veremos, con ejemplos explícitos, que también hay que esperar que cualquier otro método de sumación pierda además otras propiedades. Lo que ocurre realmente es un resultado de imposibilidad que en espíritu es vagamente análogo al teorema de imposibilidad de Arrow:

Para una serie arbitraria, no existe ningún procedimiento de sumación para asignar a la serie una suma que satisfaga las cinco propiedades 1–5 enunciadas más arriba.

George Mallory

El Everest, en una fotografia de la expedición de 1924

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Podríamos, para acabar, preguntarnos sobre el porqué de tal empeño en asignar suma a las series divergentes. Al margen de otras que discutiremos en los posts siguientes, una buena razón es la de Mallory: “Porque están ahí“.

La cita no es apócrifa; cuando le preguntaron a Mallory, un año antes de la expedición en la que desaparecería en el Everest, qué había querido decir  con la respuesta que en su tour por EE.UU. para recaudar fondos para la prevista expedición al Everest había dado en varias ocasiones anteriores a la pregunta ¿porqué escalar las montañas? , Mallory lo explica así:

Everest is the highest mountain in the world, and no man has reached its summit. Its existence is a challenge. The answer is instinctive, a part, I suppose, of man’s desire to conquer the universe.

Lo que, sutilezas aparte sobre la polaridad conquistar/entender, tampoco es muy diferente de lo que pretendemos con la ciencia, I suppose.

 

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Sorpresas en las sumas infinitas (III) ¿Qué sentido tiene una suma infinita?

How many times must a man look up
Before he can see the sky?

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Blowin’ in the Wind, Bob Dylan 1962

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Juntar palabras en sucesión no es difícil. Pero, si se trata de matemáticas, es esencial saber qué significan. Es fácil decir ‘suma infinita’. Pero ¿qué significa suma infinita realmente? ¿Tiene un solo significado o hay varios posibles?

Comencemos por el principio. La suma de números reales es una operación binaria, que a dos números a y b les asocia un único número denotado a+b. La suma (de dos sumandos) tiene dos propiedades básicas: conmutativa, a+b=b+a y asociativa (a+b)+c=a+(b+c). Cuando escribimos una suma de tres sumandos, como a+b+c, realmente nos estamos refiriendo a una adición repetida de parejas de números, que podríamos hacer de varias maneras diferentes —por ejemplo (a+b)+c,  (b+c)+a, (c+a)+b , a+(b+c), b+(c+a)+ ó c+(a+b)—, y  las propiedades conmutativa y asociativa de la suma de dos sumandos aseguran que se obtiene el mismo valor empleando cualquiera de dichas alternativas.

Conviene apreciar que con esa elección realmente estamos definiendo el símbolo a+b+c, como a+b+c: = (a+b)+c, por mucho que las apariencias (y la costumbre) sugieran que el sentido de tal símbolo estaba ya unívocamente determinado por el propio símbolo, sin necesidad de ninguna intervención por nuestra parte. Desde luego, esa definición es completamente natural y seguramente es la única razonable, y por ello, autoengañándonos,  tendemos a pensar que el propio símbolo ‘transportaba’ su significado, y que no habría sido necesaria ninguna definición de a+b+c.

La idea se aplica naturalmente a cualquier número finito de sumandos, de manera que a1+a2+a3+….+aN debe definirse como el resultado de N-1 adiciones binarias, por ejemplo ((….((a1+a2)+a3)+….)+aN-1)+aN. Con esta definición se puede demostrar —sin gran dificultad— que estas sumas de N sumandos heredan todas las propiedades de las sumas binarias: el resultado es independiente del orden en que los términos se sumen, y de las agrupaciones que puedan efectuarse entre el conjunto de sumandos. Además resulta distributiva con respecto a la multiplicación, etc. Todo esto es elemental, pero conviene recordarlo, y tener en mente que para la definición hemos escogido un orden y una agrupación, pero podríamos igualmente haber escogido otros sin producir ningún cambio.

Cuando los matemáticos de la antigüedad o de la edad media trataban con una suma infinita, probablemente pensaran, quizás de manera implícita, en un proceso que, partiendo de una secuencia potencialmente infinita de números, consiste en iterar las sumas binarias de manera que afecten a un número finito, aunque potencialmente creciente de términos de la secuencia y luego comprobar si tal suma binaria  finitamente iterada se acerca o no a un cierto valor fijo cuando el número de sumandos crece indefinidamente.

En una carta escrita a su profesor Holmboe en 1826, Niels Hendrick Abel le cuenta que se está interesando en el problema de la suma de series, en el que

Niels Hendrick Abel (1802-1829)

… à l’exception des cas les plus simples, par exemple les séries géométriques, il ne se trouve dans les mathématiques presque aucune série infinie dont la somme soit determinée d’une maniére rigoureuse, c’est-à-dire que la partie la plus essentielle des mathématiques est sans fondement. Pour la plus grande partie les résultats sont justes il est vrai, mais c’est là une chose bien étrange. Je m’occupe à en chercher la raison, problème très intéressant.

Niels Hendrick Abel, carta a Holmboe, 1826

El primer paso para avanzar consiste en reconocer que aunque decir o escribir ‘suma infinita’ sea muy fácil de hacer, el símbolo a1+a2+a3+…., que consta de un número potencialmente infinito de sumandos, no viene automáticamente provisto de significado. El significado habremos de dárselo nosotros, mediante una definición. Realmente, ya tuvimos que hacer esto en el primer párrafo para una suma de tres o de N sumandos, pero en aquel caso la necesidad de una definición queda difuminada tras una apariencia de obviedad y por el hecho de que ese significado es el único razonable para un símbolo como a1+a2+a3+….+aN. Siendo ingenuos y atrevidos, podríamos confiar en que algo semejante ocurriera con el símbolo de ‘suma infinita’  a1+a2+a3+…., —esto es, que hubiera un único significado matemáticamente aceptable para el símbolo a1+a2+a3+…..— pero tal cosa no ocurre. Antes de proceder necesitamos definir que se entiende por tal símbolo, que de entrada carece de significado.

 

Esta necesidad (en general, para cualquier concepto matemático, no sólo para las sumas de las series infinitas) se hace prevalente en las matemáticas a lo largo del siglo XIX y hoy día es un lugar común, pero incluso en el siglo XVIII no se planteaba ni siquiera entre los mejores matemáticos. Demos la palabra a Hardy en su libro sobre Series Divergentes:

Godfrey Harold Hardy (1877-1947)

… it does not occur to a modern mathematician that a collection of mathematical symbols should have a meaning until one has been asigned to it by definition. It was not a triviality even to the greatest mathematicians of the eighteen century. They had not the habit of definition: it was not natural to them to say, in so many words: ‘by X we mean Y’ …. It is broadly true to say that mathematicians before Cauchy asked not How shall we define 1-1+1-1+….?’, but ‘What is 1-1+1-1+….?’, and this habit of mind led them into unnecesary perplexities and controversies which were often really verbal.

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G. Hardy, Divergent Series, 1948

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Creer que cada serie a1+a2+a3+…. debería tener un ‘valor’ resultante es una idea que hoy vemos como demasiado ingenua, pero que se rastrea sistemáticamente en el propio Euler en quien esa creencia coexistía con otros aspectos que al contrario eran impresionantemente avanzados para su tiempo. Hay que decir que muchas de las arriesgadas manipulaciones que Euler llevó a cabo con series divergentes, casi siempre al borde del abismo, le guiaron, de una manera que hoy parece casi incomprensible, hasta llegar a resultados correctos y profundos que más tarde se formularon con precisión y rigor. Un destacado ejemplo de tal proceder es cómo Euler obtuvo (realmente no debemos ni podemos decir demostró) la ecuación funcional para la función zeta (un resumen en estas notas, sección ‘La ecuación de reflexión para la función zeta, à la Euler’).

Pero también hay que decir que Euler fue demasiado optimista: aparte de confiar en que a cualquier serie podría asignársele una ‘suma’ mediante algún procedimiento adecuado, confiaba también en que todos los procedimientos de sumación, cuando fueran aplicables, deberían conducir al mismo valor como ‘suma’ de la serie. Veamos lo que dice en su artículo de 1760 sobre series divergentes:

Leonhard Euler (1707-1783)

 

…. Yo creo que a cualquier serie se le debería poder asignar un cierto valor. Sin embargo, teniendo en cuenta todas las dificultades que se han señalado en esta relación, a ese valor no se le debería llamar ‘suma’, pues habitualmente esta palabra está conectada con las sumas obtenidas mediante un proceso de sumación real: esta idea no es aplicable sin embargo a las series divergentes.

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Leonhard. Euler, 1760

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Hoy, con el beneficio de dos siglos y medio transcurridos, sabemos que la situación completa, tal cual la describe la actual teoría de series divergentes, es mucho más complicada y sutil que la esperanza ‘ingenua’ que expresaba Euler. Y también sabemos que no prosperó, desafortunadamente, la sugerencia de Euler de evitar el nombre de suma para el ‘valor’ asignado a las series divergentes mediante algún procedimiento de sumación diferente de la ‘sumación real’.

Lo que posiblemente nos da una de las claves —los nombres son mucho más importantes de lo que puedan parecer, por la carga semántica que de entrada y de manera implícita ya transportan— para entender porqué aún hoy muchos de los resultados matemáticos sobre las ‘sumas’ de series divergentes siguen rodeados para los no iniciados de un aura de perplejidad, que en buena medida se debe a que el mero uso del término ‘suma’ y de la notación a1+a2+a3+…. para tales objetos nos conduce subliminalmente a asumir dos ideas que a la postre resultan ser profundamente incorrectas:

  • I) El símbolo de ‘suma infinita’ a1+a2+a3+…. tiene un significado unívoco y bien definido, derivado directamente del sentido que tiene la suma ordinaria de un número finito de sumandos.
  • II) Una tal ‘suma infinita’ heredará las propiedades que tienen las sumas ordinarias.

Naturalmente, como comentamos antes, la versión finita de la propiedad I) es correcta, y en ese caso II) resulta ser también correcta, pues las sumas de N sumandos tienen todas las propiedades heredadas de las sumas binarias. Pero el paso de un número finito de sumandos a un número ‘infinito’ es cualquier cosa menos inocente. Y resulta que I) y II), en sus versiones ‘infinitas’, son incorrectas. Apreciar el sentido en el que ambas son profundamente incorrectas es necesario para comprender lo que realmente ocurre y aclara el enfoque necesario para evitar esas perplejidades.

Augustin Louis Cauchy (1789-1857)

El paso para reemplazar el uso despreocupado del símbolo a1+a2+a3+…. por una definición precisa y formulada rigurosamente —cuya necesidad sentía Abel en la cita que vimos antes—, lo había dado ya Augustin L. Cauchy en su Cours d’Analyse de 1821 (un resumen detallado del contenido, aquí). En pocas palabras: en el sentido ‘tradicional’ de Cauchy, se llama suma de la serie a1+a2+a3+…. al límite cuando N tiende a infinito de la sucesión de las sumas parciales σN: = a1+a2+a3+….+aN, cada una de las cuales es una suma finita y por ello está definida sin ambigüedad.

Si el límite existe (y por tanto es un número real, lo que excluye a los dos símbolos +∞ ó -∞), la serie se dice convergente, y se define la suma de la serie como el límite de la sucesión de sumas parciales.

Si el límite no existe (o si el ‘límite’ es +∞ ó -∞, que no son números reales), la serie se dice divergente y no tiene suma. Como vemos, ésta definición es una formalización de la idea que mencionamos al comienzo de este post. Solo que, ahora, formulada de manera precisa, sin dejar nada sobreentendido, y delimitando el sentido de la ‘suma’; conviene insistir en que Cauchy rehúsa hablar de suma de una serie excepto si la serie en cuestión es convergente.

Es fundamental comprender que esta ‘suma’ es el resultado de un proceso que al final no se reduce de ningún modo a una iteración infinita de sumas binarias, sino que es algo más; es otra cosa, ya que para definirla necesitamos combinar una noción algebraica, la de suma, con una noción analítica, la de límite, que es ajena a la aritmética. Realmente, y en modo tuit, podríamos resumirlo como:

Literalmente y estrictamente hablando, ninguna serie (a.k.a. suma infinita) es una suma de un número infinito de sumandos.

y su consecuencia:

Con cualquier definición de suma de una serie (como ya lo es la de Cauchy), deberemos volver a analizar que propiedades de las sumas finitas se mantienen y cuales no.

En las manos de las generaciones siguientes a la de Cauchy, esta formulación resultó ser una de las primeras situaciones en las que se muestra necesario el lenguaje de ε y δ que hoy se conoce informalmente como epsilóntica. Parece claro que la definición de Cauchy probablemente transcribe la esencia de la idea intuitiva que pudieron tener los mejores matemáticos anteriores sobre las sumas de series.

El primer precio que pagamos es que, a diferencia de una suma finita, que está bien definida para cualquier conjunto de sumandos a1,a2,a3,….,aN, la suma de Cauchy de una serie a1+a2+a3+…. no está definida para cualquier sucesión a1,a2,a3,….. Aquí aparece la primera distinción nítida entre dos grandes tipos de series que ya las exploraciones anteriores habían desvelado y de las que ya hemos hablado.

Por un lado están las denominadas convergentes (cuyo nombre que se había introducido ya en el S. XVII, bastante antes de la rigorización de Cauchy), que son aquellas para las que la sucesión de las sumas parciales tiene límite. Estas series son las que tienen suma en el sentido de Cauchy. En ellas las sumas parciales se acercan indefinidamente a un valor finito al tomar más y más términos, como ocurre con la serie 1+1/2+1/4+1/8+…., cuyas sumas parciales se aproximan indefinidamente a 2.

Por otro lado, están aquellas en las que tal cosa no ocurre, que son todas las demás, a las que se adjudica la etiqueta común ‘divergentes’. Conviene recordar que la variedad de comportamientos que pueden tener las sumas parciales de una serie divergente es inmensa: lo resumimos diciendo que mientras que las series convergentes se parecen entre sí, las divergentes pueden serlo cada una a su manera e incluyen situaciones muy variadas. Hay series divergentes cuyas sumas parciales llegan a sobrepasar cualquier valor finito (en algunas ésto ocurre de manera ‘evidente’ como en 1+2+3+4+…. ó en 1+1+1+1+1+….; también ocurre en otras, como 1+1/2+1/3+1/4+… , según vimos en el post anterior, aunque para esta serie la divergencia no sea inmediatamente evidente). Hay otras series divergentes para las que las sumas parciales no tienden a ningún límite; ejemplos sencillos de tales situaciones son 1-1+1-1+1-1+…, ó 1-2+3-4+…..

Aquellos lectores que hayan seguido un curso de Análisis Matemático posiblemente habrán visto en sus estudios solamente las series convergentes, que son muy pocas comparativamente al conjunto de todas las series posibles. Como en otras muchas situaciones que delimitan lo que figura en los cursos básicos frente a lo que se deja fuera, conviene no perder de vista que hablar solamente de las series convergentes es una autolimitación de corte puramente pragmático, que no debe interpretarse como que sea imposible asignar ‘suma’ a las series divergentes, que son la mayor parte de las series posibles. Lo que sí queda claro es que a las series divergentes no se les puede asignar una suma con el procedimiento de Cauchy.

Circunscribir la atención a las series convergentes sirvió históricamente para zanjar muchas discusiones asociadas a las contradicciones en las que aparentemente se incurría al tratar de asignar una ‘suma’ a ciertas series divergentes, pero, insisto, ésto no significa que matemáticamente sea imposible asignar a dichas series una ‘suma’; al contrario, debemos ver esa posibilidad como un terreno abierto por explorar. Y, naturalmente, con cada nuevo procedimiento de sumación que podamos definir, deberemos estudiar si las propiedades de las sumas finitas se mantienen o no, y distinguir claramente, si es el caso, entre aquellas propiedades que se mantengan y las que no.

Es interesante apreciar que la necesidad de un estudio semejante ya se plantea con las series convergentes, y que cuando se lleva a cabo sus resultados no están exentos de sorpresa: hay series convergentes cuya suma puede cambiar al reordenar los sumandos.

Si pasamos a las series divergentes, en el primer post de la serie aparecieron algunas afirmaciones chocantes, como la sorprendente

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + …. = -1/12

que desde luego no tiene ningún sentido dentro del enfoque tradicional de Cauchy. Lo mismo puede decirse de otras afirmaciones que se encuentran en la literatura, como por ejemplo

1  – 1 + 1  – 1 + 1  – 1 + …. = 1/2

1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + …. = -1/4

1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + … = -1/2

que en su momento ya mencionamos y sobre las que habremos de volver.

Esas cuatro series son divergentes, dos de ellas porque sus sumas parciales evidentemente acaban sobrepasando cualquier valor finito (así que su ‘suma’ ordinaria sería, en todo caso, igual a ∞) y las otras dos porque las sumas parciales no tienden a ningún límite. Por ello, acechará a quien haya seguido un curso estandar de Análisis Matemático la tentación de decir que las ‘igualdades’ del párrafo anterior  son absurdas.

Pero ¿debemos reaccionar así ante aquellas afirmaciones? Sí y no. En tanto que nos limitemos exclusivamente al sentido de Cauchy para la suma de la serie, y que tal autolimitación quede claramente enunciada, la reacción de afirmar que esos valores son absurdos es justificable y correcta; nada que objetar, pues aquellas series, siendo divergentes, simplemente no tienen ‘suma’. Pero solo dentro de ese contexto.

Pero en tanto queramos elevar lo que es solamente una autolimitación conveniente (hablar solamente del sentido de suma de Cauchy) al nivel de limitación absoluta, entonces la reacción no es aceptable. Elevar la calificación de absurdo hasta llevarla al de absurdo ‘absoluto’, independientemente del contexto, solamente sería aceptable si el sentido de Cauchy fuera el único que puede tener la suma de una serie. Y ya mencionamos que esta idea, que antes hemos denominado I), es profundamente incorrecta. Así que esta postura extrema no es aceptable.

La dificultad no está solamente en la propiedad I); incluso si nos limitamos a las series convergentes, tampoco la propiedad II) se verifica. Pues resulta que con la definición de suma de Cauchy, no todas las propiedades de las sumas finitas valen. En cualquier serie convergente la agrupación de términos sucesivos no modifica la suma, pero hay series convergentes (las denominadas condicionalmente convergentes) cuya suma se puede modificar con una reordenación de los términos de la serie. Esto es  algo que por supuesto es inimaginable en una suma finita, y por tanto no es fácil de visualizar. Lo que a su vez lleva a distinguir dos grandes clases de series convergentes: las absolutamente convergentes, que no cambian bajo ninguna reordenación y que sí heredan todas las propiedades de las sumas finitas, y las condicionalmente convergentes, que son un poco más exóticas, ya que para ellas una reordenación puede cambiar el valor de la suma a cualquier valor real prefijado (de hecho la situación es incluso peor: una reordenación puede transformar una serie condicionalmente convergente en otra divergente). De manera que incluso sin salirnos del contexto de las series convergentes, tampoco la propiedad II) es correcta: como colectivo, ni siquiera las series convergentes heredan todas las propiedades de las sumas de un número finito de sumandos.

Así que bien mirado, queda abierta la posibilidad de que existan otras posibles definiciones de ‘suma’ de una serie, que puedan asignar una ‘suma’ a series divergentes, y en las que afirmaciones como 1-1+1-1+1-1+…. = 1/2  ó  1-2+3-4+5-6+…. = -1/4  ó  1+1+1+1+… = -1/2, pudieran tener sentido. Algún sentido, otro sentido, no el sentido tradicional, claro está. Y que tengan otras propiedades, que visto lo visto con las series condicionalmente convergentes, podemos conjeturar aún más alejadas de las propiedades de las sumas finitas.

Y es que, parafraseando a Bob Dylan, antes de ver el cielo de las ‘sumas infinitas‘, deberemos mirar no una sino muchas (¿cuántas?) veces hacia arriba.

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Gravitación, en 80 caracteres

…. y cuando finalmente quedaron en caída libre, el campo de marea seguía allí.

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Timelines de un siglo de Cosmología en Naukas Coruña 2.0

Hace un par de años, y para tener disponible un esquema sincrónico/diacrónico de la historia de la Cosmología en su siglo de existencia (con vistas a preparar una charla sobre el tema) organicé (con la inestimable ayuda de TeX (\TeX 🙂 )) un Panorama Cronológico (a.k.a. Timeline) que recoge las fechas en que se propusieron las ideas principales y en las que se realizaron por primera vez las observaciones básicas en la Cosmología.

Recogiendo las sugerencias que un lector del blog había hecho en su momento (gracias Albert) y las novedades sobre la detección de ondas gravitatorias producidas en 2016, he preparado una versión actualizada, que puede descargarse pinchando sobre las miniaturas a continuación. Hay un panorama general y tres panoramas específicos, que cubren tres aspectos particulares en la Cosmología actual. Incluí estos panoramas cronológicos entre las imágenes de la charla que tuve el privilegio de dar en Naukas Coruña el pasado mes de Febrero (charla cuyo esqueleto estaba también montado sobre estos tres pilares), pero consciente de que allí no habría tiempo para verlas siquiera por encima, indiqué en la charla que las colocaría en el blog. Y esto es lo que hago ahora.

Panorama de la expansión del Universo

Panorama de la nucleosíntesis y de las formas de materia y energía

Panorama del Fondo cósmico de microondas

Panorama general de la Cosmología (incluye en un solo documento la información contenida en los tres anteriores y la completa con algunas líneas adicionales)

El panorama completo alberga posiblemente excesivos detalles (ya que pretende registrar los hitos relevantes en todos los aspectos de la teoría y de la observación). Ya que la Cosmología actual se apoya fundamentalmente en tres pilares, la expansión del Universo, la nucleosíntesis y el fondo cósmico de microondas, he creído interesante desgajar del panorama completo tres subpanoramas, cada uno de los cuales se refiere a los hitos relevantes en cada uno de esos tres campos.

Pinchando en cada miniatura se descargará el fichero .pdf’s en su ordenador. Abriendo el fichero, se debe ampliar la escala de visión hasta que verticalmente el fichero ocupe la pantalla completa. Luego hay que navegar por él lateralmente: el fichero está construido para verse exactamente así. Representa horizontalmente la diacronía y verticalmente la sincronía. Tanto el panorama general como cada uno de los específicos relativos a cada uno de los tres grandes pilares de la cosmología están divididos en dos grandes franjas. La franja superior incluye uno o varios bloques sobre la teoría y la interpretación relacionada y en la inferior se ubican a lo largo del tiempo las iniciativas observacionales relevantes, así como sus resultados en los distintos rangos de observación (visible, radio, etc.). Cada uno de esos bloques tiene su línea de fechas y la sincronía entre ellas está representada en vertical, con unos iconitos que sirven para ubicar temporalmente algunos sucesos históricos relevantes.

Un panorama de este tipo ayuda a percibir bien la inter-relación temporal y conceptual entre los descubrimientos observacionales y los modelos teóricos. Y a apreciar que los nuevos descubrimientos solamente llegan cuando las tecnologías necesarias se han desarrollado lo suficiente, lo que en campos como éste que requieren una gran finura puede necesitar cierto tiempo. Hay detalles también aquí para entretenerse un buen rato. Disfrútenlo.

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De imposibilidades: El teorema de Arrow

Kenneth Arrow 1996, Crédito de la fotografía: LA Cicero

Hace unas semanas ha fallecido Kenneth Arrow, considerado como uno de los tres o cuatro economistas más importantes del S. XX. Tenía 95 años y había recibido el Premio Nobel de Economía en 1975.

Al nivel no especializado,  el resultado por el que Arrow es más conocido es su teorema de imposibilidad, que dió la mayoría de edad a un campo de investigación a caballo entre las Matemáticas y la Economía: la teoría de la elección social, desarrollada a partir de su libro de 1951 “Social Choice and Individual Values”.

Aquí un comentario de un economista sobre el teorema de Arrow, y aquí una charla sobre las contribuciones de Arrow.

Ilustres predecesores de Arrow en ese campo son los nombres de Ramón Llull (S. XIV), los franceses Nicolas de Condorcet y Jean Charles Borda (a finales del S. XVIII) y, en la misma época, de manera independiente y mucho menos conocido, el ilustrado español José Isidoro Morales (cuya contribución al asunto ha sido descubierta en tiempos relativamente recientes por miembros del grupo de investigación en elección Social de la Universidad de Valladolid; aquí una breve biografía de Morales).

Hace unos años dí una charla en un ciclo sobre los Límites del Conocimiento. Entre otros ejemplos de cómo las matemáticas y la física establecen de manera natural e inevitable límites absolutos, que son literalmente imposibles de transgredir, aparecía el teorema de Arrow. Se trata de un resultado matemático, y por tanto inescapable. Al leer la noticia del fallecimiento de su autor he recordado aquella charla y ya que se trata de un resultado realmente fundamental, he pensado en publicar la parte de las transparencias de la charla que trataban de éste resultado. Aunque en ausencia de los comentarios realizados durante la charla sobre la base del texto de las transparencias éstas queden seguramente demasiado esquemáticas, espero que al menos sirvan para despertar el apetito de los lectores que no conozcan este teorema ni su contexto.

El teorema de imposibilidad de Arrow se refiere al problema general de agregación de preferencias, esto es, a los métodos por los cuales las preferencias sobre una opción de un conjunto de miembros de una colectividad (electores) se traducen en una sola preferencia global , que juega el papel de preferencia colectiva. El ejemplo más obvio es el de elegir a un representante de la colectividad entre varios candidatos, sobre cada uno de los cuales los electores pueden expresar sus preferencias individuales. Pero el campo de aplicación de la idea de agregación de preferencias es muchísimo más amplio.

El significado fundamental del resultado de Arrow es que sean cuales sean los detalles precisos del mecanismo de agregación (trátese de una votación uninominal en el que cada elector propone únicamente a ‘su’ candidato, o trátese de un sistema preferencial en el que cada elector ordena a todos los candidatos según su propio orden de preferencia, o trátese cualquier otro método), es imposible que el procedimiento satisfaga simultáneamente ciertas condiciones que individualmente parecen inocuas y que ingenuamente parecerían exigencias irrenunciables en un mecanismo de agregación `razonable’.

Se trata de una imposibilidad matemática, y por tanto inevitable. Simplemente, no existe ningún sistema de agregación de preferencias que no pueda llevar en ciertas circunstancias a resultados que nadie dudaría en calificar de indeseables al ser abiertamente contrarios a lo que el diseño del sistema de agregación ingenuamente pretendía. Estas consecuencias `indeseables’ pueden aparecer en ciertas situaciones, y  podremos evitarlas solamente al precio de una modificación en el sistema de agregación en el cual las consecuencias que queríamos evitar podrán quizás haber desaparecido, aunque inevitablemente habrán aparecido otras consecuencias indeseables.

Les dejo con las transparencias.

PS. Este post aparece intercalado en una serie sobre las sumas infinitas. En parte esto es casual, ya que se trata de recordar un resultado importante de Kenneth Arrow en ocasión de su fallecimiento. Pero hay también una componente nada casual: no quiero dejar de mencionar que conceptualmente, el teorema de Arrow tiene bastantes analogías con lo que ocurre con la idea de `suma infinita’, analogías que espero comentar en los siguientes posts de la serie. Si queremos asignar una suma a una sucesión infinita de sumandos, y enunciamos unas cuantas propiedades que individualmente parecen inocuas y que ingenuamente parecerían exigencias irrenunciables en cualquier concepto de ‘suma’, lo que las matemáticas nos dicen, simplemente, es que en general no existe ningún concepto de `suma’ que tenga todas estas propiedades para una serie arbitraria.

De manera que si insistimos en asignar un valor como `suma’ a una tal serie, nos veremos obligados a renunciar a alguna de las propiedades que ignorantemente tildábamos de irrenunciables, viéndonos pues obligados literalmente a tragarnos nuestras palabras  (lo que, según Churchill, es una dieta muy nutritiva). La práctica totalidad de las dificultades y de las aparentes paradojas que se presentan al analizar las `sumas’ de series divergentes surgen como consecuencia de suponer (ingenua y equivocadamente) que tal suma tiene tales o cuales propiedades (por ejemplo, que no cambia al reordenar los sumandos, o al agruparles, o al introducir ceros en la serie), que realmente las `sumas’ de series arbitrarias no pueden tener. Desarrollaré esta analogía en los posts siguientes sobre sumas infinitas.

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Sin excluir todo lo demás: Kuhn versus Galison

Durante la agradable sobremesa tras la cena con algunos participantes en la jornada Naukas Coruña 2017, flotaba en segundo plano la importancia fundamental en ciencia de no limitarse a un único punto de vista. Si uno lo hace, sobre todo si es de manera un punto fundamentalista, se corre un gran riesgo de excluir indebidamente (deliberada o inconscientemente) a muchas otras posibles interpretaciones, y de empobrecer nuestro entendimiento de manera grave.

En ese contexto yo mencioné la anécdota de Kuhn interrumpiendo a sus discípulos con el atronador “que yo no soy kuhniano”. Pero no recordaba dónde la había leído. A mi vuelta a casa he localizado la fuente: la cuenta Freeman Dyson en “El científico rebelde“. Me parece muy ilustrativa y no resisto la tentación de compartir los fragmentos esenciales: Seguir leyendo

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Sorpresas en las sumas infinitas (II): Arquímedes, Oresme, Madhava.

Todas las familias felices se parecen; las familias infelices lo son cada una a su manera

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Lev Tolstói, en Anna Karénina

Fue en el S. XVII, con la gestación y el nacimiento del análisis  infinitesimal, el actual cálculo diferencial e integral, cuando las series, —de potencias, que se reducen a series numéricas cuando se da un valor numérico a la variable— comenzaron a ser un objeto ubicuo en las matemáticas occidentales. Pero antes de esas fechas habían sido varios los matemáticos preocupados por las sumas infinitas. Resumimos en este post lo que hasta entonces se aprendió. Que consiste esencialmente en reconocer lo equivocado de algunas ideas ingenuas sobre esta cuestión.

Una primera idea errónea, —que unida a la confusión entre el infinito actual y el infinito potencial conduce a las varias paradojas de Zenón—, consiste en creer que si una suma consta de un número infinito de sumandos, su valor no puede ser finito. Esto es cierto en muchos casos. Parece claro que la serie 1+1+1+1+1+1+… no tiene un valor finito como suma. Tampoco lo tiene la 1+2+3+4+5+6+ … (aunque sobre ambos ejemplos volveremos en otros posts).

Pero hay algunas series infinitas en las que esa afirmación no es cierta. Con seguridad Arquímedes (y probablemente otros) ya habían visto claro durante la antigüedad que  un número infinito de sumandos es compatible con un valor finito para la suma. En otras palabras, la presencia de infinitos sumandos no implica como consecuencia inevitable que la suma tenga que tener un valor infinito. Seguir leyendo

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“A la una yo nací, ….”

A la una yo nací / a las dos m’engrandecí /
a las tres tomí amante / y a las cuatro me cazí.

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Son los cuatro primeros versos de una canción sefardí. No he encontrado las interpretaciones de Joaquín Díaz ni de Sofía Noel, y enlazo aquí la excelente versión de Françoise Atlan.

Guiando la evolución del Universo y los avatares personales, a lo largo de los segundos, las horas, los días, los años o los eones: el tiempo. A partir de hoy, como hace un año, como hace dos años,  como hace tres años, hablaremos de Relatividad y de Gravitación, uno de los más impresionantes logros culturales humanos y nuestra mejor teoría sobre el tiempo.

Siempre el tiempo, ese gran escultor, ese soberano único para gobernarlos a todos, para encontrarlos, para atraerlos y arrastrarlos al ucronos, donde el tiempo ya no transcurre.

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¿Qué sorpresas esconden las sumas infinitas? I

No conozco a la mitad de ustedes ni la mitad de lo que me gustaría; y menos de la mitad de ustedes me gusta la mitad de lo que se merecen.

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Bilbo Bolsón, en La Comunidad del Anillo, de J. R. Tolkien. Traducción tomada de aquí.

A muy grandes rasgos, hay dos tipos de sumas infinitas, distinguidas por cómo están ‘etiquetados’ los sumandos: aquellas en las que se suma un conjunto infinito pero discreto de números, y aquellas en las que se ‘suma‘ sobre un conjunto continuo.

A las primeras se las llama en matemáticas series, y a las segundas integrales. Un indicio de que la integración es un descendiente evolucionado de la suma lo sugiere el símbolo propuesto por Leibniz: una S alargada, con el objetivo de transmitir la idea de S(umación), que se ha estilizado al actual símbolo ∫.  Además de esa evidencia procedente de la arqueología notacional, hay otra etimológica: integración proviene del latín integratio, cuyo sentido es constituir un todo agrupando sus partes. Y tampoco está de más recordar que uno de los precedentes directos de lo que en el sentido moderno vemos como integración (de una función cuya integral hoy además sabemos que no es directamente ‘inmediata’ y que sigue sorprendiento a los estudiantes) aparece en relación con las matemáticas de la proyección de Mercator, unos 60 años antes del nacimiento oficial del cálculo infinitesimal. Su autor,  Edward Wright tabulaba numéricamente en 1599 la cantidad que hoy escribiríamos como ∫ sec(x) dx y describía el proceso seguido como “la adición perpetua de las secantes”. Pero ésto es otra historia, de la que habrá que hablar en otra ocasión.

Las sumas que se extienden a una secuencia infinita de sumandos se escriben convencionalmente como a1+a2+a3+…. . El infinito que etiqueta a los sumandos en una expresión tal es un infinito discreto, numerable. Comparadas con las integrales, o ‘sumas continuas‘, esas sumas infinitas discretas o series parecen una construcción relativamente simple y podríamos quizás esperar que sus propiedades fueran semejantes a las de las sumas ordinarias. Pero esta esperanza es ciertamente demasiado ingenua.

Una de las primeras lecciones que se aprenden al estudiar cualquier problema en donde intervenga el infinito es que se trata de un terreno sumamente resbaladizo, Seguir leyendo

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Michael Berry, sobre la astronomía de ondas gravitatorias (en 1976)

BerryPrinciplesCosmologyGravitationMientras buscaba recientemente documentación para otros asuntos, he vuelto a consultar el libro Principles of Cosmology and Gravitation, de Michael V. Berry.  A pesar de que este libro cumple  ahora 40 años, creo que no ha perdido su interés. Y como una introducción plena de sentido físico a la teoría de Einstein de la gravedad me sigue pareciendo extremadamente aconsejable en su brevedad y visión. De estilo muy conciso y limitándose a lo realmente básico, llega bastante lejos en la teoría de Einstein de la gravedad —que no ha cambiado en esos 40 años— y presenta con gran claridad e incluso, en algunos casos, anticipación, las cuestiones básicas de la Cosmología, por más que nuestra imagen de la Cosmología haya sufrido sustanciales mejoras desde 1976. Como muestra de tal anticipación, (y también para sacar al blog de la sequía de los últimos meses), no me resisto a reproducir aquí este párrafo que ahora, 40 años más tarde de haber sido escrito, resulta visionario: Seguir leyendo

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Tan sólo la poesía y las matemáticas

En un mundo de luz no hay ni puntos del espacio ni momentos de tiempo; los seres cuyo tejido sea la luz vivirán en un nodonde y nocuando [nowhere and nowhen]; tan solo la poesía y las matemáticas son capaces de hablar de manera significativa sobre estas cosas. Un punto en C P3 es la historia de la vida completa de un solo fotón, —el “suceso” más elemental que puede ocurrir a la luz.

Yu. I. Manin, en el Capítulo 4, Space-time as a physical system, de Mathematics and Physics 1981. Reimpreso en Mathematics as Metaphor: Selected Essays of Yuri I. Manin, AMS, 2007.

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Umberto Eco, S·T·T·L

Stat rosa pristina nomine, Nomina nuda tenemus

Umberto, Sit Tibi Terra Levis

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“And know the place for the first time”

Sólo a través del tiempo el tiempo es conquistado

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T.S.Eliot, Cuatro Cuartetos, Burnt Norton II

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Este segundo cuatrimestre, comenzando el 15 de Febrero —hoy, en el momento de publicar esta entrada—, voy a impartir la Asignatura Gravitación y Cosmología. Su eje central es la Relatividad de Einstein, como teoría del Espacio-Tiempo. Y su centro es el análisis físico del Tiempo, el auténtico corazón de la Relatividad.

Sin relación aparente, asistí el lunes pasado a una conferencia de Margarita Salas, quien incluyó para acabar una cita de T.S.Eliot, Nobel de Literatura en 1948. La cita puede verse como una referencia poética a una de las enseñanzas básicas de la ciencia: sólo podremos decir que conocemos un asunto (por vez primera) al final de un largo proceso de exploración, que habrá comenzado en el mismo sitio pero al que volveremos ‘más arriba’, y que a su vez será el comienzo del siguiente nivel: la metáfora de la escalera de caracol.  En ese contexto yo había empleado estos versos para encabezar una charla hace dos veranos:

We shall not cease from exploration
And the end of all our exploring
Will be to arrive where we started
And know the place for the first time.

La mención hecha por Margarita Salas volvió a traer a mi mente este fragmento, y he dedicado un poco de tiempo Seguir leyendo

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(Casi) un siglo de Cosmología III.

…. (continúa de aquí) En la entrada anterior de la serie estábamos en las décadas de los 1960 y 1970, en las que tiene lugar…

El inicio de la edad de oro de la Astrofísica y Cosmología

Pues en esas décadas las mejoras en la tecnología comienzan a permitir observaciones y medidas de cada vez mayor precisión, lo que modifica el centro de gravedad (valga la redundancia) de los trabajos en Relatividad General y en Cosmología. Hasta entonces muchas observaciones no alcanzaban demasiada precisión (no podían alcanzarla), y aunque había bastantes predicciones teóricas desarrolladas, la posibilidad de su confirmación mediante observaciones finas estaba realmente bloqueada. Pero a partir de entonces la situación se invierte: tenemos cada vez más y mejores observaciones con una precisión también cada vez mayor …. lo que que sin excepción va consolidando la imagen del Universo basada en la Cosmología Relativista: un Universo en expansión, descrito con muy buena aproximación por las ecuaciones del modelo de Friedman-Lemaître-Robertson-Walker, FLRW.

Expansión ¿acelerada?

El año 1998 fue testigo de la última (hasta ahora) sacudida en nuestra imagen del mundo. Que el Universo se encuentra en expansión está fuera de toda duda. Hasta 1998 se creía Seguir leyendo

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Charla “La teoría de la gravedad de Einstein cumple 100 años”

Y, dentro de esta iniciativa de Cuentos Cuánticos de publicar en el momento del centenario posts sobre la Relatividad General, además del breve artículo periodístico del post anterior y para quienes tengan más tiempo, suficiente interés, o ambas cosas, enlazo aquí el audio (gracias, Inés y Joana) y la presentación de la charla que dí el pasado 19 de Noviembre en el Museo de la Ciencia de Valladolid, dentro de la Semana de la Ciencia.

El audio no incluye el turno de preguntas y comentarios, que duró otros buenos tres cuartos de hora.

Audio e imágenes no están integrados; van por separado. Si quiere seguir la charla, arranque el audio y después, haciendo click sobre la imagen de la presentación se abre el visor de .pdf del navegador, desde el que se puede seguir la presentación página a página mientras se escucha el audio.  No aparecen, claro, las indicaciones con el puntero laser en la charla en vivo, y depende del oyente escoger acertadamente cuando pasar a la transparencia siguiente.

Hay varios videos en la presentación, con su botón de arranque que hay que pulsar en su momento. Es posible que desde el visor de .pdf de algunos navegadores esta funcionalidad no esté disponible y los videos no arranquen; esta dificultad debe(ría) desaparecer descargando la presentación, lo que también se puede hacer desde el visor de .pdf del navegador, y leyendola desde allí con Acrobat o Acrobat Reader.

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En el centenario de la Relatividad General

El texto a continuación es un artículo publicado el viernes 13 de Noviembre de 2015 en el Suplemento ‘La Sombra del Ciprés‘ del Norte de Castilla, que esa fecha estuvo dedicado a la Ciencia. Reproduciéndolo aquí (gracias Angélica) me uno a la propuesta de Cuentos Cuánticos de celebrar el centenario de las ecuaciones del campo gravitatorio, que se cumple precisamente hoy,  publicando entradas sobre el tema de forma simultánea en los blogs que se sumen a la iniciativa.
Dentro de la misma conmemoración, para quienes dispongan de más tiempo o tengan especial interés, en el siguiente post he colgado una charla sobre el tema que dí en el Museo de la Ciencia de Valladolid el pasado día 19 de Noviembre dentro de la Semana de la Ciencia; en el post están el audio y la propia presentación.

El 25 de Noviembre de 2015 se cumplen cien años de la sesión de la Academia Prusiana de Ciencias en la que Albert Einstein presentó la versión final de su teoría de la gravedad, conocida como Relatividad General, que hoy es nuestra mejor teoría de esta interacción que gobierna el Universo.

Disponíamos antes de la teoría de la gravedad de Newton. Que es bastante buena. Con ella explicamos las mareas y los movimientos del sistema Solar. Predijimos Neptuno. Guiamos naves espaciales a la Luna o Marte. Sobrevolamos todos los planetas y Plutón. Y entendimos que estar en órbita es estar en caída libre ‘eternamente’: La Luna lo está alrededor de la Tierra, cayendo permanentemente, aunque esa caída Seguir leyendo

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(Casi) un siglo de Cosmología II

(continúa de aquí) …. Pasemos pues revista a los momentos destacados en el desarrollo de nuestra imagen actual del Universo.

Algo falta: la materia oscura

Fritz Zwicky

Fritz Zwicky

En los 1930, Fritz Zwicky, un precursor brillante y  algo atrabiliario, nota que observaciones cuidadosas en cúmulos galácticos (en concreto el cúmulo de Coma) analizadas aplicando el teorema del virial sugieren que la masa responsable de los movimientos observados es bastante mayor de la que se ‘ve’ ópticamente. Zwicky propone que una explicación para tal discrepancia podría ser una nueva y desconocida  forma de materia que no interaccione con la luz pero que cause y sienta efectos gravitatorios, y acuña para esta ‘materia que falta’ el nuevo término ‘materia oscura’.

No se trata de una hipótesis tan ad-hoc como pudiera parecer: la esencia de la relatividad general es que cualquier cosa que tenga energía produce efectos gravitatorios. Si tan solo conocemos la materia que emite y absorbe luz, eso se debe precisamente a que la práctica totalidad de nuestra información sobre el mundo nos llega a través de la luz. Pero son perfectamente imaginables otros tipos de materia que no emitan ni absorban luz. Con lo que no podríamos ‘verlos’. Aunque siempre que esta materia ‘oscura’ tenga energía (lo que parece mucho más inevitable), Seguir leyendo

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(Casi) un siglo de Cosmología I

Este post (que publicaré en tres partes) es el texto, con mínimas revisiones y alguna pequeña adición, de un artículo publicado en el número 21 de ALKAID, con el amable permiso de su directora. He reemplazado las imágenes del artículo original por fotografías (de dominio público) de los personajes más destacados en esta historia.

ALKAID es una revista cultural independiente. Cubre múltiples facetas del conocimiento, “desde la Lingüistica hasta la Astronomía”: divulgación científica, ensayo, historia, arqueología, medio ambiente, poesía, arte, wargames, montaña, etc. Si no la conocen, probablemente no se imaginen la calidad y el cuidado que se percibe en cada uno de su detalles: no solo el papel, el formato, la maquetación y la impresión, sino también la enorme variedad, amplitud e interés de los temas que trata. Así que se la recomiendo sin ninguna reserva. Merece la pena.

Stonehenge, nocturno

Stonehenge Nocturno ca. 2800-1500 B.C., Wiltshire, England, UK — Stonehenge at Night — Image by © M. Dillon/CORBIS

La historia de la Astronomía es una historia de horizontes en retirada.                                                                                                 Edwin Hubble

La observación del cielo, rastreable desde hace varios miles de años, es la primera empresa colectiva humana que sin duda contiene el germen de la ciencia. En ella surgen preguntas: ¿qué sabemos sobre el Universo?, ¿cuándo y cómo hemos comenzado a saberlo?, ¿cómo empezó el Universo? o ¿cómo evolucionó hasta el estado que vemos hoy? En la breve historia de nuestra búsqueda de respuestas veremos que esta empresa se describe bien en la frase de Hubble que encabeza el artículo: Seguir leyendo

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Elogio del número seis

No todos los números tienen el mismo carácter. “Seis” es un número interesante. Algunos otros números también lo son. Pero los números bastante interesantes son pocos: 5, 8, 24, 42, ….

A tu alcance hay seis direcciones cardinales, en las que puedes moverte: Norte / Sur, Este / Oeste,  Arriba / Abajo. Quizás creías que eran sólo cuatro, pero también puedes subir y bajar.

Con solo hexágonos puedes teselar el plano: lo hacen también las abejas. Y los copos de nieve tienen una variada simetría de orden seis.

Cristales hexagonales en copos de hielo. Fuente:  Bentley, W. A. Snow Crystals. NY: Dover, 1962

Hay precisamente seis quarks y seis leptones, y de sus combinaciones surge toda la materia que conocemos, con su amplísimo espectro de características, incluyendo la curiosa propiedad del carbono (cuyo número atómico es seis) de formar enlaces hexagonales, una propiedad a la que tú (y todos nosotros) debemos algo 🙂 …. Seguir leyendo

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El monte del ‘cuñao’

Esta gráfica —que representa la disposición a opinar sobre cualquier tema frente al conocimiento que de tal tema se tenga— parece recoger la esencia del fenómeno ‘opinador’ tan español que inunda nuestra vida cotidiana. La ví aquí (en donde no se aplica particularmente a España, aunque estoy seguro de que en España el efecto que recoge es especialmente intenso). Y me parece tremendamente realista. Como modelo matemático del asunto, chapeau. Ya se sabe que los modelos deben ser todo lo simples que sea necesario, pero no más.

Aquí va la gráfica. Real como la vida misma.

Visto en xxx

Visto en smbc, por Zach Weinersmith

Un poco de quantum flapdoodle: Obviamente el máximo en rojo en la gráfica, denominado ‘monte estúpido’, es un resultado de la interacción de las fluctuaciones cuánticas del vacío con el campo opinahkásico (que como se sabe no es escalar como el campo de Higgs, ni espinorial como el de Dirac, ni  tensorial como el del campo gravitatorio, sino que es de naturaleza opinatorial). Esta interacción conduce a una anomalía ‘cuántica’ que no se daría en un mundo ideal en el que dichas fluctuaciones cuánticas estuvieran ausentes. Por tanto es inevitable: no hay posible apantallamiento ante tal fenómeno. Lo que es realmente una buena noticia: en el mundo ideal en el que no existiera tal anomalía, la gráfica sería una simple curva creciente (como la representada en el tramo negro) carente por completo del menor appeal. Y en esa penosa situación la vidilla opinadora en las barras de nuestros bares y en nuestros programas televisivos con tertulianos sería poco movida, aburrida y cansina.

Pero el nombre que han adjudicado a ese máximo local en la gráfica es demasiado directo, y si lo usamos aquí muchos españoles se darán por ofendidos (darse individualmente por ofendido a causa de alusiones particulares a miembros de un colectivo también parece ser otra esencia patria). Este efecto indeseado se podría evitar traduciendo por ‘Monte del cuñao‘, lo que hace referencia a esta acepción moderna y descriptiva del término (un buen ejemplo real de cuñao, aquí) que no tiene porqué ofender a nadie. Porque nadie se ve a sí mismo como tal.

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‘Teóricos’ vs. ‘Experimentales’ y otros enfrentamientos

Tiempo atrás presencié otra situación en la que se recurría al mito de la Tierra plana de modo bastante diferente al uso interesado en la película “What the bleep do we know”  al que me refería en un post anterior. Fue asistiendo como oyente a una charla dada por un científico, y cuyo público era en gran parte no científico.

Primero, un listado de obviedades ideales. La Ciencia es una empresa colectiva. Su objetivo es entender la Naturaleza. Y la naturaleza de la ciencia requiere la cooperación. Para ello se necesitan tanto ideas surgidas en las buenas cabezas —que permitan imaginar— como los resultados de los buenos experimentos u observaciones de la realidad —que permitan ver—. Pretender que se pueda avanzar apoyándose solamente en una de esas mitades es, en el mejor de los casos, iluso. Y la (buena) ciencia avanza reconociendo lo que es incorrecto y corrigiendo, cuando sea posible hacerlo, lo que necesita mejora, en un proceso que es a la vez dialéctico y simbiótico.  Teoría y experimentación u observación deben avanzar complementándose; hay ejemplos históricos en los que el papel inicial para los avances relevantes lo han tenido bien la una o las otras.

Y otra última obviedad. No soy tan ingenuo como para no ser completamente consciente de que lo anterior son las normas ‘ideales’ pero que el comportamiento de los científicos individuales o de las instituciones científicas o de las Universidades tiene un amplísimo espectro, y que el porcentaje de científicos o de profesores o de redactores de planes de estudio o de rectores o de ministros de ciencia que actúan anteponiendo otro tipo de intereses es, con suerte, el mismo que el porcentaje correspondiente en cualquier otro grupo humano (una variante, en otro cuadrante, de la constancia de la fracción \wp, Cipolla dixit). El que estos porcentajes sean lo que son parece un hecho natural inevitable Seguir leyendo

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Timeline de la Historia de la Mecánica Clásica

He preparado este Panorama Cronológico (a.k.a. Timeline) de la Mecánica Clásica con vistas a la asignatura “Mecánica Teórica” de cuya docencia me voy a encargar este curso. Su objetivo es facilitar el establecimiento de relaciones temporales significativas entre quienes más destacadamente contribuyeron (Galileo, Newton, Leibniz, Euler, Lagrange, Hamilton, Jacobi y tantos otros en la segunda fila) a cada parte de la impresionante construcción intelectual que es la Mecánica Clásica. En su excelente “The variational principles of Mechanics“, Cornelius Lanczos, un físico matemático húngaro que fué colaborador de Einstein, dice

… there is a tremendous treasure of philosophical meaning behind the great theories of Euler and Lagrange and of Hamilton and Jacobi, which […] cannot fail to be a source of the greatest intellectual enjoyment to every mathematically minded person.

La extensión temporal de la Timeline, que cubre unos 2500 años obliga a partirla en dos fragmentos, uno del S.V A.C. a 1550 cubriendo 2000 años, y el otro de 1500 a 2015. Si algún lector estima que hay alguna omisión destacada, agradeceré el aviso.

Mi propósito inicial fué incluir también una mención telegráfica a las contribuciones de cada autor, pero es claro que juntar líneas de vida, retratos y contribuciones en una sola pantalla daría un conjunto demasiado abigarrado. Así que he optado por representar solo los intervalos de la vida de los autores, con una muy vaga codificación: los nombres realmente importantes y básicos en la Mecánica Clásica como tal figuran en la parte superior, con todo un espectro de contribuciones auxiliares según se avanza hasta la parte inferior. Durante el S. XX, la teoría de sistemas dinámicos y el ‘descubrimiento’ del caos puede verse como una parte importante de la evolución de la Mecánica Clásica, desgajada parcialmente de ella a partir de Poincaré, y por ello he incluido algunos nombres importantes de ese campo. Y por otro lado, es perjudicial y además poco adecuado conceptualmente ver la Mecánica Clásica como opuesta a la Relatividad o a la Mecánica Cuántica, algunos de cuyos creadores aparecen en esta Timeline por derecho propio; Dirac desarrolló la moderna teoría de ligaduras, y Feynman dió la clave para entender realmente el mecanismo que subyace tras el principio de acción estacionaria.

En otros casos, hay varias sublineas que eventualmente comentaré y que iremos viendo en clase cuando llegue el momento. Un ejemplo: todo el mundo sabe que el espacio de fases es el objeto fundamental en la teoría de sistemas dinámicos, pero, ¿cual es el origen de la idea y del nombre de ese objeto básico? ¿Y a qué fases se refiere? Bien, pues he procurado incluir los nombres que sean necesarios para dar sentido y consistencia a ésta y a otras historias, de la que hablaremos en otra ocasión, aunque esos nombres no tuvieran contribuciones destacadas a la Mecánica como tal.

Las dos Timelines funcionan igual que las otras dos análogas que agrupan y ordenan información cronológica para el modelo estandar de las partículas elementales y para la Cosmología: pinchando en cada una de las dos miniaturas de las dos partes (S. IV A.C. a 1550 y 1500 a 2015), se deberá abrir la ventana de lectura de .pdf’s en su navegador mostrando cada timeline completa. Allí se debe ampliar la escala de visión hasta que verticalmente el fichero ocupe la pantalla completa. Luego hay que navegar por él lateralmente: el fichero está construido para verse exactamente así. Representa horizontalmente la diacronía, y verticalmente la sincronía. Cada científico está representado por su línea de vida, con una imagen centrada adosada y el nombre superpuesto.

Un panorama de este tipo ayuda a construir un contexto en el que colocar la red de ideas que forman la Mecánica Clásica y su evolución. Y como en las otras dos que he mencionado, hay detalles también aquí para entretenerse un buen rato. Disfrútenlo.

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El mito de la Tierra Plana: Los mapas y la evidencia

Desde la Antigüedad, se ha sabido que la Tierra era esférica y este conocimiento no desapareció en la Edad Media. Para completar las pinceladas que vimos en un post anterior, quiero hoy dar un rápido repaso a unos cuantos hechos que dejan poco lugar a las dudas sobre esa afirmación.

Globo DE Crates

Diagrama del Globo Terráqueo de Crates de Mallus.

El  modelo más antiguo de un globo terráqueo se debe a Crates de Mallus (S. II a.C.); Estrabón deja constancia de su diseño. De hecho, Crates era tan consciente de que el Oecumene, el mundo conocido en su época, era solamente una pequeña parte del mundo que conjeturó, por simetría y para equilibrar el conjunto, la existencia de otros tres continentes: Perioeci (al lado del oecumene), Antoeci (opuesto al oecumene) y Antipodes (opuestos por los pies). Esto se ilustra en este grabado (cuya fuente no he podido identificar) que muestra la disposición de esas cuatro partes ‘ideales’ de la esfera terrestre. Como un comentario marginal, vemos que la creencia en un mundo en que la simetría tiene un papel esencial, que hoy mantenemos bastante íntegra, Seguir leyendo

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La Tierra plana y “What the bleep do we know!?”

…. Hace 25 años, John Campbell, cuya especialidad era irritarme, me decía que con el tiempo, todas las teorías resultan ser erróneas.

Mi respuesta fue: “John, cuando la gente pensaba que la Tierra era plana, estaban equivocados. Cuando pensaban que era esférica, estaban equivocados. Pero si tú piensas que la creencia de que la Tierra es esférica es un error comparable al de creer que es plana, entonces tu punto de vista es más erróneo que los otros dos juntos”.

El fallo básico es que la gente piensa que “correcto” y “equivocado” son absolutos; que lo que no sea perfecta y completamente correcto está total e igualmente equivocado.

Sin embargo, no creo que esto sea así. Me parece que correcto y equivocado son conceptos difuminados, y en este ensayo voy a explicar porqué lo creo así.

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The Relativity of wrong, Isaac Asimov.

No sé si ustedes conocen la película ‘documental’  “¿Y tú qué sabes?“, versión en español de “What the bleep do we know?” [WTB.., grafía original “What tHe βLεεp Dθ wΣ  (k)πow!?” o incluso “What tHe #$*! Dθ wΣ  (k)πow!?” lo que nos deja en la duda de si sus autores pretendieran homenajear debidamente al capitán Haddock].

El capitán Haddock

El capitán Haddock, ‘viendo’ una botella de borgoña, en “El cangrejo de las pinzas de oro”. En la siguiente escena intenta descorcharla, encontrando que el corcho es la cabeza de Tintin.

Yo no la conocía, Seguir leyendo

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El mito de la Tierra Plana

La mente humana parece funcionar como un dispositivo categorizador (quizás incluso, como defienden muchos estructuralistas franceses, como una máquina de dicotomizar, dividiendo el mundo sin descanso en dualidades de tipo “crudo y cocido” [naturaleza versus cultura]: macho y hembra, material y espiritual, y así sucesivamente). Este hábito de pensamiento profundamente enraizado (quizás innatamente) nos pone en dificultades específicas cuando se trata de analizar los muchos continuos que forman las partes más destacadas del mundo a nuestro alrededor.

Los continuos son raramente tan suaves y graduales en su flujo como para que no podamos especificar determinados puntos o episodios como claramente más interesantes, o más tumultuosos en sus tasas de cambio, que la inmensa mayoría de los momentos a lo largo de la secuencia. Por lo tanto, escogemos falsamente estos episodios cruciales como fronteras para categorías estables, y ocultamos la continuidad de la naturaleza con los envoltorios de nuestros hábitos mentales.

Debemos también recordar otro aspecto insidioso de nuestra tendencia a dividir los continuos en categorías fijas. Estas divisiones no son neutras; las establecen los partidarios de ciertos puntos de vista particulares con propósitos determinados.

Además, como muchos de estos continuos son temporales, y ya que tenemos una lamentable tendencia a considerar nuestra época como la mejor, éstas divisiones suelen adjudicar al pasado nombres peyorativos, mientras que las épocas sucesivamente más modernas se designan con palabras de luz y progreso.

[…]

Este ensayo ha discutido un doble mito en los anales de nuestros malos hábitos en la falsa categorización: (1) la leyenda de la Tierra plana como apoyo para una ordenación sesgada de la historia occidental que se presenta como una historia de redención desde la época clásica hasta el Renacimiento, pasando por la época oscura y medieval, y (2) la invención del mito de la Tierra plana para apoyar una falsa dicotomización de la historia occidental como otra historia de progreso, una guerra de la ciencia victoriosa sobre la religión. No me sentiría preocupado por estos errores si solamente condujeran a una visión inadecuada del pasado, sin consecuencias prácticas en nuestro mundo moderno. Pero el mito de una guerra entre la ciencia y la religión permanece como algo de cada día ….

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Stephen Jay Gould (1941 – 2002)

La Tierra no es plana, sino una esfera. Nadie hoy lo pone en la más mínima duda. Pero si se pregunta ¿desde cuando sabemos, como colectividad, que es así? es más que probable recibir como respuesta que durante la Edad Media se pensaba que la Tierra era plana, y que solo tras Colón y los primeros viajes de circunvalación se zanjó la cuestión Seguir leyendo

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En el Campus de Profundización Científica, Soria 2015

Ayer tuvo lugar en Soria el acto de Inauguración de la edición de este verano del Campus Nacional de Profundización Científica 2015 para estudiantes de ESO, promovido y financiado por el CNIIE desde el Ministerio de Educación, Cultura y Deporte y en el que actúa como Entidad Colaboradora la Real Sociedad Española de Física.

En el acto de Inauguración impartí una charla con el título “El Universo y la luz”. La charla estaba destinada a los estudiantes que participan en el Campus, procedentes de toda España y seleccionados entre varios cientos de solicitudes por sus excelentes logros académicos.

Al final de la charla solamente dispusimos de tiempo para unas pocas preguntas —el horario de actividades es realmente muy apretado—. Cuelgo ahora el fichero de la presentación para quienes quieran descargarlo (también pinchando en la imagen), y animo a quienes se quedaran con ganas de preguntar algo más lo hagan en los comentarios; prometo responder.

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Durante la charla proyecté también un video, al que se referían algunas de las cuestiones.  Tuve la suerte de participar Seguir leyendo

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Una Timeline de la Cosmología en los últimos 100 años

He preparado este Panorama Cronológico (a.k.a. Timeline) de la Cosmología en los últimos 100 años para la charla que doy hoy en el curso organizado por el GUA y la Sociedad Syrma.

Al igual que en la Timeline del modelo estandar de las partículas elementales, pinchando en la miniatura se deberá abrir la ventana de lectura de .pdf’s en su navegador mostrando la timeline en todo su esplendor. Allí se debe ampliar la escala de visión hasta que verticalmente el fichero ocupe la pantalla completa. Luego hay que navegar por él lateralmente: el fichero está construido para verse exactamente así. Representa horizontalmente la diacronía, en dos grandes franjas. La franja superior tiene varios bloques sobre la teoría y la interpretación relacionada con esta historia y en la inferior se ubican a lo largo del tiempo resultados o iniciativas observacionales en Astronomía y Cosmología en los distintos rangos de observación (visible, radio, etc.). Cada uno de esos bloques tiene su línea de fechas y la sincronía entre ellas está representada en vertical, con unos iconitos que ubican temporalmente sucesos históricos relevantes.

Como en su Timeline análoga para el modelo estandar de las partículas elementales, un panorama de este tipo ayuda a percibir bien la inter-relación temporal y conceptual entre los descubrimientos observacionales y los modelos teóricos. Hay detalles también aquí para entretenerse un buen rato. Disfrútenlo.

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“Nadie entre aquí que no sepa Geometría” ¿Podemos ignorarla?

De acuerdo con una tradición, sobre la puerta de la Academia de Platón estaba grabada la frase:

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El texto griego inscrito en la puerta de la Academia de Platón. Fuente

“Nadie entre aquí que no sepa Geometría”

No sabemos con seguridad si la frase realmente figuró o no en el frontispicio de la Academia. Lo que sí es seguro es que la frase resulta correcta en cuanto a su espíritu en relación con la obra de Platón.  Y en el caso de que la tradición no fuera  literalmente confiable, sería un buen ejemplo de una leyenda a la que se podría aplicar aquello de “se non è vero è ben trovato”. 

La estructura del Espacio-Tiempo, y del campo gravitatorio es una geometría. Que contiene nuestra mejor descripción del Universo, entre otras cosas. Comprobada y verificada hasta niveles de precisión realmente inimaginables. Nos ha costado dos milenios y medio de esfuerzo intelectual de generaciones y generaciones anónimas y de unas cuantas destacadas individualidades llegar a entenderlo colectivamente como podemos hacerlo hoy.

Pero sigue habiendo quien con desenvoltura y desparpajo actua como si fuera posible ignorar la geometría. Vean, en esa dirección, este video “The Expert“, que no tiene desperdicio y que seguramente les hará al menos sonreir. Y compadecer al experto.

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Simulando: … y de la Regla de Cálculo … a la simulación cuántica.

… continúa del post anterior.

Otro simulador analógico que en la práctica ha desaparecido virtualmente, tras haber prestado grandes servicios a la comunidad de científicos e ingenieros, es la regla de cálculo.

Desde que se concibió la idea de los logaritmos, que permiten calcular una multiplicación de números a través de la suma de sus logaritmos, aparecieron las primitivas versiones de la regla de cálculo, una simple yuxtaposición de dos regletas deslizantes con los números grabados en ambas según una escala logarítmica.

La regla de cálculo, como muchos otros nomogramas analógicos, permitía omitir (o cortocircuitar) una parte del trabajo tediosa: no era necesario buscar en una Tabla los logaritmos de dos números, sumarlos y con esa suma consultar de nuevo la tabla en sentido inverso, todo ello interpolando si era necesario, para recuperar el producto de los dos números. Con la regla de cálculo bastaba un solo deslizamiento de una escala sobre la otra para hacer coincidir el 1 de la escala superior con el primer factor (en la imagen 1.5) y entonces, sin más, el segundo factor en la escala superior coincidía con el producto de ambos en la inferior (por ejemplo 1.5 x 4 = 6). Con otra ‘ventaja’ añadida: Seguir leyendo

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Simulando: de las ‘Orreries’ del S. XVIII ….

Charles Boyle, 4th Earl of Orrery (1647–1731) era un noble irlandés que tuvo una activa vida de interés en asuntos literarios y científicos, incluyendo una polémica con Richard Bentley, uno de los corresponsales de Newton.

En 1712, el 4th Earl of Orrery encargó a un constructor de relojes, John Rowley, el diseño y construcción un modelo mecánico del sistema Sol-Tierra-Luna, con el Sol en el centro, la Tierra orbitando alrededor de él y la luna orbitando alrededor de la Tierra. Este modelo debía servir para mostrar el movimiento de estos tres astros, representando fielmente las orientaciones relativas de sus posiciones a lo largo del tiempo, a expensas de la escala espacial precisa, cuya representación cae fuera de los límites razonables en ningún modelo mecánico. Alguien se refirió a la propia máquina como una ‘orrery‘ y el nombre cuajó; desde entonces, estos modelos de planetarios mecánicos heliocéntricos se conocen genéricamente en Inglaterra como ‘orreries‘.

No sé de ninguna traducción aceptada al castellano del término orrery de manera que usaré el nombre inglés. La traducción más obvia, planetario, no tiene en español las mismas connotaciones y se suele aplicar a los sistemas ópticos de proyección del cielo estrellado sobre una bóveda (al igual que ocurre con planetarium en inglés). Una reflexión amargamente malévola al margen: Seguir leyendo

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La tetera de Newell y una nueva asignatura

En 1975 el modelado por ordenador en tres dimensiones estaba en su infancia.

Martin Newell, un investigador en ese campo, buscaba un objeto simple, pero no demasiado simple, para su trabajo de modelado en 3D. Según la historia (o es ya leyenda) Newell escogió una tetera que tenía en su cocina, hizo una secuencia de dibujos en 2D y empleó esos dibujos para crear un modelo en 3D, cubriendo la tetera con un esqueleto de una red de polígonos y usando superficies de Bézier para ‘vestir’ el enrejado. Tanto la propia tetera original (que existe de verdad como objeto tridimensional) como los dibujos originales de Newell y las imagenes 3D generadas por ellas son hoy casi objeto de culto: la tetera de Newell o la tetera de Utah. Y es que hay algo entre mágico e inquietante en la aparición partiendo de dibujos bidimensionales de un objeto sólido que se despega del plano cobrando una nueva vida tridimensional. Seguir leyendo

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Alrededor de los puntos de Lagrange en 3D: Las órbitas de Halo (y IV)

You can’t connect the dots looking forward; you can only connect them looking backwards. So you have to trust that the dots will somehow connect in your future.

Steve Jobs, en la 2005 Stanford Commencement Address

sigue del post anterior de la serie…

A vista de pájaro, la historia narrada en los tres posts anteriores aparece como el proceso de ir poniendo ‘dots’: quienes ponen cada uno de ellos pueden no sospechar para qué se añadirá el siguiente. Primero Euler y Lagrange, hace dos siglos y medio, en el transcurso del estudio de un problema mucho más amplio, encuentran ciertas configuraciones de movimiento en el problema de tres cuerpos, las configuraciones que hoy llamamos de ‘equilibrio relativo’. Desde mediados del S. XIX, de la mano de Maxwell y de otros se van abriendo paso las ideas del estudio de la estabilidad de tales movimientos en problemas semejantes. Hace poco más de un siglo se comienzan a descubrir asteroides en las posiciones predichas por Lagrange, y se acuña la actual denominación de estos puntos.

En ese momento ya tenemos el conjunto de conexiones necesarias entre todos estos ‘dots’ para seguir los tres posts anteriores, en los cuales nos hemos aventurado llegando hasta donde se puede alcanzar usando la aproximación lineal o de pequeñas oscilaciones para estudiar el movimiento tridimensional en las cercanías de los puntos de Lagrange.

Pero si ponemos aquí el punto final, nos perderíamos un interesantísimo pasadizo que nos conduce a un mundo nuevo de órbitas. La entrada a ese al Siq, que hay que buscar deliberadamente, Seguir leyendo

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Alrededor de los puntos de Lagrange: Órbitas de Lissajous en 3D (III)


… Sigue del post anterior de la serie….

… en el que discutíamos cómo sería el movimiento libre de un asteroide (o una nave espacial) en las cercanías de uno de los puntos de Lagrange, limitándonos al caso de que el movimiento tenga lugar exactamente en el plano en el que rotan los dos primarios (típicamente el Sol y un planeta). Indicamos entonces que en éste problema el estudio del movimiento exacto no es fácil y para muchos propósitos es preferible emplear un procedimiento que de entrada sea solamente aproximado —tanto más cuanto más cerca estemos del punto— pero que a cambio permita dar una visión uniforme y coherente, dependiente de unos pocos conceptos esenciales. Tal método aproximado se basa en uno de los grandes principios de la Física Matemática, cuyo rango de aplicabilidad trasciende al problema del movimiento en los puntos de Lagrange: la idea de que los pequeños movimientos de cualquier sistema en las cercanías de una posición de equilibrio son una superposición lineal de ciertos movimientos particulares, o modos normales.

En la década de 1950, los albores de la era espacial, se planteó la idea de usar los puntos de Lagrange para colocar en ellos o en sus cercanías satélites artificiales con varias posibles finalidades. Nada sorprendentemente, el padre de la idea fue A.C. Clarke, Seguir leyendo

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Qué hacer es asunto nuestro

Una joya de hace algo más de ocho siglos, el Viderunt Omnes de mi admirado Perotin, abre este post y da un buen fondo sonoro para su lectura. Se conoce su origen preciso: la obra surgió de un encargo de las autoridades eclesiásticas para celebrar el día de Navidad del año 1198 y se encuadra en una interesantísma época de inflexión en la historia de la Música, marcada por la transformación del gregoriano hacia la polifonía, desde el Ars Antiqua hasta el Ars Nova y hacia lo que vino después. Hoy, que podemos disfrutar en la debida perspectiva tanto de esa como de las músicas de los ocho siglos posteriores, te sugiero, querido lector, que arranques el video, ajustes a tu conveniencia el volumen sonoro y continúes leyendo ….

… el texto siguiente, tomado, en traducción personal, del último capítulo, titulado Dreams of Earth and Sky de Disturbing the Universe, (Basic Books, 1979) de F. J. Dyson.

En su característico lenguaje terso, Dyson lo presenta como un sueño tras el cual quejas y preguntas encuentran una respuesta Seguir leyendo

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Felicitación de Navidad: una Timeline de la historia “Del átomo al Higgs”

Para tener a mano una idea visual de la evolución temporal de las diferentes líneas de desarrollos teóricos y de descubrimientos experimentales relevantes en la historia que he narrado en desde el átomo hasta el Higgs, mientras escribía la serie dediqué en el otoño de 2013 algunos ratos a construir con \TeX este Panorama Cronológico (a.k.a. Timeline) del actual modelo gauge estandar de las partículas elementales.

Pinchando en la miniatura se deberá abrir la ventana de lectura de .pdf’s en su navegador mostrando la timeline en todo su esplendor. Seguir leyendo

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Físicos de incógnito

Físicos que vais de incógnito, físicos de profesión, de afición, futuros físicos, frikis de la física: todos vosotros conocéis de nombre y de obra, sin ninguna duda, al personaje que, con solo 18 años de edad, ocupa el centro de la foto.

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Pero ¿le identificáis? ¿Quién es? Seguir leyendo

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“No destruyas lo que no puedas crear”

El título de este post es el cuarto mandamiento de Leó Szilárd. Este físico húngaro, relativamente poco conocido, fue una de las mentes más originales de la primera mitad del S. XX.  Entre sus inusuales contribuciones  figura su propia versión de los Diez Mandamientos, cuyo texto original fue escrito en alemán; según Szilárd no debía traducirse. Pero en beneficio del resto del mundo no germanoparlante, pueden encontrarse versiones en inglés, fiables en su traducción y con comentarios sobre la historia de su elaboración, por ejemplo aquí.

LaRuinaDeEldena_1825El cuadro que reproduzco, Las ruinas de Eldena, de Caspar David Friedrich, pintado en 1825 en pleno romanticismo, representa una casa de labradores construída bajo las ruinas de un antiguo monasterio, cuyas altas paredes requirieron sin duda bastante más “saber hacer” que la casita que aprovecha la ruina de sus muros, permitida o alentada por generaciones de desidia.

Lo que ha juntado en mi mente el mandamiento de Szilárd y este cuadro, por el siempre inescrutable camino de las asociaciones mentales, Seguir leyendo

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Jordi Savall, chapeau.

Blog1410_JordiSavallLa noticia esta tomada de aquí. En su carta de renuncia, Jordi Savall acaba diciendo:

La ignorancia y la amnesia son el fin de toda civilización, ya que sin educación no hay arte y sin memoria no hay justicia. No podemos permitir que la ignorancia y la falta de cultura de los responsables de las más altas instancias del Gobierno de España erosionen impunemente el arduo trabajo de tantos músicos, actores, bailarines, cineastas, escritores y artistas plásticos ….

Muy bien dicho. Seguir leyendo

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Errantes alrededor de los puntos de Lagrange: II

… sigue del post anterior de la serie

Un asteroide (o una nave espacial) situado en uno de los puntos de Lagrange, en reposo desde el punto de vista del sistema de coordenadas rotante, permanecerá en ese punto por siempre. Esa es la condición de equilibrio que determina los puntos de Lagrange. Un observador inercial exterior vería tal asteroide o nave siguiendo una órbita circular alrededor del centro de masas del sistema —aproximadamente el Sol si se trata de un sistema Sol-Planeta— con la misma velocidad angular que el primario y el secundario, lo que equivale a decir que desde el punto de vista del observador rotante, el asteroide permanece en reposo en el punto de Lagrange.

¿Seguro? Bueno…., sí, siempre que el asteroide esté situado exactamente en el punto de Lagrange, y su velocidad respecto de él sea exactamente nula. Mientras que enunciar la condición anterior es fácil, no es tan fácil asegurar el ‘exactamente‘. Y aunque el calificativo fuera aplicable en un instante dado, hay varios efectos que pueden perturbar esas condiciones: los más obvios, los gravitatorios de los restantes planetas. La pregunta realmente significativa entonces debe ser: si la posición del asteroide no es exactamente el punto de Lagrange y/o si la velocidad respecto de él no es exactamente nula, ¿como será su movimiento ulterior? Esa es la pregunta que discutimos ahora. Seguir leyendo

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Los puntos de Lagrange I: ¿Qué son?

‘Sitúense en el Sol’ —había dicho un día Mendoza a una clase de estudiantes ligeramente desconcertados, poco después del anuncio de su Premio Nobel — ‘y dirijan la vista a Júpiter, a 750 millones de kilómetros. Entonces abran sus brazos, sesenta grados a cada lado …… ¿Saben hacia donde están apuntando?’

No esperaba respuesta, ni tampoco hizo una pausa para que la hubiera.

‘No podrán ver nada allí, pero estarán apuntando a dos de los lugares más fascinantes en el sistema Solar ….’

A. C. Clarke, en “El martillo de Dios”

 

Basta leer sobre muchas de las interesantes misiones espaciales realizadas en los últimos cuarenta años (en concreto, ISEE-3, Genesis, WMAP, Herschel, Planck), sobre la misión astrométrica Gaia, lanzada hace menos de un año, o sobre el magnífico proyecto de telescopio espacial en curso de ejecución (James Webb Space Telescope), para encontrar menciones a los puntos de Lagrange y a diferentes órbitas (de Lissajous o de Halo) alrededor de estos puntos. Y es que todos esos satélites se encuentran (se encontraron, se encontrarán) en órbitas de estos tipos alrededor de los puntos de Lagrange SEL1 y SEL2 del sistema Sol-Tierra. No es accidental que estén allí. Todas estas misiones se aprovechan del carácter de estas ubicaciones distinguidas en el sistema Sol-Tierra,  sus puntos de Lagrange. ¿Qué son esos puntos? ¿Porqué son distinguidos? Y, ¿cómo emplear esa distinción para nuestros propósitos? Seguir leyendo

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En una Escuela en la Fundación Sierra-Pambley de Villablino

Siempre he deseado que mi enseñanza y mi acción y vida entera fuera obra de neutralidad, de tolerancia… Es decir, no en el sentido negativo de estas palabras, a regañadientes; sino positivo, de cooperación, de simpatía profunda para los que más «contrarios» se estiman; procurando hallar en todo y en todos lo conforme, la unidad, que está mucho más alta y mucho más honda, a un tiempo, que las divergencias.

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Francisco Giner de los Ríos, en una carta a Unamuno, 1899

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La cita, de uno de los fundadores de la Institución Libre de Enseñanza, está tomada de uno de los paneles de la exposición “Francisco Giner de los Ríos, Un andaluz de fuego”. Se puede leer aquí el texto completo de los paneles; aconsejo vivamente la lectura pues hay dispersas otras varias citas tanto o más interesantes, y porque en su conjunto nos dan una medida precisa de hasta qué punto cosas que tendemos a dar hoy por sentadas se lograron solamente por la acción y energía de personas empeñadas en su tarea, hace no tanto tiempo. Estos paneles ocupaban el hall del Centro de la Fundación Sierra-Pambley en Villablino (León), en donde he participado en una Escuela de Historia de la Física organizada por la Real Sociedad Española de Física en colaboración con esta fundación. He tenido allí la oportunidad de conocer de cerca los detalles de la interesante historia de la fundación, ligada de manera muy directa con la historia de la Institución Libre de Enseñanza, iniciativas ambas cuyo recuerdo en momentos bajos puede y debe servir para reconciliarnos con el género humano. Seguir leyendo

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Piranesi / Ruinas / Mathematica

Amamos las ruinas,  porque sabemos que por ellas pasó la vida. Esta frase, que he visto atribuída a Walter Benjamin, parece bastante acorde con algunas ideas directrices de su obra, pero no tengo ninguna referencia precisa que confirme (o desmienta) la atribución.

Uno de los artífices de nuestra moderna fascinación por las ruinas es Giambattista Piranesi (1720-1778), autor de magníficos grabados que merecen ser considerados como una influencia cultural de largo alcance, preformando la visión romántica del siglo siguiente, y cuyos ecos llegan, dos siglos después, hasta mundos literarios como el de Borges o cinematográficos, como el de Greenaway. Seguir leyendo

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Si en un examen te piden hacer de referee… (y II). Einstein y E=mc²

….viene de aquí

Es posible y es deseable aprender en/de los exámenes. Y me refiero aquí no solo a los estudiantes, sino también al profesor. Lo que quiero compartir hoy es el resultado de la experiencia que describí en el post anterior.

Recuerdo de que se trata: Contexto: una asignatura Relatividad, optativa en el cuarto curso de la licenciatura de Ciencias Físicas (de 5 años). Época: los años transcurridos desde el experimento podrían contarse con los dedos de las dos manos. Protagonistas: una docena de estudiantes de la asignatura, que en promedio tuvieron un resultado desde normal hasta bueno en el resto (más convencional) del examen. Planteamiento: una de las cuestiones propuestas en el examen consistía en hacer de referee de un artículo real. Seguir leyendo

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Si en un examen te piden hacer de referee ….

Nos  colocamos en una situación imaginaria, que podría haber sido real. Un examen de una asignatura de Relatividad, optativa en  la licenciatura de Ciencias Físicas.  Una de las cuestiones que se plantean, que deben responderse directamente es:

Blog1406_ExamenTornasol

Este es el manuscrito adjunto, Seguir leyendo

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Quino / Democracia

Mi reconocimiento al genial Quino; un premio merecido como pocos. Y aunque sea algo bien sabido, sigue resultando chocante la curiosa capacidad del establishment de fagocitar tanto lo asimilable como lo que no debería poder serlo.

Mafalda era independiente, bajita, irónica, lúcida, de implacable lógica, ácida, inconformista y en lucha sin cuartel contra todas aquellas ideas que, recibidas y aceptadas sin examinar, no resisten al examen cuando cartesianamente  se despiezan en sus elementos más simples. Umberto Eco la definió como una heroína iracunda. Y como pocas obras de las de hace 40 años, la esencia de las tiras de Mafalda no ha perdido ni un ápice de actualidad ni de frescura.

Por mi parte, 40 años después, a mí, como a Mafalda, tampoco me gusta la sopa. Pero hoy, aquí, precisamente, hablamos de Democracia.

Democracia(?).

Blog1405_DemocraciaMafaldaN

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300 años del Premio de la reina Ana.

Estamos en Mayo de 2014. Retrocedamos 300 años en el tiempo, y coloquémonos en Mayo de 1714. El año anterior un joven Georg Friedrich Händel, recién establecido en Inglaterra, ha compuesto una cantata profana, la Oda para el cumpleaños de la reina Ana (junto con el Te Deum y Jubilate de Utrech, compuesto en el mismo año para celebrar la firma del tratado de Utrech, con el que entre otras cosas se cerraba la Guerra de Sucesión en España).

No se sabe si la reina llegó a escuchar su Oda. Pero sí que la reina concedió a Händel por esa obra una pensión de 200 libras anuales, hasta su muerte. Enlazo aquí la versión de esa obra de Alfred Deller, a la que tengo en muy especial estima por varias razones, la menor de las cuales es la de haberme servido de primer contacto al mundo vocal fascinante y ambiguamente atractivo de la voz de contratenor.

Retrato de la reina Ana. Fuente: Wikipedia

Retrato de la reina Ana. Fuente: Wikipedia

La reina Ana  debía ser generosa, aparte de ser una gobernante con visión. En 1707 impulsó y consiguió la unión de Inglaterra y Escocia en un solo estado, el Reino de Gran Bretaña. Y en Mayo de 1714, hace ahora precisamente 300 años, la reina recibió una petición de comerciantes y marinos, que un par de meses después, en Julio de 1714, (solo un mes antes de su propia muerte con  49 años) llevó a la convocatoria del que, según todas las apariencias, ha sido uno de los premios más generosos de toda la historia: Seguir leyendo

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