El Premio Nobel de Física 2017: Ondas Gravitatorias

El pasado 14 de Noviembre, y organizada por la Sección Local de Valladolid de la Real Sociedad Española de Física, Santiago Mar y yo dimos en la Facultad de Ciencias de la Universidad de Valladolid, al alimón, una charla sobre la detección directa de Ondas Gravitatorias, conseguida por primera vez por el equipo LIGO en Septiembre de 2015, anunciada en Enero de 2016, y distinguida con el Premio Nobel de Física 2017 concedido a Rainer Weiss, Barry Barish y Kip Thorne. Santiago se centró en un análisis de los interesantísimos (y nada sencillos) aspectos de la instrumentación, sobre todo de los ópticos, y yo intenté dar un panorama general, muy a grandes rasgos, sobre las Ondas gravitatorias que predice la Teoría de Einstein de la gravedad, sobre lo que se esperaba poder detectar y sobre lo realmente detectado, incluyendo las observaciones posteriores a la inicial, como la de la fusión de dos estrellas de neutrones en Agosto de 2016.

Estaba previsto que el Servicio de Audiovisuales de la UVa efectuase una grabación en video y en directo de la charla, incluyendo las preguntas y comentarios al final. Por varios motivos ligados con la iluminación y el sonido disponibles en el Aula Magna del Aulario de la Facultad de Ciencias (aún pendientes de que se implementen en esos servicios las necesarias mejoras), el responsable de la grabación sugirió que para conseguir una calidad aceptable sería preferible grabar una repetición de las charlas en su estudio. Los enlaces más arriba son a los dos videos resultantes de esa repetición, excelentemente editados por el Servicio de Audiovisuales de la UVa, en cuyo canal de YouTube están colgados.

La grabación de la charla casi ‘en vacío’ hace que su carácter sea un poco más frío, quizás, que el que pudo tener en directo; además se han perdido la presentación y las interesantes preguntas y comentarios hechos por los asistentes al final con los diálogos subsiguientes, que se extendieron otra buena media hora y que no se pudieron repetir :-). Confío en que el resultado pueda interesar a algunos lectores.

Pedí a Santiago que revisara el borrador de éste post antes de publicarlo. Incluyo literalmente sus comentarios

Me gustaría añadir dos detalles, en mi opinión, importantes.

Por un lado los retornos económicos que generan este tipo de experimentos. Es muy difícil acceder a datos numéricos concretos porque están relacionados con los beneficios industriales que obtienen las empresas que participan. Como es lógico las empresas suelen ser muy celosas para dar a conocer los detalles de sus cuentas de resultados. En todo caso, no es aventurado suponer que el montante total de los retornos económicos supera la inversión en el proyecto LIGO. Por este motivo cuando alguien me pregunta: “¿para qué sirve todo esto?”, yo siempre respondo lo mismo: “Para ganar dinero”. Como científico, para mi no es precisamente el principal objetivo, pero creo que es importante transmitir a la sociedad las diferentes consecuencias de la investigación.

El segundo punto tiene que ver con el futuro observacional que abre este tipo de medidas. Poco voy a comentar sobre este punto porque los físicos tenemos la habilidad de equivocarnos cuando hablamos del futuro. Pero lo que parece indudable es que la puerta que se acaba de abrir da acceso a un campo de conocimiento inimaginable.

Estoy completamente de acuerdo con ambos puntos. Para un científico, el objetivo es obtener conocimiento de cómo ‘funciona’ la naturaleza, pero es prioritario —especialmente en situaciones como la que por desgracia tenemos en España—, llevar a la sociedad la idea de que no es que los países puedan permitirse hacer ciencia cuando son ricos, sino que los países que son ricos lo son, en buena medida, por haber hecho ciencia desde antes. Y, como indica acertadamente el eslogan de la Marcha por la Ciencia que se celebró el 22 de Abril de 2017 simultáneamente en muchas ciudades, sin ciencia y sin investigación no hay futuro.

De hecho, en la marcha de Madrid participó muy activamente la Real Sociedad Española de Física, cuyo presidente es uno de los que portan la pancarta en la fotografía

PS. Me ha rechinado cuando revisé la grabación de mi charla la mención confundida, por dos veces, a que en los últimos instantes antes de la fusión de un sistema binario, `la frecuencia de la onda gravitatoria emitida se hace más pequeña’ (en 36:10) o `que disminuye de frecuencia’ (en 36:44). Lo correcto es, naturalmente, lo opuesto: en 36:10 debiera decir que la frecuencia se hace más grande, y en 36:44 que aumenta de frecuencia, como se ve claramente en las gráficas de ‘amplitud vs. tiempo’ que aparecen en la pantalla de la presentación. O, lo que también sería correcto, que el período se hace más pequeño. Gajes del oficio que pasan en modo ‘piloto automático’ al no pensar debidamente en lo que se está diciendo realmente.

PS2. Si alguien tiene interés en la propia presentación, aquí está disponible.

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Sorpresas en las sumas infinitas (VI): La sumación axiomática.

¿’Sumando’ otras series divergentes?

El procedimiento de Cesàro permite asignar ‘suma’ a algunas series divergentes (a las que el procedimiento tradicional no lo hace). Pero hay otras muchas series divergentes que no son sumables con tal procedimiento: no es sumable Cesàro la serie 1+1-1+1+1-1+1+1-1+…. que resulta de una reordenación de la serie de Grandi, ni la serie 1-2+3-4+5-6+… . Tampoco son sumables en ese sentido la 1+1+1+1+1+… ni la 1+2+3+4+5+6+… ; con la definición tradicional de suma de una serie, ambas son divergentes, y como sus sumas parciales no están acotadas, podríamos decir que ‘divergen’ a +∞,  en contraste con la divergencia de la serie 1-2+3-4+5-6+…, que se debe a  que la sucesión de sus sumas parciales es oscilante y no tiene límite cuando k→∞.

Así que podemos imaginar la existencia de otros procedimientos que permitan asignar ‘suma’ a cada vez más series. Para cada uno de esos procedimientos de sumación muchas  de las propiedades familiares de las sumas ordinarias (que eran correctas para sumas finitas y lo siguen siendo  para  la suma de Cauchy de las series absolutamente convergentes), aquí simplemente ya no son válidas.

La primera observación relevante es que, tratándose de series divergentes, lo que llamamos ‘sumas’  lo son necesariamente en un sentido diferente del tradicional. En uno de los primeros posts de la serie ya mencioné que para las ‘sumas’ de series divergentes habría sido preferible usar otro término en vez de suma, algo que Euler propuso pero que desafortunadamente no prosperó.  Así que hay que hacerse a la idea de que aunque sigamos empleando el mismo nombre suma para el valor asignado mediante cierto procedimiento a una serie divergente, su definición y propiedades puedan ser bastante diferentes de las de las sumas ‘ordinarias’ finitas o las sumas de Cauchy de las series convergentes. Además, para diferentes series divergentes, estas ‘sumas’ pueden serlo en sentidos diferentes entre sí.

En ese espíritu podríamos pasar ahora revista a varios procedimientos alternativos de sumación, entre los que destacamos el de Cesàro que describimos en el post anterior, los de Cesàro de orden superior 2, 3, … n, … y el de Abel.

Describir uno a uno estos procedimientos (u otros) no es necesario para ir al corazón del asunto y adquirir cierta visión de conjunto. Quizás ni siquiera es conveniente. Baste decir de momento que a grandes rasgos es acertada la imagen de que mediante diferentes procedimientos se va consiguiendo asignar ‘suma’ a cada vez más series divergentes (aunque siga habiendo muchas otras series divergentes a las que ninguno de esos procedimientos puede asignar suma).

De entrada ésto origina una dificultad conceptual, que ni se plantea con las sumas finitas: ¿tiene algún sentido comparar entre sí las sumas de diferentes series divergentes, que posiblemente se hayan asignado mediante diferentes procedimientos? Esa pregunta se hace más intrigante cuando al estudiar esos procedimientos comienza a emerger un hecho a primera vista inesperado: si una serie es sumable con varios procedimientos diferentes, ocurre con frecuencia que cada uno de esos diferentes procedimientos asigne a la serie dada la misma ‘suma’. Antes de continuar es necesario entender porqué ocurre ésto, sobre todo teniendo en cuenta que los procedimientos pueden ser bastante diferentes entre sí. La indagación sobre este asunto nos conduce a dos ideas relevantes: la existencia de una  ‘jerarquía‘ entre diferentes procedimientos y la idea de sumación axiomática.

Se dice que un procedimiento de sumación S2 es más fuerte que otro S1 si todas las series sumables en el procedimiento S1 son también sumables, con la misma ‘suma’, con el procedimiento S2. La condición contenida en esa definición no dice nada sobre el comportamiento en S2 de las series que no sean sumables con el procedimiento S1: en S2 esas series pueden ser o no sumables  y si lo son, nada se sabe de antemano sobre su suma. Conviene pensar en esta relación como un análogo a la condición de regularidad; de hecho usando éste nuevo término, podemos caracterizar los procedimientos de sumación regulares como  aquellos que sean más fuertes que el procedimiento de Cauchy.

Se puede demostrar que el procedimiento de Cesàro que describimos en el post anterior, los de Cesàro de orden superior 2, 3, … n, … y el de Abel forman, así ordenados, una jerarquía infinita en la que cada procedimiento es más fuerte que el anterior. De manera que todas las series que sean sumables en alguno de estos procedimientos lo serán necesariamente en aquellos de los demás que sean más fuertes, incluyendo el más fuerte de todos, el de Abel; cada serie tendrá la misma suma en todos los procedimientos de esa jerarquía en los que sea sumable. Naturalmente, puede perfectamente ocurrir que una serie divergente dada no sea sumable en ninguno de dichos procedimientos.

Si ahora nos entretenemos en ver qué propiedades tiene la ‘suma’ en cada uno de los procedimientos de la jerarquía mencionada en el párrafo anterior, nos encontramos con que en todos ellos la ‘suma’ es regular, lineal y estable, esto es, tiene las mismas tres propiedades 0, 1 y 2 que para la sumación de Cesàro discutimos con detalle en el post anterior. Esto nos lleva a la idea de  sumación axiomática, a la que dedicamos éste post.

La sumación axiomática

El paso del procedimiento de Cauchy al de Cesàro va inevitablemente acompañado de la pérdida de varias de las propiedades que son válidas para las sumas finitas y que resultaban serlo también para las sumas de series absolutamente convergentes. Así que podríamos sospechar que perder alguna propiedad más sea el precio a pagar por cualquier nuevo procedimiento que permita asignar suma a series a las que el procedimiento de Cesàro no lo haga.

Un ejemplo que ya presentamos en un post anterior indica que esta sospecha no va totalmente descaminada. Ningún procedimiento que pueda asignar una suma (finita) S a la serie 1+1+1+1+….  puede tener la propiedad de inserción del elemento inicial (o estabilidad). Si lo tuviera, tras insertar un 1 inicial la suma sería 1+S, pero la serie es la misma original; no hay ningún número real que satisfaga S = 1+S. Por supuesto, el símbolo ∞ ‘satisface’ esa ecuación, de manera que decir 1+1+1+1+…. = ∞, (lo que es lo mismo que decir que la serie 1+1+1+1+…. ‘diverge’ a +∞) es evidentemente correcto. Pero ∞ no es un número real (finito), que es lo que ahora buscamos como ‘suma’. Aunque parece que la propiedad 2 de inserción del elemento inicial debe ser la esencia de cualquier suma, la realidad es que se trata de una propiedad traicionera, a la que en general hay que renunciar si queremos asignar ‘suma’ a la mayor parte de las series divergentes.

El ejemplo de la serie 1+1+1+1+…. es demasiado extremo, y podría ser incluso desorientador si nos llevara a pensar que más allá del de Cesàro, cualquier nuevo procedimiento de sumación debe inevitablemente perder alguna de las propiedades 0, 1 y 2  de las sumas. No es así. Recordemos que el post anterior se vió que la suma de Cesàro conserva las tres propiedades de regularidad, linealidad e inserción del elemento inicial (etiquetadas 0, 1 y 2 en el post que dedicamos a describir las posibles propiedades de las sumas de series). Resulta, y se puede demostrar sin gran dificultad, que en todos los procedimientos que hemos mencionado al comienzo de éste post: los de Cesàro, Cesàro de orden 2, 3, …, n, …, y Abel,  las tres propiedades 0, 1 y 2 son válidas para la ‘suma’. Así que la pérdida de propiedades al considerar nuevos procedimientos que permitan sumar más y más series no es tan extrema como sugiere el ejemplo del párrafo anterior, ni mucho menos.

Para todos esos procedimientos ya hemos mencionado que ocurre un hecho que solo a primera vista es inesperado: que todos los  procedimientos de esa ‘jerarquía’ con los que una determinada serie es sumable, le asignan el mismo valor como suma. La explicación de tan curioso fenómeno es que, una vez se sabe que tal serie es sumable en uno de los  procedimientos de esa jerarquía,  el valor asignado depende tan solo de que las propiedades 0, 1 y 2 se verifiquen. Los detalles de cada procedimiento concreto no son relevantes a la hora de determinar el valor asignado como suma, y simplemente pueden discriminar si una serie dada es o no sumable en tal o cual procedimiento. Pero una vez asegurado que la serie es sumable en alguno de ellos, para determinar el valor asignado como ‘suma’ basta suponer que tal ‘suma’ verifica esas tres propiedades.

Si a una determinada serie que sea sumable en algún procedimiento de sumación para el cual sean válidas las propiedades 0, 1 y 2, se le puede asignar una suma de manera inambigua simplemente suponiendo que para tal dicha ‘suma’ las tres propiedades 0, 1 y 2 son válidas (eludiendo la aplicación detallada de ese procedimiento concreto de sumación), diremos que la serie admite suma según la sumación axiomática. Nótese el cambio de énfasis: la sumación axiomática no es tanto un procedimiento concreto de sumación como un metaprocedimiento.

Que las estructuras matemáticas pueden/deben  definirse por las propiedades que satisfacen las ‘operaciones’ que caracterizan esas estructuras es una idea fundamental que hace tiempo ha calado en las Matemáticas; la sumación axiomática debe verse en ese contexto.

La idea es condicional y es esencial entender esta condicionalidad correctamente. Se trata de comenzar suponiendo que la serie es sumable en algún procedimiento que tenga esas tres propiedades, y que por tanto se le puede asignar como ‘suma’ un valor finito S. Ahora se juega con esa serie, si es necesario junto con otras de las que ya sepamos que son sumables en el mismo sentido (lo que incluye a todas las convergentes), aplicando exclusivamente las propiedades 0, 1 y 2. Puede ocurrir que procediendo así se acabe llegando a alguna contradicción (lo que, por reducción al absurdo, nos indicaría que la serie dada no era sumable en el sentido de la sumación axiomática). Pero si realmente la hipótesis de que la serie era sumable es correcta (lo que habría que asegurar independientemente de alguna otra manera) entonces esta estrategia determina un único valor de S, que nos informa de que la ‘suma’ de la serie es S (lo que denotaremos cuando sea necesario enfatizarlo con = S (Ax)).

Es más fácil entender este proceso viéndolo en un ejemplo. Voy a tomar una serie de la que sabemos que es convergente y conocemos su suma: 1/2+1/4+1/8+1/16+…. = 1, pero de la que vamos ahora a ignorar que sabemos que es convergente y que conocemos su suma.

Supongamos pues que esa serie es sumable mediante algún procedimiento englobado en la sumación axiomática y llamemos S a su suma 1/2+1/4+1/8+1/16+…. = S. Insertando un 1 inicial, y aplicando la propiedad 2, tenemos que 1/1+1/2+1/4+1/8+1/16+…. = 1+S. Multiplicando la serie original por el factor 2, por la propiedad 1 de linealidad, tendremos  2(1/2+1/4+1/8+1/16+…. ) = 2 S, que desarrollada da 1/1+1/2+1/4+1/8+1/16+…. = 2 S. Así hemos obtenido dos series iguales, que deben tener la misma suma, de donde S debe satisfacer 1+ S = 2S. Esta condición implica S=1. De aquí lo más que podemos concluir es que si la serie  1/2+1/4+1/8+1/16+…. es sumable mediante sumación axiomática, el único valor posible que puede tener su suma es 1. Para concluir que 1/2+1/4+1/8+1/16+…. = 1 necesitamos demostrar previamente que esa serie es sumable con algún procedimiento de los englobados en la sumación axiomática; en este ejemplo bastaría comprobar que se trata de una serie convergente.

En resumen, las manipulaciones hechas a una serie empleando solamente las propiedades 0, 1 y 2  a lo sumo pueden determinar el único valor que podría tener la ‘suma’ de esa serie en caso de que tal serie fuera sumable con algún procedimiento para el que las propiedades 0, 1 y 2 sean válidas. Concluir que ese valor es realmente la ‘suma’ requiere haber comprobado de manera independiente que efectivamente tal serie es sumable.

¿Qué relación hay entre ser sumable mediante el procedimiento de Cesàro y ser sumable mediante sumación axiomática? De entrada está claro que cualquier serie sumable con el procedimiento de Cesàro debe necesariamente también serlo con la sumación axiomática (pues el procedimiento de Cesàro satisface las propiedades 0, 1 y 2). Pero el recíproco no tiene por qué ser cierto: es perfectamente posible que una determinada serie sea sumable mediante sumación axiomática, sin serlo en el procedimiento de Cesàro. En otras palabras, la sumación axiomática permite una ampliación adicional del conjunto de series sumables, incluyendo más series divergentes sumables que el de Cesàro, y lo hace sin perder ninguna de las tres propiedades 0,1 y 2. Un ejemplo de una serie que no es sumable Cesàro pero sí lo es con sumación axiomática, es la serie 1-2+3-4+5-6+… que veremos enseguida.

Volvamos a dar otro ejemplo del uso de la idea de sumación axiomática, ahora sobre la serie (divergente) de Grandi, e ignoremos por el momento que sabemos que esa serie es sumable con el procedimiento de Cesàro, con suma 1/2. Supongamos pues que es sumable en algún procedimiento que tenga las propiedades 0, 1 y 2, con  ‘suma’ S desconocida, lo que escribiremos como 1-1+1-1+1-1+…. = S  (Ax), igualdad que ahora habrá que entender ‘en el sentido de la sumación axiomática’. Por la hipótesis 1 de linealidad, multiplicando la serie de Grandi por el factor escalar -1 tendremos que (-1)(1-1+1-1+1-1+….) = -S, lo que podemos reescribir como -1+1-1+1-1+1-1+…. = -S. Ahora en esa serie insertamos un +1 inicial, lo que por la hipótesis 2 lleva a que 1-1+1-1+1-1+1-1+…. = 1 – S; nótese que esta última serie es de nuevo la de Grandi, cuya suma hemos supuesto era S. Así que los dos valores S y 1 – S que hemos obtenido como ‘suma’ de la misma serie de Grandi deben ser iguales, lo que implica que S debe satisfacer S = 1 – S. Naturalmente, esta relación tiene una única solución que es S=1/2. Esto indica que si la serie de Grandi es sumable con alguno de los procedimientos englobados en la sumación axiomática, 1/2  es el único valor posible para la ‘suma’.  Por supuesto, ése es el mismo valor que el procedimiento de Cesàro asignaba a esa serie.

Es importante apreciar que en las manipulaciones efectuadas no se hace ninguna agrupación, ni reordenación y nos hemos limitado, exclusivamente, a emplear las propiedades 1 y 2, que son las que, precisamente por hipótesis, son válidas en la sumación axiomática.

Es ahora evidente que no hay nada de sorprendente en que el valor asignado a esa serie mediante la sumación axiomática coincida con su suma de Cesàro. Si la serie de Grandi es sumable en sentido de Cesàro con suma 1/2, dado que ese procedimiento satisface las propiedades 0, 1 y 2, sería imposible que aplicando solamente las propiedades 0, 1 y 2 a series que sean sumables en sentido de Cesàro llegaramos a otro valor diferente para la suma de dicha serie.

¿Ocurrirá lo mismo para cualquier otra serie que sea sumable en sentido de Cesàro? El argumento anterior indica claramente que sí.

Y, finalmente, ¿puede ocurrir que una serie no sea sumable en sentido de Cesàro pero sí lo sea con sumación axiomática? La respuesta es sí.

Veamoslo con el ejemplo de la serie 1-2+3-4+5-6+…. .  En el post anterior indicamos que esa serie no es sumable en sentido de Cesàro: la sucesión de sumas parciales es 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, …. y la de medias parciales es 1, 0, 2/3, 0, 3/5, 0, … que se reconoce como una sucesión no convergente, así que esa serie no es sumable Cesàro. Vamos a ver ahora que, usando la sumación axiomática, la única ‘suma’ posible de esa serie es S=1/4.  La comprobación es fácil: supongamos que la serie 1-2+3-4+5-6+…. es sumable en alguno de los procedimientos englobados de la sumación axiomática, con suma S, 1-2+3-4+5-6+…. =  S (Ax). Insertando un 0 inicial, y en virtud de la propiedad 2, tenemos 0+1-2+3-4+5-6+…. =  0+S = S (Ax). Por linealidad ahora, sumando término a término las dos series precedentes obtenemos 1-1+1-1+1-1+1-…. = 2S. Pero ésta última serie es la de Grandi, cuya suma con sumación axiomática es 1/2. De donde se obtiene que (en el sentido de la sumación axiomática) el único valor posible S para la ‘suma’ de la serie 1-2+3-4+5-6+…. es S = 1/4 (Ax).

Precaución: de lo anterior no podemos concluir que 1/4 sea el valor de la ‘suma’ sin antes haber asegurado que se verifica la condición en la que se basa tal asignación, esto es, que esa serie es sumable en alguno de los procedimientos englobados en la sumación axiomática. Y efectivamente, se puede comprobar directamente que esa serie es sumable en el procedimiento de Cesaro de segundo orden, que es la variante del de Cesàro que introduce una etapa adicional de promedios de las medias de Cesàro.

La comprobación directa es tediosa pero no tiene dificultad: para la serie 1-2+3-4+5-6+…. la sucesión de las sumas parciales es oscilante 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 5, -5, 6, -6, …. y la de las medias parciales 1, 0, 2/3, 0, 3/5, 0, 4/7, 0, 5/9, 0, 6/11, …. también es oscilante con los términos pares nulos y los términos impares tendiendo por su lado a 1/2. Si ahora se calcula la sucesión de las medias parciales de segundo orden se obtiene 1, 1/2, 5/9, 5/12, 34/75, 17/45, 298/735, 149/420, 1069/2835, 1069/3150, 13649/38115, 13649/41580, …. que se comprueba es convergente al valor 1/4.

Lo que nos interesa destacar ahora son dos cosas: una, que la sumación axiomática permite sumar más series que el procedimiento de Cesàro. Y otra, que la sumación axiomática delimita una extensión natural de la idea de suma finita que habiendo perdido tres propiedades de las sumas finitas (las etiquetadas 3, 4 y 5) aún conserva dos propiedades básicas, la linealidad y la inserción del elemento inicial; fuera de la sumación axiomática necesariamente deberemos renunciar a alguna de estas dos propiedades. Así que ya hemos identificado dos clases generales de series  a las que se puede asignar ‘suma’: las convergentes y las sumables mediante sumación axiomática.

Desde luego hay series que no son sumables con sumación axiomática. Un solo ejemplo: ningún método de sumación que tenga la propiedad 2 podrá asignar suma a la serie divergente 1+1+1+1+1+….. Tampoco la serie 1+2+3+4+5+6+… es sumable con la sumación axiomática; es posible concluir una contradicción simplemente jugando con esa serie y suponiendo que esa ‘suma’ satisface las propiedades 0, 1 y 2. De hecho, las series sumables con sumación axiomática son proporcionalmente muy pocas entre el conjunto de todas las series.

Resumimos las ideas esenciales de la sumación axiomática: resulta que existen procedimientos de sumación, diferentes entre sí, que tienen en común el que para ellos la ‘suma’ de las series verifica las tres propiedades 0, 1 y 2. Basta con que una serie determinada sea sumable en alguno de esos procedimientos, con suma S, para que necesariamente lo sea mediante sumación axiomática, con el mismo valor S como suma. Y entonces, con cada uno de los restantes procedimientos que verifican las tres propiedades 0, 1 y 2, esa serie podrá ser sumable o no. Pero si lo es, su suma en ese procedimiento será necesariamente S.

Queda clara entonces la afirmación de que la ‘sumación axiomática’ en cierto sentido es un metaprocedimiento de sumación, que engloba a cualquier procedimiento concreto para el cual se verifiquen esas tres propiedades, pero que es condicional: a lo sumo conduce al único valor que podría tener la ‘suma’ de la serie, pero no puede determinar por sí solo si la serie es sumable o no. Y ésto explica porqué procedimientos en apariencia muy diferentes, cuando asignan suma a una serie dada, le asignan el mismo valor como suma: esto ocurre siempre que la serie sea sumable en diferentes  procedimientos que satisfagan las tres condiciones 0, 1 y 2.

En resumen, resulta que calcular la suma axiomática de series divergentes es mucho más simple que la de las convergentes.

 

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Sorpresas en las sumas infinitas (V): El procedimiento de sumación de Cesàro.

Muchas de las discusiones sobre suma de series divergentes comienzan con la serie 1-1+1-1+1-1+…., en cuyos términos alternan +1 y -1 de manera periódicamente repetida. Esta serie se conoce como serie de Grandi y tiene una interesante historia. Como no es convergente, carece de sentido asignarle suma en el sentido tradicional de Cauchy. Lo que no debe entenderse como que no se le pueda asignar ‘suma’ en algún otro sentido.

Si, procediendo de manera desinformada, entendemos literalmente el símbolo 1-1+1-1+1-1+…. como resultado de la iteración de una suma ordinaria, suponiendo implícitamente que todas las propiedades que las sumas finitas se siguen verificando (lo que es una postura no solo injustificada sino además incorrecta), las contradicciones están servidas. Veámoslo antes de entrar en materia. Si suponemos que para ‘calcular la suma’ los términos se pueden agrupar de cualquier manera, la agrupación por parejas (1-1)+(1-1)+(1-1)+….. = 0+0+0+… conduciría a que la suma de tal serie sería 0. Otra agrupación por parejas en la que se deja aislado el primer término es 1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+…. = 1+0+0+0+…., que conduciría a una suma 1. Si suponemos además que los sumandos también se pueden reordenar de cualquier manera (lo que de hecho ocurre en las sumas finitas), podríamos trasladar y agrupar un cierto número N de sumandos +1 al comienzo, concluyendo, tras la agrupación obvia de todos los restantes en parejas +1-1, que la suma sería N. También podríamos trasladar sumandos -1 de manera que la serie comience por N términos -1, y luego agrupar los demás por parejas como antes, con lo que la suma sería -N. Literalmente, parecería que la suma buscada podría ser cualquier número entero.

¿Debemos tomarnos en serio estas manipulaciones? Desde luego que no. Al contrario, la exploración anterior nos sugiere seriamente que las posibles ‘sumas’ de series divergentes, como la de Grandi, no pueden tener la propiedad de mantener la suma si en la serie hacemos alguna agrupación o reordenación. En los posts anteriores hemos ido preparando el camino para éste reconocimiento con algunas ideas generales.

Es ahora un buen momento para descender a concretar esas ideas generales sobre un ejemplo de un procedimiento de sumación. En éste post me voy a limitar al procedimiento de Cesàro, que seguramente es la posibilidad más sencilla para asignar sentido alternativo al símbolo se suma infinita a1+a2+a3+a4 +… ; además es una buena elección para la linea argumental que desarrollaremos en los posts que seguirán a éste, ya que la suma de Cesàro es el primer ejemplo de una ‘suma suavizada’, idea que irá adquiriendo importancia en el resto de ésta serie de posts.

Proceder al cálculo de algunas ‘sumas’ empleando en plan fuerza bruta la definición del procedimiento de Cesàro nos va a permitir ver en vivo cómo se pierden para esas ‘sumas’ varias de las propiedades de las sumas finitas (además de la de reordenación, que según vimos en el post anterior se había perdido ya incluso en las series convergentes condicionalmente).

El procedimiento de sumación de Cesàro

Sea una serie a1+a2+a3+a4 +… con sumas parciales sk := a1 + a2 + … + ak. Vamos a dar un nuevo sentido, diferente del de Cauchy, al símbolo de ‘suma infinita‘ a1+a2+a3+a4 +… definiendo un nuevo procedimiento de sumación. Recordemos que en el de Cauchy declarábamos que la serie tenía suma si la sucesión de las sumas parciales (cada una de las cuales es una suma finita) era convergente, y llamábamos suma (de Cauchy) de la serie al límite cuando k→∞ de esa sucesión sk de sumas parciales.

Ahora, en vez de preguntarnos sobre la convergencia de la sucesión de las sumas parciales, vamos a construir una nueva sucesión auxiliar, denotada σk, cuyos términos se definen como las medias aritméticas del conjunto de las k primeras sumas parciales. Esto es, por definición:

σk := (s1 + s2 +….+ sk)/k.

Estas cantidades se llaman medias parciales de Cesàro o promedios de Cesàro de la serie inicial. Ahora, por definición, decimos que la serie inicial a1+a2+a3+a4 +… es sumable en sentido de Cesàro si la sucesión de las medias parciales de Cesàro σk es convergente, y si ese es el caso, al límite cuando k→∞ de la sucesión σk se le denomina ‘suma en sentido de Cesàro’ de la serie inicial.

Ernesto Cesàro (1859-1906)

A primera vista se trata de un curioso retorcimiento, con cierta semejanza a la definición de Cauchy, pero empleando una etapa auxiliar más. Realmente éste nuevo procedimiento no está realmente tan alejado del de Cauchy: se puede demostrar que cualquier serie convergente es necesariamente sumable en sentido de Cesàro y su suma de Cesàro coincide con la suma tradicional.

En otras palabras: aunque el procedimiento de sumación de Cesàro pueda parecer rebuscado, el valor de la suma asignada a una serie convergente no habría cambiado si en vez de definir dicha suma mediante la asignación tradicional de Cauchy, la hubiéramos definido inicialmente mediante el nuevo procedimiento de Cesàro. Recordemos que uno de los leitmotiv de los posts anteriores ha sido insistir en que el símbolo a1+a2+a3+a4 +… inicialmente está desprovisto de significado, y por ello somos nosotros quienes debemos darlo, lo que deja abierta la posibilidad de hacerlo de diferentes maneras (algo que no puede ocurrir con las sumas finitas). Seguramente no sería aceptable llamar ‘suma’ a algo que para series convergentes condujera a otro valor diferente de la suma de Cauchy, ya que es claro que la manera de Cauchy es, con mucho, la más ‘natural’ forma de definir la suma de una serie. Y ya que para series convergentes la definición de suma de Cesàro  conduce al mismo valor de la suma que la tradicional, esto quiere decir que esa definición no puede considerarse menos aceptable que la tradicional.

Ahora conviene preguntarse: ¿qué ventajas podrían seguirse de sustituir la definición de suma de una serie según el procedimiento tradicional de Cauchy por la definición de la ‘suma en sentido de Cesàro’? Podría parecer que no hay ninguna ventaja. Y no la habría si el procedimiento de Cesàro se limitara a asignar suma a las series convergentes. La gracia del asunto estriba en que éste nuevo procedimiento permite asignar ‘suma’ a algunas series divergentes, a las que el procedimiento tradicional no lo hace.

Un ejemplo sencillo de tal circunstancia es la serie de Grandi 1-1+1-1+1-1+….. que no es convergente, por lo que carece de sentido asignarle suma en el sentido tradicional. Pero con el procedimiento de Cesàro, la serie de Grandi es sumable con valor 1/2.

Una advertencia importante: La mayor parte de las dificultades en este asunto de ‘sumar’ series divergentes se derivan de no reconocer que la ‘suma’ de una serie no es simplemente una suma finita ‘repetida infinitamente’ y de no especificar claramente el procedimiento con el que se asigna una suma a tal o cual serie. Si el resultado anterior se escribe 1-1+1-1+1-1+…. = 1/2 hay que sobreentender que esa igualdad se refiere a la sumación de Cesàro, y no a la de Cauchy en el cual el símbolo 1-1+1-1+1-1+…. carecería de sentido. Si se quiere ser inambiguo, deberíamos indicarlo escribiendo 1-1+1-1+1-1+…. = 1/2 (C), con el añadido (C) que explicita el sentido (en éste caso de Cesàro) de la igualdad. Como en éste post nos limitamos a hablar de la suma en sentido de Cesàro, para aligerar la lectura omitiré esa precisión.

Comprobemos paso a paso, empleando la definición, que la serie de Grandi es sumable en sentido de Cesàro: la sucesión de sumas parciales de la serie de Grandi es 1,0,1,0,1,0,1,0,…. que desde luego no es convergente. Si de la sucesión de las sumas parciales pasamos a la de las medias parciales de Cesàro, que es 1, 1/2, 2/3, 2/4=1/2, 3/5, 3/6=1/2, 4/7, 4/8=1/2, …. , se comprueba inmediatamente que esa sucesión converge a 1/2 (los términos que ocupan posiciones pares en la sucesión son de entrada iguales a 1/2, y los impares son las fracciones 1/1, 2/3, 3/5, 4/7, … que por su lado tienden también al mismo valor 1/2).

Así que según la definición que dimos al principio, efectivamente la serie de Grandi es sumable, y para su ‘suma en sentido de Cesàro’ se tiene:

1 -1 + 1 -1 + 1 -1 + …. = 1/2 (C)

Debe quedar claro que este valor 1/2 no resulta de ninguna suma individual ‘ordinaria’ de los términos individuales de la serie; su sentido es otro. Y también que la aparición de ese valor resulta de la propia definición, así que no es cuestión de buscar ninguna justificación adicional. Una tal pseudojustificación frecuentemente aducida es que, como las sumas parciales oscilan entre 0 y 1, debemos (?) tomar como suma total el valor intermedio entre ambos; tal justificación, por más que lleve al resultado correcto, es por completo irrelevante (aunque en su momento incluso Leibniz la empleara).

Basta éste ejemplo para confirmar que, comparado con el tradicional, el procedimiento de Cesàro amplía el conjunto de series a las que se puede asignar una ‘suma’, permitiendo hacerlo a algunas series divergentes. Y como es un procedimiento relativamente sencillo, nos va a permitir ver en vivo y directamente qué propiedades de la sumas finitas se conservan y cuales se pierden al emplear dicho procedimiento. Cosa que haremos empleando series adecuadamente escogidas (que van a servir como contraejemplos).

Lo que se pierde al pasar de la suma de Cauchy a la de Cesàro

Veamos, para comenzar, que este concepto de ‘suma’ no tiene la propiedad de asociación sucesiva. Tomemos la serie de Grandi 1-1+1-1+1-1+…., cuya suma de Cesàro ya sabemos que es 1/2, y consideremos la serie que resulta de ella haciendo agrupaciones por parejas (1-1)+(1-1)+(1-1)+….. La serie obtenida mediante esas agrupaciones es 0+0+0+…., que es convergente con suma ordinaria 0, y que, por ser convergente, es necesariamente sumable en el sentido de Cesàro, con suma de Cesàro 0. Así, ésta asociación de la serie de Grandi transforma una serie sumable con suma 1/2 en otra serie, también sumable, pero con una suma diferente. De manera que, en nítido contraste con la suma de Cauchy, que se mantiene al hacer asociaciones sucesivas en las series convergentes, vemos que tal propiedad no se verifica para la suma de Cesàro de series divergentes.

Por dar otro ejemplo de la misma situación, la serie que resulta agrupando la de Grandi como 1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+…. = 1+0+0+0+…., es también convergente, por lo que esta serie reagrupada es sumable Cesàro, con ‘suma’ igual a 1. Naturalmente, puede ocurrir que alguna agrupación particular conserve la suma de la serie: por ejemplo agrupando en bloques de tres tras el primer término, la serie agrupada es 1+(-1+1-1)+(1-1+1)+(-1+1-1)+… = 1-1+1-1+… que coincide con la serie inicial, y que por tanto tendrá la misma suma.

Para la suma de Cauchy de series convergentes, añadir o eliminar ceros como términos de la serie no modifica el valor de la suma. Educados como estamos en las sumas finitas, tal propiedad nos parece una de las características esenciales de la suma. Pero las cosas cambian cuando hablamos de sumas infinitas en una serie divergente: aquí la inserción (o eliminación) de un número infinito de ceros en posiciones arbitrarias en la serie en general modifica el valor de la ‘suma’. Esto se ve perfectamente si nos planteamos buscar la suma de Cesàro de la serie 1+0-1+1+0-1+….. que resulta al insertar ceros tras cada +1 en la de Grandi: es fácil ver que esa serie (que no es convergente), es sumable en sentido de Cesàro, pero su suma es 2/3, que es diferente de la suma de la serie de Grandi. Comprobémoslo: las sumas parciales de la serie en la que se han insertado ceros en las posiciones indicadas son 1,1,0,1,1,0,1,1,0,…. y las medias de Cesàro correspondientes son 1, 1, 2/3, 3/4, 4/5, 4/6=2/3, 5/7, 6/8, 6/9=2/3, …. sucesión que puede demostrarse sin dificultad que converge a 2/3.

Veamos ahora lo que ocurre con la serie obtenida de la de Grandi insertando ceros de una manera ligeramente diferente: no tras cada +1 sino tras cada -1. Esa serie es 1-1+0+1-1+0+1-1+0+…., cuyas sumas parciales son 1,0,0,1,0,0,1,0,0,… y cuyas medias de Cesàro son 1, 1/2, 1/3, 2/4, 2/5, 2/6=1/3, 3/7, 3/8, 3/9=1/3, …. que converge a 1/3. La suma de Cesàro de la serie 1-1+0+1-1+0+1-1+0+…. es pues 1/3. En resumen, insertando en la serie de Grandi  un solo 0 por cada pareja +1, -1, podemos obtener series con ‘sumas ‘2/3 y 1/3. Un resultado aparentemente más sorprendente es que puede conseguirse cualquier valor racional p/q entre 0 y 1 para la suma de Cesàro de la serie que resulta insertando en la serie de Grandi más ceros con diferentes patrones periódicos de orden. ¿Que esto no es nada intuitivo? Por supuesto. Cualquier asunto en el que intervenga el infinito es sutil.

¿Qué ocurre con la propiedad de reordenación? Como en el proceso de tratar de asignar suma a clases cada vez más amplias de series la propiedad de reordenación se pierde ya en las series condicionalmente convergentes, podemos sospechar que  la suma de Cesàro tampoco tenga la propiedad de reordenación. Y de hecho, no la tiene, como resulta claramente de los dos ejemplos anteriores, en los que dos series que se obtienen cada una como reordenación de la otra tienen diferentes sumas: 1+0-1+1+0-1+1+0-1+….. = 2/3 (C), pero 1-1+0+1-1+0+1-1+0+…. = 1/3 (C).

No solamente el valor de la suma de Cesàro cambia al reordenar, sino que  una reordenación adecuada también puede hacer que la serie deje de ser sumable (lo que es análogo a lo que también ocurría ya con las series condicionalmente convergentes). Veámoslo directamente: en la serie 1-1+1-1+1-1+…. , como tenemos infinitos +1 podemos reordenar sus términos de manera que haya dos +1 consecutivos, seguidos por un -1, y así sucesivamente. ¿Es sumable de Cesàro la serie 1+1-1+1+1-1+1+1-1+…. que resulta tras la reordenación? La sucesión de sumas parciales es 1, 2, 1, 2, 3, 2, 3, 4, 3, 4, 5, 4, 5, 6,…. y la de las medias parciales de Cesàro comienza 1, 3/2, 4/3, 6/4=3/2, 9/5, 11/6, 14/7=2, 18/8=9/4, 21/9=7/3, 25/10=5/2, 30/11, 34/12=17/6, 39/13=3, 45/14, …. que en éste caso se puede comprobar que como sucesión no es convergente (para lo que es suficiente ver que contiene como subsucesión a la 1,2,3,…). De manera que aunque la serie de Grandi sea sumable en sentido de Cesàro, la serie que resulta de ella por la reordenación recién descrita ya no es sumable en el sentido de Cesàro. Al margen, lo que los resultados anteriores sugieren es que para los procedimientos que permitan asignar ‘suma’ a series divergentes también vale un resultado análogo al lema de reordenación de Riemann, que  recuerdo, afirma que las series convergentes que no sean absolutamente convergentes pueden, mediante una reordenación, dar lugar a una serie convergente a cualquier valor prefijado o incluso a una serie divergente.

En resumen, a través de contraejemplos muy sencillos, hemos visto que la suma de Cesàro puede cambiar si en la serie divergente se efectúa una asociación sucesiva o si se insertan ceros, esto es, carece de las propiedades que en el post precedente en esta serie habíamos etiquetado como 3 y 4. Tampoco tiene la propiedad de invariancia por reordenación, etiquetada entonces como 5. La mejor manera de pensar en esta situación es enunciarla diciendo que al hacer una asociación, o al insertar ceros, o al reordenar una serie (afectando a infinitos términos en los tres casos) se obtiene otra serie, que puede tener otra ‘suma’.

Siendo el procedimiento de sumación de Cesàro relativamente cercano al procedimiento tradicional de Cauchy, y siendo los restantes procedimientos que podamos considerar seguramente más ‘alejados’, podemos esperar que en general ningún otro procedimiento alternativo de sumación tenga ninguna de esas tres propiedades. Lo que esto significa es que para las series divergentes, cualquier intento de asignar suma a una serie que presuponga cualquiera de estas propiedades (que la suma no cambie bajo asociación sucesiva, inserción de ceros y reordenaciones) es de entrada injustificado, y a los resultados que así se pudieran obtener (como los que mencionamos en el segundo párrafo de éste post) no puede concedérseles ninguna validez; la única validez garantizada debe resultar, exclusivamente, de que se aplique correctamente la definición y las propiedades de cada procedimiento.

Lo que se conserva al pasar de la suma de Cauchy a la de Cesàro

¿Qué ocurre con las otras tres propiedades de regularidad, linealidad e inserción del elemento inicial, que podrían tener las sumas infinitas y que etiquetamos en el post anterior como 0, 1, 2 respectivamente? (Por concisión, me seguiré refiriendo a esas propiedades por su etiqueta numérica). Ya mencionamos antes que para las series que sean convergentes la suma de Cesàro necesariamente coincide con la de Cauchy; esto se resume diciendo que la sumación de Cesàro es regular. También tiene las propiedades 1 (linealidad) y 2 (inserción del elemento inicial). Comprobarlo es muy sencillo: que la suma de Cesàro depende linealmente de la serie es casi tan inmediato como para la suma de Cauchy, ya que la etapa nueva en el procedimiento de Cesàro, que es considerar las medias parciales, es evidentemente lineal en la serie inicial. En cuanto a la propiedad 2, también es casi inmediata: si se inserta un elemento a0 en la primera posición, la sucesión de sumas parciales comienza por a0 y todos los demás términos son los anteriores incrementados en a0, por lo que cada media parcial también se incrementa en a0, y lo mismo hace el límite de la sucesión de medias parciales, si existe.

Podría parecer que entre todas las propiedades que en su momento listamos como válidas para las sumas finitas, perder las tres últimas y quedarnos solamente con la regularidad y las propiedades de linealidad y de inserción del elemento inicial, es un balance muy pobre. Pero hay que inclinarse ante lo inevitable: la modificación del procedimiento de suma de Cauchy que se hace al definir el de Cesàro nos obliga a renunciar a tres de las propiedades que sí que tenía el de Cauchy para las series absolutamente convergentes, permitiéndonos a cambio poder asignar ‘suma’ a algunas series divergentes.

Por circunscribir el ejemplo a la sumación en sentido de Cesàro, con la que hemos obtenido la ‘suma’ de la serie de Grandi, las propiedades válidas son la regularidad, la linealidad y la inserción del elemento inicial, y ninguna otra. Ninguna manipulación sobre la serie de Grandi que presuponga exclusivamente estas propiedades podrá conducir a ningún valor diferente de 1/2 para su ‘suma’. Pero si se dan como correctas (indebida e injustificadamente) alguna de las restantes propiedades (de agrupación, de inserción de ceros o de reordenación) que según hemos visto antes no se verifican para la suma de Cesàro, se podrían obtener otros valores, que desde luego no serán la suma de Cesàro de la serie de Grandi (por ejemplo, se podría ‘obtener’ cualquier valor entero, como resultaba de la argumentación aparentemente plausible pero completamente errónea que comentamos al comienzo de éste post). Con mayor motivo ocurrirá lo mismo si se utilizan indiscriminadamente todas las propiedades de las sumas finitas para otras series que requieren procedimientos en los que aún no hemos entrado, como la 1+2+3+4+5+6+…

Nuestra intuición está basada en las sumas finitas, pero las sumas de las series son otra cosa. No debemos tratar de forzar las matemáticas para que vayan de acuerdo con nuestra intuición, sino intentar asimilar lo que las matemáticas nos dicen, haciendo que nuestra intuición se adapte a las matemáticas.

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Fingiendo: Empujados por los experimentos … o arrastrados por la imaginación.

En 1957 Richard Feynman participó en una conferencia sobre ‘The Role of Gravitation in Physics‘ en Chapel Hill, U.S.A.

Felix Arnold Edward Pirani (1928-2015)

En los Proceedings de dicha reunión, republicados en una edición Open Access en 2011, podemos leer sus dos breves aportaciones.  En una, Feynman, tras escuchar a Felix Pirani, un físico matemático que debiera ser más conocido, propuso el experimento mental de las cuentas moviéndose con algo de rozamiento en una varilla rígida, para convencer a los asistentes de la existencia real de las ondas gravitatorias. No hay duda de que fue esa reunión la que marcó el inicio de la  rápida transición hacia el consenso posterior sobre la realidad de las ondas gravitatorias, que hasta aquel momento distinguidos físicos negaban.

Richard Phillips Feynman (1918-1988)

Reproduzco los primeros párrafos de los Comentarios Críticos, la segunda de las  aportaciones de Feynman a esa conferencia, en la que describe su punto de vista sobre cómo abordar el progreso de la física en una situación, como  la teoría de la gravitación o en particular el estudio de las ondas gravitatorias, en la que no se pueden hacer experimentos. Es, como todo lo de Feynman, aparentemente simple y en el fondo brillante y visionario. La evolución de este campo en el medio siglo largo transcurrido desde entonces debe no poco a que a partir de 1957 muchos físicos adoptaron la línea de trabajo que Feynman propone aquí.

Tras un breve enunciado esquemático de cuales son los problemas reales de la teoría de la gravitación (cinco puntos y solo unas setenta palabras), Feynman dice: Seguir leyendo

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Hamiltoniano, ¿con H de Huygens?

En Mecánica Teórica es universal denotar por L el lagrangiano y por H el hamiltoniano. Con frecuencia se dice en clase (y seguramente yo lo he dicho en alguna ocasión) o en los libros de texto, explícita o implícitamente, que la elección de esas letras hace una referencia intencionada a sus respectivos inventores, Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) y William Rowan Hamilton (1805-1865). Esa interpretación parece tan natural y simétrica que no se discute y se asimila de inmediato. Supongo que es casi inevitable pensar: “Pues claro, ¡qué poca imaginación! Y una vez visto esto, pasemos a otra cosa.

Joseph-Louis Lagrange (1736-1813)

William Rowan Hamilton (1805-1865)

Así que es un lugar común pensar que es H por Hamilton. ¿Correcto? Seguir leyendo

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El cañón del mediodía, el efecto Zanzíbar y el kilogramo-patrón.

En una visita reciente al Museo del Real Observatorio Astronómico Nacional, en Madrid llamó mi atención un objeto que en cierto sentido desentonaba entre otros muchos ejemplos de instrumentación de siglos pasados: teodolitos geodésicos, un círculo de Borda, un quintante, … , construídos todos ellos en pulido latón y perfecta geometría. A primera vista este objeto, un tanto más tosco, era un reloj de sol horizontal, con su stilo triangular y sus marcas horarias. Pero le hacía especial algo que los relojes de sol no tienen: sobre el plato había un extraño añadido, una sencilla estructura de bronce, en la que reposaba un cañón casi de juguete, de unos diez centímetros de largo, alineado con el stilo, y sobre él, fijada a un soporte inclinable, una lupa.

Cañón meridiano del Museo del Observatorio Astronómico Nacional, en Madrid. Fuente: Página web del Museo.

Intrigado, acudí a la ficha, que decía: “Cañón meridiano, c. 1870, posiblemente de origen inglés“, con un breve texto explicativo: “Reloj de sol que al paso de éste por el meridiano concentraba los rayos solares en el oído del cañón, produciendo una detonación que anunciaba el mediodía“.

Así que se trataba de un ingenioso archiperre para marcar con una señal auditiva y de manera automática el paso del sol por el meridiano.

Debidamente sofisticado, aquel aparato habría tenido un lugar de honor en las invenciones del profesor Franz de Copenhague, y desde luego sirve como ejemplo de que la realidad supera a veces a la ficción.

Lo de dar una salva a mediodía sí que trajo a mi memoria una historia interesante. Seguir leyendo

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Una evaluación de un profesor, circa 1690

Al ir a descargar las excelentes notas sobre Classical Dynamics que David Tong, profesor del DAMTP de Cambridge, tiene en abierto en su página web, me he encontrado con una evaluación de un profesor de su universidad, muy bien conocido en su campo.

La materia que enseñaba ese profesor es lo que hoy describimos como mecánica clásica, asignatura cuya docencia, aquí y ahora,  comienza hoy. Por ello, hoy, no resisto la tentación de compartir este texto, cuya fuente con algún detalle más puede consultarse aquí.

So few went to hear him, and fewer understood him, that ofttimes he did in a manner, for want of hearers, read to the walls. He usually stayed about half an hour; when he had no auditors he commonly returned in a quarter part of that time, or less.

La descripción data de alrededor de 1690. Y sí, se refiere a esa persona cuyo nombre tanto mencionaremos en la asignatura que comienza hoy.

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Sorpresas en las sumas infinitas (IV): ¿Qué propiedades puede tener una suma infinita?

¿Porqué escalar las montañas? Porque están ahí.

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George Mallory, 1923

Las series divergentes están ahí. Cuando aparecen al estudiar un problema físico, lo que ocurre frecuentemente, tendemos a pensar que nuestro enfoque ha estado mal planteado y que necesitaríamos otro nuevo. Pero varios indicios sugieren que, al menos en ocasiones, esas series divergentes contienen información relevante al problema que está codificada, y por así decir, esperando a ser extraída.

¿Cómo proceder entonces? Una buena elección es confiar más en las matemáticas. Y lo que las matemáticas nos dicen es que puede asignar  ‘suma’ a una serie divergente. Desde luego, tal ‘suma’ necesariamente deberá tener otro sentido diferente del tradicional, el cual se refiere exclusivamente a las series convergentes. Cualquier tal ‘nuevo sentido’ estará basado en algún procedimiento que habrá que efectuar sobre la serie y que nos debe devolver un único valor. Este valor será lo que entendamos, por definición, como su ‘suma’; las comillas nos recuerdan que no se trata de una suma ordinaria, sino del valor que resulta de aplicar a la serie ese procedimiento y que no debemos dar por sentado que tal ‘suma’ satisfaga las propiedades familiares de las sumas ordinarias (escúchese aquí el eco de las palabras de Euler que reprodujimos en el post anterior).

Buscar procedimientos alternativos al de Cauchy tiene como objetivo poder ‘sumar’ series que el procedimiento tradicional no sume. Cada una de estas definiciones alternativas se conoce como ‘procedimiento de sumación’. Seguir leyendo

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Sorpresas en las sumas infinitas (III) ¿Qué sentido tiene una suma infinita?

How many times must a man look up
Before he can see the sky?

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Blowin’ in the Wind, Bob Dylan 1962

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Juntar palabras en sucesión no es difícil. Pero, si se trata de matemáticas, es esencial saber qué significan. Es fácil decir ‘suma infinita’. Pero ¿qué significa suma infinita realmente? ¿Tiene un solo significado o hay varios posibles?

Comencemos por el principio. Seguir leyendo

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Gravitación, en 80 caracteres

…. y cuando finalmente quedaron en caída libre, el campo de marea seguía allí.

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Timelines de un siglo de Cosmología en Naukas Coruña 2.0

Hace un par de años, y para tener disponible un esquema sincrónico/diacrónico de la historia de la Cosmología en su siglo de existencia (con vistas a preparar una charla sobre el tema) organicé (con la inestimable ayuda de TeX (\TeX 🙂 )) un Panorama Cronológico (a.k.a. Timeline) que recoge las fechas en que se propusieron las ideas principales y en las que se realizaron por primera vez las observaciones básicas en la Cosmología.

Recogiendo las sugerencias que un lector del blog había hecho en su momento (gracias Albert) y las novedades sobre la detección de ondas gravitatorias producidas en 2016, he preparado una versión actualizada, que puede descargarse pinchando sobre las miniaturas a continuación. Hay un panorama general y tres panoramas específicos, que cubren tres aspectos particulares en la Cosmología actual. Incluí estos panoramas cronológicos entre las imágenes de la charla que tuve el privilegio de dar en Naukas Coruña el pasado mes de Febrero (charla cuyo esqueleto estaba también montado sobre estos tres pilares), pero consciente de que allí no habría tiempo para verlas siquiera por encima, indiqué en la charla que las colocaría en el blog. Y esto es lo que hago ahora. Seguir leyendo

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De imposibilidades: El teorema de Arrow

Kenneth Arrow 1996, Crédito de la fotografía: LA Cicero

Hace unas semanas ha fallecido Kenneth Arrow, considerado como uno de los tres o cuatro economistas más importantes del S. XX. Tenía 95 años y había recibido el Premio Nobel de Economía en 1975.

Al nivel no especializado,  el resultado por el que Arrow es más conocido es su teorema de imposibilidad, que dió la mayoría de edad a un campo de investigación a caballo entre las Matemáticas y la Economía: la teoría de la elección social, desarrollada a partir de su libro de 1951 “Social Choice and Individual Values”.

Aquí un comentario de un economista sobre el teorema de Arrow, y aquí una charla sobre las contribuciones de Arrow.

Ilustres predecesores de Arrow en ese campo son los nombres de Ramón Llull (S. XIV), los franceses Nicolas de Condorcet y Jean Charles Borda (a finales del S. XVIII) y, en la misma época, de manera independiente y mucho menos conocido, el ilustrado español José Isidoro Morales (cuya contribución al asunto ha sido descubierta en tiempos relativamente recientes por miembros del grupo de investigación en elección Social de la Universidad de Valladolid; aquí una breve biografía de Morales).

Hace unos años dí una charla en un ciclo sobre los Límites del Conocimiento. Entre otros ejemplos de cómo las matemáticas y la física establecen de manera natural e inevitable límites absolutos, que son literalmente imposibles de transgredir, aparecía el teorema de Arrow. Se trata de un resultado matemático, Seguir leyendo

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Sin excluir todo lo demás: Kuhn versus Galison

Durante la agradable sobremesa tras la cena con algunos participantes en la jornada Naukas Coruña 2017, flotaba en segundo plano la importancia fundamental en ciencia de no limitarse a un único punto de vista. Si uno lo hace, sobre todo si es de manera un punto fundamentalista, se corre un gran riesgo de excluir indebidamente (deliberada o inconscientemente) a muchas otras posibles interpretaciones, y de empobrecer nuestro entendimiento de manera grave.

En ese contexto yo mencioné la anécdota de Kuhn interrumpiendo a sus discípulos con el atronador “que yo no soy kuhniano”. Pero no recordaba dónde la había leído. A mi vuelta a casa he localizado la fuente: la cuenta Freeman Dyson en “El científico rebelde“. Me parece muy ilustrativa y no resisto la tentación de compartir los fragmentos esenciales: Seguir leyendo

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Sorpresas en las sumas infinitas (II): Arquímedes, Oresme, Madhava.

Todas las familias felices se parecen; las familias infelices lo son cada una a su manera

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Lev Tolstói, en Anna Karénina

Fue en el S. XVII, con la gestación y el nacimiento del análisis  infinitesimal, el actual cálculo diferencial e integral, cuando las series, —de potencias, que se reducen a series numéricas cuando se da un valor numérico a la variable— comenzaron a ser un objeto ubicuo en las matemáticas occidentales. Pero antes de esas fechas habían sido varios los matemáticos preocupados por las sumas infinitas. Resumimos en este post lo que hasta entonces se aprendió. Que consiste esencialmente en reconocer lo equivocado de algunas ideas ingenuas sobre esta cuestión.

Una primera idea errónea, —que unida a la confusión entre el infinito actual y el infinito potencial conduce a las varias paradojas de Zenón—, consiste en creer que si una suma consta de un número infinito de sumandos, su valor no puede ser finito. Esto es cierto en muchos casos. Parece claro que la serie 1+1+1+1+1+1+… no tiene un valor finito como suma. Tampoco lo tiene la 1+2+3+4+5+6+ … (aunque sobre ambos ejemplos volveremos en otros posts).

Pero hay algunas series infinitas en las que esa afirmación no es cierta. Con seguridad Arquímedes (y probablemente otros) ya habían visto claro durante la antigüedad que  un número infinito de sumandos es compatible con un valor finito para la suma. En otras palabras, la presencia de infinitos sumandos no implica como consecuencia inevitable que la suma tenga que tener un valor infinito. Seguir leyendo

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“A la una yo nací, ….”

A la una yo nací / a las dos m’engrandecí /
a las tres tomí amante / y a las cuatro me cazí.

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Son los cuatro primeros versos de una canción sefardí. No he encontrado las interpretaciones de Joaquín Díaz ni de Sofía Noel, y enlazo aquí la excelente versión de Françoise Atlan.

Guiando la evolución del Universo y los avatares personales, a lo largo de los segundos, las horas, los días, los años o los eones: el tiempo. A partir de hoy, como hace un año, como hace dos años,  como hace tres años, hablaremos de Relatividad y de Gravitación, uno de los más impresionantes logros culturales humanos y nuestra mejor teoría sobre el tiempo.

Siempre el tiempo, ese gran escultor, ese soberano único para gobernarlos a todos, para encontrarlos, para atraerlos y arrastrarlos al ucronos, donde el tiempo ya no transcurre.

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¿Qué sorpresas esconden las sumas infinitas? I

No conozco a la mitad de ustedes ni la mitad de lo que me gustaría; y menos de la mitad de ustedes me gusta la mitad de lo que se merecen.

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Bilbo Bolsón, en La Comunidad del Anillo, de J. R. Tolkien. Traducción tomada de aquí.

A muy grandes rasgos, hay dos tipos de sumas infinitas, distinguidas por cómo están ‘etiquetados’ los sumandos: aquellas en las que se suma un conjunto infinito pero discreto de números, y aquellas en las que se ‘suma‘ sobre un conjunto continuo.

A las primeras se las llama en matemáticas series, y a las segundas integrales. Un indicio de que la integración es un descendiente evolucionado de la suma lo sugiere el símbolo propuesto por Leibniz: una S alargada, con el objetivo de transmitir la idea de S(umación), que se ha estilizado al actual símbolo ∫.  Además de esa evidencia procedente de la arqueología notacional, hay otra etimológica: integración proviene del latín integratio, cuyo sentido es constituir un todo agrupando sus partes. Y tampoco está de más recordar que uno de los precedentes directos de lo que en el sentido moderno vemos como integración (de una función cuya integral hoy además sabemos que no es directamente ‘inmediata’ y que sigue sorprendiento a los estudiantes) aparece en relación con las matemáticas de la proyección de Mercator, unos 60 años antes del nacimiento oficial del cálculo infinitesimal. Su autor,  Edward Wright tabulaba numéricamente en 1599 la cantidad que hoy escribiríamos como ∫ sec(x) dx y describía el proceso seguido como “la adición perpetua de las secantes”. Pero ésto es otra historia, de la que habrá que hablar en otra ocasión.

Las sumas que se extienden a una secuencia infinita de sumandos se escriben convencionalmente como a1+a2+a3+…. . El infinito que etiqueta a los sumandos en una expresión tal es un infinito discreto, numerable. Comparadas con las integrales, o ‘sumas continuas‘, esas sumas infinitas discretas o series parecen una construcción relativamente simple y podríamos quizás esperar que sus propiedades fueran semejantes a las de las sumas ordinarias. Pero esta esperanza es ciertamente demasiado ingenua.

Una de las primeras lecciones que se aprenden al estudiar cualquier problema en donde intervenga el infinito es que se trata de un terreno sumamente resbaladizo, Seguir leyendo

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Michael Berry, sobre la astronomía de ondas gravitatorias (en 1976)

BerryPrinciplesCosmologyGravitationMientras buscaba recientemente documentación para otros asuntos, he vuelto a consultar el libro Principles of Cosmology and Gravitation, de Michael V. Berry.  A pesar de que este libro cumple  ahora 40 años, creo que no ha perdido su interés. Y como una introducción plena de sentido físico a la teoría de Einstein de la gravedad me sigue pareciendo extremadamente aconsejable en su brevedad y visión. De estilo muy conciso y limitándose a lo realmente básico, llega bastante lejos en la teoría de Einstein de la gravedad —que no ha cambiado en esos 40 años— y presenta con gran claridad e incluso, en algunos casos, anticipación, las cuestiones básicas de la Cosmología, por más que nuestra imagen de la Cosmología haya sufrido sustanciales mejoras desde 1976. Como muestra de tal anticipación, (y también para sacar al blog de la sequía de los últimos meses), no me resisto a reproducir aquí este párrafo que ahora, 40 años más tarde de haber sido escrito, resulta visionario: Seguir leyendo

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Tan sólo la poesía y las matemáticas

En un mundo de luz no hay ni puntos del espacio ni momentos de tiempo; los seres cuyo tejido sea la luz vivirán en un nodonde y nocuando [nowhere and nowhen]; tan solo la poesía y las matemáticas son capaces de hablar de manera significativa sobre estas cosas. Un punto en C P3 es la historia de la vida completa de un solo fotón, —el “suceso” más elemental que puede ocurrir a la luz.

Yu. I. Manin, en el Capítulo 4, Space-time as a physical system, de Mathematics and Physics 1981. Reimpreso en Mathematics as Metaphor: Selected Essays of Yuri I. Manin, AMS, 2007.

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Umberto Eco, S·T·T·L

Stat rosa pristina nomine, Nomina nuda tenemus

Umberto, Sit Tibi Terra Levis

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“And know the place for the first time”

Sólo a través del tiempo el tiempo es conquistado

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T.S.Eliot, Cuatro Cuartetos, Burnt Norton II

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Este segundo cuatrimestre, comenzando el 15 de Febrero —hoy, en el momento de publicar esta entrada—, voy a impartir la Asignatura Gravitación y Cosmología. Su eje central es la Relatividad de Einstein, como teoría del Espacio-Tiempo. Y su centro es el análisis físico del Tiempo, el auténtico corazón de la Relatividad.

Sin relación aparente, asistí el lunes pasado a una conferencia de Margarita Salas, quien incluyó para acabar una cita de T.S.Eliot, Nobel de Literatura en 1948. La cita puede verse como una referencia poética a una de las enseñanzas básicas de la ciencia: sólo podremos decir que conocemos un asunto (por vez primera) al final de un largo proceso de exploración, que habrá comenzado en el mismo sitio pero al que volveremos ‘más arriba’, y que a su vez será el comienzo del siguiente nivel: la metáfora de la escalera de caracol.  En ese contexto yo había empleado estos versos para encabezar una charla hace dos veranos:

We shall not cease from exploration
And the end of all our exploring
Will be to arrive where we started
And know the place for the first time.

La mención hecha por Margarita Salas volvió a traer a mi mente este fragmento, y he dedicado un poco de tiempo Seguir leyendo

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(Casi) un siglo de Cosmología III.

…. (continúa de aquí) En la entrada anterior de la serie estábamos en las décadas de los 1960 y 1970, en las que tiene lugar…

El inicio de la edad de oro de la Astrofísica y Cosmología

Pues en esas décadas las mejoras en la tecnología comienzan a permitir observaciones y medidas de cada vez mayor precisión, lo que modifica el centro de gravedad (valga la redundancia) de los trabajos en Relatividad General y en Cosmología. Hasta entonces muchas observaciones no alcanzaban demasiada precisión (no podían alcanzarla), y aunque había bastantes predicciones teóricas desarrolladas, la posibilidad de su confirmación mediante observaciones finas estaba realmente bloqueada. Pero a partir de entonces la situación se invierte: tenemos cada vez más y mejores observaciones con una precisión también cada vez mayor …. lo que que sin excepción va consolidando la imagen del Universo basada en la Cosmología Relativista: un Universo en expansión, descrito con muy buena aproximación por las ecuaciones del modelo de Friedman-Lemaître-Robertson-Walker, FLRW.

Expansión ¿acelerada?

El año 1998 fue testigo de la última (hasta ahora) sacudida en nuestra imagen del mundo. Que el Universo se encuentra en expansión está fuera de toda duda. Hasta 1998 se creía Seguir leyendo

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Charla “La teoría de la gravedad de Einstein cumple 100 años”

Y, dentro de esta iniciativa de Cuentos Cuánticos de publicar en el momento del centenario posts sobre la Relatividad General, además del breve artículo periodístico del post anterior y para quienes tengan más tiempo, suficiente interés, o ambas cosas, enlazo aquí el audio (gracias, Inés y Joana) y la presentación de la charla que dí el pasado 19 de Noviembre en el Museo de la Ciencia de Valladolid, dentro de la Semana de la Ciencia.

El audio no incluye el turno de preguntas y comentarios, que duró otros buenos tres cuartos de hora.

Audio e imágenes no están integrados; van por separado. Si quiere seguir la charla, arranque el audio y después, haciendo click sobre la imagen de la presentación se abre el visor de .pdf del navegador, desde el que se puede seguir la presentación página a página mientras se escucha el audio.  No aparecen, claro, las indicaciones con el puntero laser en la charla en vivo, y depende del oyente escoger acertadamente cuando pasar a la transparencia siguiente.

Hay varios videos en la presentación, con su botón de arranque que hay que pulsar en su momento. Es posible que desde el visor de .pdf de algunos navegadores esta funcionalidad no esté disponible y los videos no arranquen; esta dificultad debe(ría) desaparecer descargando la presentación, lo que también se puede hacer desde el visor de .pdf del navegador, y leyendola desde allí con Acrobat o Acrobat Reader.

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En el centenario de la Relatividad General

El texto a continuación es un artículo publicado el viernes 13 de Noviembre de 2015 en el Suplemento ‘La Sombra del Ciprés‘ del Norte de Castilla, que esa fecha estuvo dedicado a la Ciencia. Reproduciéndolo aquí (gracias Angélica) me uno a la propuesta de Cuentos Cuánticos de celebrar el centenario de las ecuaciones del campo gravitatorio, que se cumple precisamente hoy,  publicando entradas sobre el tema de forma simultánea en los blogs que se sumen a la iniciativa.
Dentro de la misma conmemoración, para quienes dispongan de más tiempo o tengan especial interés, en el siguiente post he colgado una charla sobre el tema que dí en el Museo de la Ciencia de Valladolid el pasado día 19 de Noviembre dentro de la Semana de la Ciencia; en el post están el audio y la propia presentación.

El 25 de Noviembre de 2015 se cumplen cien años de la sesión de la Academia Prusiana de Ciencias en la que Albert Einstein presentó la versión final de su teoría de la gravedad, conocida como Relatividad General, que hoy es nuestra mejor teoría de esta interacción que gobierna el Universo.

Disponíamos antes de la teoría de la gravedad de Newton. Que es bastante buena. Con ella explicamos las mareas y los movimientos del sistema Solar. Predijimos Neptuno. Guiamos naves espaciales a la Luna o Marte. Sobrevolamos todos los planetas y Plutón. Y entendimos que estar en órbita es estar en caída libre ‘eternamente’: La Luna lo está alrededor de la Tierra, cayendo permanentemente, aunque esa caída Seguir leyendo

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(Casi) un siglo de Cosmología II

(continúa de aquí) …. Pasemos pues revista a los momentos destacados en el desarrollo de nuestra imagen actual del Universo.

Algo falta: la materia oscura

Fritz Zwicky

Fritz Zwicky

En los 1930, Fritz Zwicky, un precursor brillante y  algo atrabiliario, nota que observaciones cuidadosas en cúmulos galácticos (en concreto el cúmulo de Coma) analizadas aplicando el teorema del virial sugieren que la masa responsable de los movimientos observados es bastante mayor de la que se ‘ve’ ópticamente. Zwicky propone que una explicación para tal discrepancia podría ser una nueva y desconocida  forma de materia que no interaccione con la luz pero que cause y sienta efectos gravitatorios, y acuña para esta ‘materia que falta’ el nuevo término ‘materia oscura’.

No se trata de una hipótesis tan ad-hoc como pudiera parecer: la esencia de la relatividad general es que cualquier cosa que tenga energía produce efectos gravitatorios. Si tan solo conocemos la materia que emite y absorbe luz, eso se debe precisamente a que la práctica totalidad de nuestra información sobre el mundo nos llega a través de la luz. Pero son perfectamente imaginables otros tipos de materia que no emitan ni absorban luz. Con lo que no podríamos ‘verlos’. Aunque siempre que esta materia ‘oscura’ tenga energía (lo que parece mucho más inevitable), Seguir leyendo

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(Casi) un siglo de Cosmología I

Este post (que publicaré en tres partes) es el texto, con mínimas revisiones y alguna pequeña adición, de un artículo publicado en el número 21 de ALKAID, con el amable permiso de su directora. He reemplazado las imágenes del artículo original por fotografías (de dominio público) de los personajes más destacados en esta historia.

ALKAID es una revista cultural independiente. Cubre múltiples facetas del conocimiento, “desde la Lingüistica hasta la Astronomía”: divulgación científica, ensayo, historia, arqueología, medio ambiente, poesía, arte, wargames, montaña, etc. Si no la conocen, probablemente no se imaginen la calidad y el cuidado que se percibe en cada uno de su detalles: no solo el papel, el formato, la maquetación y la impresión, sino también la enorme variedad, amplitud e interés de los temas que trata. Así que se la recomiendo sin ninguna reserva. Merece la pena.

Stonehenge, nocturno

Stonehenge Nocturno ca. 2800-1500 B.C., Wiltshire, England, UK — Stonehenge at Night — Image by © M. Dillon/CORBIS

La historia de la Astronomía es una historia de horizontes en retirada.                                                                                                 Edwin Hubble

La observación del cielo, rastreable desde hace varios miles de años, es la primera empresa colectiva humana que sin duda contiene el germen de la ciencia. En ella surgen preguntas: ¿qué sabemos sobre el Universo?, ¿cuándo y cómo hemos comenzado a saberlo?, ¿cómo empezó el Universo? o ¿cómo evolucionó hasta el estado que vemos hoy? En la breve historia de nuestra búsqueda de respuestas veremos que esta empresa se describe bien en la frase de Hubble que encabeza el artículo: Seguir leyendo

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Elogio del número seis

No todos los números tienen el mismo carácter. “Seis” es un número interesante. Algunos otros números también lo son. Pero los números bastante interesantes son pocos: 5, 8, 24, 42, ….

A tu alcance hay seis direcciones cardinales, en las que puedes moverte: Norte / Sur, Este / Oeste,  Arriba / Abajo. Quizás creías que eran sólo cuatro, pero también puedes subir y bajar.

Con solo hexágonos puedes teselar el plano: lo hacen también las abejas. Y los copos de nieve tienen una variada simetría de orden seis.

Cristales hexagonales en copos de hielo. Fuente:  Bentley, W. A. Snow Crystals. NY: Dover, 1962

Hay precisamente seis quarks y seis leptones, y de sus combinaciones surge toda la materia que conocemos, con su amplísimo espectro de características, incluyendo la curiosa propiedad del carbono (cuyo número atómico es seis) de formar enlaces hexagonales, una propiedad a la que tú (y todos nosotros) debemos algo 🙂 …. Seguir leyendo

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El monte del ‘cuñao’

Esta gráfica —que representa la disposición a opinar sobre cualquier tema frente al conocimiento que de tal tema se tenga— parece recoger la esencia del fenómeno ‘opinador’ tan español que inunda nuestra vida cotidiana. La ví aquí (en donde no se aplica particularmente a España, aunque estoy seguro de que en España el efecto que recoge es especialmente intenso). Y me parece tremendamente realista. Como modelo matemático del asunto, chapeau. Ya se sabe que los modelos deben ser todo lo simples que sea necesario, pero no más.

Aquí va la gráfica. Real como la vida misma.

Visto en xxx

Visto en smbc, por Zach Weinersmith

Un poco de quantum flapdoodle: Obviamente el máximo en rojo en la gráfica, denominado ‘monte estúpido’, es un resultado de la interacción de las fluctuaciones cuánticas del vacío con el campo opinahkásico (que como se sabe no es escalar como el campo de Higgs, ni espinorial como el de Dirac, ni  tensorial como el del campo gravitatorio, sino que es de naturaleza opinatorial). Esta interacción conduce a una anomalía ‘cuántica’ que no se daría en un mundo ideal en el que dichas fluctuaciones cuánticas estuvieran ausentes. Por tanto es inevitable: no hay posible apantallamiento ante tal fenómeno. Lo que es realmente una buena noticia: en el mundo ideal en el que no existiera tal anomalía, la gráfica sería una simple curva creciente (como la representada en el tramo negro) carente por completo del menor appeal. Y en esa penosa situación la vidilla opinadora en las barras de nuestros bares y en nuestros programas televisivos con tertulianos sería poco movida, aburrida y cansina.

Pero el nombre que han adjudicado a ese máximo local en la gráfica es demasiado directo, y si lo usamos aquí muchos españoles se darán por ofendidos (darse individualmente por ofendido a causa de alusiones particulares a miembros de un colectivo también parece ser otra esencia patria). Este efecto indeseado se podría evitar traduciendo por ‘Monte del cuñao‘, lo que hace referencia a esta acepción moderna y descriptiva del término (un buen ejemplo real de cuñao, aquí) que no tiene porqué ofender a nadie. Porque nadie se ve a sí mismo como tal.

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‘Teóricos’ vs. ‘Experimentales’ y otros enfrentamientos

Tiempo atrás presencié otra situación en la que se recurría al mito de la Tierra plana de modo bastante diferente al uso interesado en la película “What the bleep do we know”  al que me refería en un post anterior. Fue asistiendo como oyente a una charla dada por un científico, y cuyo público era en gran parte no científico.

Primero, un listado de obviedades ideales. La Ciencia es una empresa colectiva. Su objetivo es entender la Naturaleza. Y la naturaleza de la ciencia requiere la cooperación. Para ello se necesitan tanto ideas surgidas en las buenas cabezas —que permitan imaginar— como los resultados de los buenos experimentos u observaciones de la realidad —que permitan ver—. Pretender que se pueda avanzar apoyándose solamente en una de esas mitades es, en el mejor de los casos, iluso. Y la (buena) ciencia avanza reconociendo lo que es incorrecto y corrigiendo, cuando sea posible hacerlo, lo que necesita mejora, en un proceso que es a la vez dialéctico y simbiótico.  Teoría y experimentación u observación deben avanzar complementándose; hay ejemplos históricos en los que el papel inicial para los avances relevantes lo han tenido bien la una o las otras.

Y otra última obviedad. No soy tan ingenuo como para no ser completamente consciente de que lo anterior son las normas ‘ideales’ pero que el comportamiento de los científicos individuales o de las instituciones científicas o de las Universidades tiene un amplísimo espectro, y que el porcentaje de científicos o de profesores o de redactores de planes de estudio o de rectores o de ministros de ciencia que actúan anteponiendo otro tipo de intereses es, con suerte, el mismo que el porcentaje correspondiente en cualquier otro grupo humano (una variante, en otro cuadrante, de la constancia de la fracción \wp, Cipolla dixit). El que estos porcentajes sean lo que son parece un hecho natural inevitable Seguir leyendo

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Timeline de la Historia de la Mecánica Clásica

He preparado este Panorama Cronológico (a.k.a. Timeline) de la Mecánica Clásica con vistas a la asignatura “Mecánica Teórica” de cuya docencia me voy a encargar este curso. Su objetivo es facilitar el establecimiento de relaciones temporales significativas entre quienes más destacadamente contribuyeron (Galileo, Newton, Leibniz, Euler, Lagrange, Hamilton, Jacobi y tantos otros en la segunda fila) a cada parte de la impresionante construcción intelectual que es la Mecánica Clásica. En su excelente “The variational principles of Mechanics“, Cornelius Lanczos, un físico matemático húngaro que fué colaborador de Einstein, dice

… there is a tremendous treasure of philosophical meaning behind the great theories of Euler and Lagrange and of Hamilton and Jacobi, which […] cannot fail to be a source of the greatest intellectual enjoyment to every mathematically minded person.

La extensión temporal de la Timeline, que cubre unos 2500 años obliga a partirla en dos fragmentos, uno del S.V A.C. a 1550 cubriendo 2000 años, y el otro de 1500 a 2015. Si algún lector estima que hay alguna omisión destacada, agradeceré el aviso.

Mi propósito inicial fué incluir también una mención telegráfica a las contribuciones de cada autor, pero es claro que juntar líneas de vida, retratos y contribuciones en una sola pantalla daría un conjunto demasiado abigarrado. Así que he optado por representar solo los intervalos de la vida de los autores, con una muy vaga codificación: los nombres realmente importantes y básicos en la Mecánica Clásica como tal figuran en la parte superior, con todo un espectro de contribuciones auxiliares según se avanza hasta la parte inferior. Durante el S. XX, la teoría de sistemas dinámicos y el ‘descubrimiento’ del caos puede verse como una parte importante de la evolución de la Mecánica Clásica, desgajada parcialmente de ella a partir de Poincaré, y por ello he incluido algunos nombres importantes de ese campo. Y por otro lado, es perjudicial y además poco adecuado conceptualmente ver la Mecánica Clásica como opuesta a la Relatividad o a la Mecánica Cuántica, algunos de cuyos creadores aparecen en esta Timeline por derecho propio; Dirac desarrolló la moderna teoría de ligaduras, y Feynman dió la clave para entender realmente el mecanismo que subyace tras el principio de acción estacionaria.

En otros casos, hay varias sublineas que eventualmente comentaré y que iremos viendo en clase cuando llegue el momento. Un ejemplo: todo el mundo sabe que el espacio de fases es el objeto fundamental en la teoría de sistemas dinámicos, pero, ¿cual es el origen de la idea y del nombre de ese objeto básico? ¿Y a qué fases se refiere? Bien, pues he procurado incluir los nombres que sean necesarios para dar sentido y consistencia a ésta y a otras historias, de la que hablaremos en otra ocasión, aunque esos nombres no tuvieran contribuciones destacadas a la Mecánica como tal.

Las dos Timelines funcionan igual que las otras dos análogas que agrupan y ordenan información cronológica para el modelo estandar de las partículas elementales y para la Cosmología: pinchando en cada una de las dos miniaturas de las dos partes (S. IV A.C. a 1550 y 1500 a 2015), se deberá abrir la ventana de lectura de .pdf’s en su navegador mostrando cada timeline completa. Allí se debe ampliar la escala de visión hasta que verticalmente el fichero ocupe la pantalla completa. Luego hay que navegar por él lateralmente: el fichero está construido para verse exactamente así. Representa horizontalmente la diacronía, y verticalmente la sincronía. Cada científico está representado por su línea de vida, con una imagen centrada adosada y el nombre superpuesto.

Un panorama de este tipo ayuda a construir un contexto en el que colocar la red de ideas que forman la Mecánica Clásica y su evolución. Y como en las otras dos que he mencionado, hay detalles también aquí para entretenerse un buen rato. Disfrútenlo.

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El mito de la Tierra Plana: Los mapas y la evidencia

Desde la Antigüedad, se ha sabido que la Tierra era esférica y este conocimiento no desapareció en la Edad Media. Para completar las pinceladas que vimos en un post anterior, quiero hoy dar un rápido repaso a unos cuantos hechos que dejan poco lugar a las dudas sobre esa afirmación.

Globo DE Crates

Diagrama del Globo Terráqueo de Crates de Mallus.

El  modelo más antiguo de un globo terráqueo se debe a Crates de Mallus (S. II a.C.); Estrabón deja constancia de su diseño. De hecho, Crates era tan consciente de que el Oecumene, el mundo conocido en su época, era solamente una pequeña parte del mundo que conjeturó, por simetría y para equilibrar el conjunto, la existencia de otros tres continentes: Perioeci (al lado del oecumene), Antoeci (opuesto al oecumene) y Antipodes (opuestos por los pies). Esto se ilustra en este grabado (cuya fuente no he podido identificar) que muestra la disposición de esas cuatro partes ‘ideales’ de la esfera terrestre. Como un comentario marginal, vemos que la creencia en un mundo en que la simetría tiene un papel esencial, que hoy mantenemos bastante íntegra, Seguir leyendo

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La Tierra plana y “What the bleep do we know!?”

…. Hace 25 años, John Campbell, cuya especialidad era irritarme, me decía que con el tiempo, todas las teorías resultan ser erróneas.

Mi respuesta fue: “John, cuando la gente pensaba que la Tierra era plana, estaban equivocados. Cuando pensaban que era esférica, estaban equivocados. Pero si tú piensas que la creencia de que la Tierra es esférica es un error comparable al de creer que es plana, entonces tu punto de vista es más erróneo que los otros dos juntos”.

El fallo básico es que la gente piensa que “correcto” y “equivocado” son absolutos; que lo que no sea perfecta y completamente correcto está total e igualmente equivocado.

Sin embargo, no creo que esto sea así. Me parece que correcto y equivocado son conceptos difuminados, y en este ensayo voy a explicar porqué lo creo así.

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The Relativity of wrong, Isaac Asimov.

No sé si ustedes conocen la película ‘documental’  “¿Y tú qué sabes?“, versión en español de “What the bleep do we know?” [WTB.., grafía original “What tHe βLεεp Dθ wΣ  (k)πow!?” o incluso “What tHe #$*! Dθ wΣ  (k)πow!?” lo que nos deja en la duda de si sus autores pretendieran homenajear debidamente al capitán Haddock].

El capitán Haddock

El capitán Haddock, ‘viendo’ una botella de borgoña, en “El cangrejo de las pinzas de oro”. En la siguiente escena intenta descorcharla, encontrando que el corcho es la cabeza de Tintin.

Yo no la conocía, Seguir leyendo

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El mito de la Tierra Plana

La mente humana parece funcionar como un dispositivo categorizador (quizás incluso, como defienden muchos estructuralistas franceses, como una máquina de dicotomizar, dividiendo el mundo sin descanso en dualidades de tipo “crudo y cocido” [naturaleza versus cultura]: macho y hembra, material y espiritual, y así sucesivamente). Este hábito de pensamiento profundamente enraizado (quizás innatamente) nos pone en dificultades específicas cuando se trata de analizar los muchos continuos que forman las partes más destacadas del mundo a nuestro alrededor.

Los continuos son raramente tan suaves y graduales en su flujo como para que no podamos especificar determinados puntos o episodios como claramente más interesantes, o más tumultuosos en sus tasas de cambio, que la inmensa mayoría de los momentos a lo largo de la secuencia. Por lo tanto, escogemos falsamente estos episodios cruciales como fronteras para categorías estables, y ocultamos la continuidad de la naturaleza con los envoltorios de nuestros hábitos mentales.

Debemos también recordar otro aspecto insidioso de nuestra tendencia a dividir los continuos en categorías fijas. Estas divisiones no son neutras; las establecen los partidarios de ciertos puntos de vista particulares con propósitos determinados.

Además, como muchos de estos continuos son temporales, y ya que tenemos una lamentable tendencia a considerar nuestra época como la mejor, éstas divisiones suelen adjudicar al pasado nombres peyorativos, mientras que las épocas sucesivamente más modernas se designan con palabras de luz y progreso.

[…]

Este ensayo ha discutido un doble mito en los anales de nuestros malos hábitos en la falsa categorización: (1) la leyenda de la Tierra plana como apoyo para una ordenación sesgada de la historia occidental que se presenta como una historia de redención desde la época clásica hasta el Renacimiento, pasando por la época oscura y medieval, y (2) la invención del mito de la Tierra plana para apoyar una falsa dicotomización de la historia occidental como otra historia de progreso, una guerra de la ciencia victoriosa sobre la religión. No me sentiría preocupado por estos errores si solamente condujeran a una visión inadecuada del pasado, sin consecuencias prácticas en nuestro mundo moderno. Pero el mito de una guerra entre la ciencia y la religión permanece como algo de cada día ….

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Stephen Jay Gould (1941 – 2002)

La Tierra no es plana, sino una esfera. Nadie hoy lo pone en la más mínima duda. Pero si se pregunta ¿desde cuando sabemos, como colectividad, que es así? es más que probable recibir como respuesta que durante la Edad Media se pensaba que la Tierra era plana, y que solo tras Colón y los primeros viajes de circunvalación se zanjó la cuestión Seguir leyendo

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En el Campus de Profundización Científica, Soria 2015

Ayer tuvo lugar en Soria el acto de Inauguración de la edición de este verano del Campus Nacional de Profundización Científica 2015 para estudiantes de ESO, promovido y financiado por el CNIIE desde el Ministerio de Educación, Cultura y Deporte y en el que actúa como Entidad Colaboradora la Real Sociedad Española de Física.

En el acto de Inauguración impartí una charla con el título “El Universo y la luz”. La charla estaba destinada a los estudiantes que participan en el Campus, procedentes de toda España y seleccionados entre varios cientos de solicitudes por sus excelentes logros académicos.

Al final de la charla solamente dispusimos de tiempo para unas pocas preguntas —el horario de actividades es realmente muy apretado—. Cuelgo ahora el fichero de la presentación para quienes quieran descargarlo (también pinchando en la imagen), y animo a quienes se quedaran con ganas de preguntar algo más lo hagan en los comentarios; prometo responder.

Blog1507_PresCampusSoriaImagen

Durante la charla proyecté también un video, al que se referían algunas de las cuestiones.  Tuve la suerte de participar Seguir leyendo

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Una Timeline de la Cosmología en los últimos 100 años

He preparado este Panorama Cronológico (a.k.a. Timeline) de la Cosmología en los últimos 100 años para la charla que doy hoy en el curso organizado por el GUA y la Sociedad Syrma.

Al igual que en la Timeline del modelo estandar de las partículas elementales, pinchando en la miniatura se deberá abrir la ventana de lectura de .pdf’s en su navegador mostrando la timeline en todo su esplendor. Allí se debe ampliar la escala de visión hasta que verticalmente el fichero ocupe la pantalla completa. Luego hay que navegar por él lateralmente: el fichero está construido para verse exactamente así. Representa horizontalmente la diacronía, en dos grandes franjas. La franja superior tiene varios bloques sobre la teoría y la interpretación relacionada con esta historia y en la inferior se ubican a lo largo del tiempo resultados o iniciativas observacionales en Astronomía y Cosmología en los distintos rangos de observación (visible, radio, etc.). Cada uno de esos bloques tiene su línea de fechas y la sincronía entre ellas está representada en vertical, con unos iconitos que ubican temporalmente sucesos históricos relevantes.

Como en su Timeline análoga para el modelo estandar de las partículas elementales, un panorama de este tipo ayuda a percibir bien la inter-relación temporal y conceptual entre los descubrimientos observacionales y los modelos teóricos. Hay detalles también aquí para entretenerse un buen rato. Disfrútenlo.

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“Nadie entre aquí que no sepa Geometría” ¿Podemos ignorarla?

De acuerdo con una tradición, sobre la puerta de la Academia de Platón estaba grabada la frase:

Blog1503_ageometretos

El texto griego inscrito en la puerta de la Academia de Platón. Fuente

“Nadie entre aquí que no sepa Geometría”

No sabemos con seguridad si la frase realmente figuró o no en el frontispicio de la Academia. Lo que sí es seguro es que la frase resulta correcta en cuanto a su espíritu en relación con la obra de Platón.  Y en el caso de que la tradición no fuera  literalmente confiable, sería un buen ejemplo de una leyenda a la que se podría aplicar aquello de “se non è vero è ben trovato”. 

La estructura del Espacio-Tiempo, y del campo gravitatorio es una geometría. Que contiene nuestra mejor descripción del Universo, entre otras cosas. Comprobada y verificada hasta niveles de precisión realmente inimaginables. Nos ha costado dos milenios y medio de esfuerzo intelectual de generaciones y generaciones anónimas y de unas cuantas destacadas individualidades llegar a entenderlo colectivamente como podemos hacerlo hoy.

Pero sigue habiendo quien con desenvoltura y desparpajo actua como si fuera posible ignorar la geometría. Vean, en esa dirección, este video “The Expert“, que no tiene desperdicio y que seguramente les hará al menos sonreir. Y compadecer al experto.

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Simulando: … y de la Regla de Cálculo … a la simulación cuántica.

… continúa del post anterior.

Otro simulador analógico que en la práctica ha desaparecido virtualmente, tras haber prestado grandes servicios a la comunidad de científicos e ingenieros, es la regla de cálculo.

Desde que se concibió la idea de los logaritmos, que permiten calcular una multiplicación de números a través de la suma de sus logaritmos, aparecieron las primitivas versiones de la regla de cálculo, una simple yuxtaposición de dos regletas deslizantes con los números grabados en ambas según una escala logarítmica.

La regla de cálculo, como muchos otros nomogramas analógicos, permitía omitir (o cortocircuitar) una parte del trabajo tediosa: no era necesario buscar en una Tabla los logaritmos de dos números, sumarlos y con esa suma consultar de nuevo la tabla en sentido inverso, todo ello interpolando si era necesario, para recuperar el producto de los dos números. Con la regla de cálculo bastaba un solo deslizamiento de una escala sobre la otra para hacer coincidir el 1 de la escala superior con el primer factor (en la imagen 1.5) y entonces, sin más, el segundo factor en la escala superior coincidía con el producto de ambos en la inferior (por ejemplo 1.5 x 4 = 6). Con otra ‘ventaja’ añadida: Seguir leyendo

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Simulando: de las ‘Orreries’ del S. XVIII ….

Charles Boyle, 4th Earl of Orrery (1647–1731) era un noble irlandés que tuvo una activa vida de interés en asuntos literarios y científicos, incluyendo una polémica con Richard Bentley, uno de los corresponsales de Newton.

En 1712, el 4th Earl of Orrery encargó a un constructor de relojes, John Rowley, el diseño y construcción un modelo mecánico del sistema Sol-Tierra-Luna, con el Sol en el centro, la Tierra orbitando alrededor de él y la luna orbitando alrededor de la Tierra. Este modelo debía servir para mostrar el movimiento de estos tres astros, representando fielmente las orientaciones relativas de sus posiciones a lo largo del tiempo, a expensas de la escala espacial precisa, cuya representación cae fuera de los límites razonables en ningún modelo mecánico. Alguien se refirió a la propia máquina como una ‘orrery‘ y el nombre cuajó; desde entonces, estos modelos de planetarios mecánicos heliocéntricos se conocen genéricamente en Inglaterra como ‘orreries‘.

No sé de ninguna traducción aceptada al castellano del término orrery de manera que usaré el nombre inglés. La traducción más obvia, planetario, no tiene en español las mismas connotaciones y se suele aplicar a los sistemas ópticos de proyección del cielo estrellado sobre una bóveda (al igual que ocurre con planetarium en inglés). Una reflexión amargamente malévola al margen: Seguir leyendo

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La tetera de Newell y una nueva asignatura

En 1975 el modelado por ordenador en tres dimensiones estaba en su infancia.

Martin Newell, un investigador en ese campo, buscaba un objeto simple, pero no demasiado simple, para su trabajo de modelado en 3D. Según la historia (o es ya leyenda) Newell escogió una tetera que tenía en su cocina, hizo una secuencia de dibujos en 2D y empleó esos dibujos para crear un modelo en 3D, cubriendo la tetera con un esqueleto de una red de polígonos y usando superficies de Bézier para ‘vestir’ el enrejado. Tanto la propia tetera original (que existe de verdad como objeto tridimensional) como los dibujos originales de Newell y las imagenes 3D generadas por ellas son hoy casi objeto de culto: la tetera de Newell o la tetera de Utah. Y es que hay algo entre mágico e inquietante en la aparición partiendo de dibujos bidimensionales de un objeto sólido que se despega del plano cobrando una nueva vida tridimensional. Seguir leyendo

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Alrededor de los puntos de Lagrange en 3D: Las órbitas de Halo (y IV)

You can’t connect the dots looking forward; you can only connect them looking backwards. So you have to trust that the dots will somehow connect in your future.

Steve Jobs, en la 2005 Stanford Commencement Address

sigue del post anterior de la serie…

A vista de pájaro, la historia narrada en los tres posts anteriores aparece como el proceso de ir poniendo ‘dots’: quienes ponen cada uno de ellos pueden no sospechar para qué se añadirá el siguiente. Primero Euler y Lagrange, hace dos siglos y medio, en el transcurso del estudio de un problema mucho más amplio, encuentran ciertas configuraciones de movimiento en el problema de tres cuerpos, las configuraciones que hoy llamamos de ‘equilibrio relativo’. Desde mediados del S. XIX, de la mano de Maxwell y de otros se van abriendo paso las ideas del estudio de la estabilidad de tales movimientos en problemas semejantes. Hace poco más de un siglo se comienzan a descubrir asteroides en las posiciones predichas por Lagrange, y se acuña la actual denominación de estos puntos.

En ese momento ya tenemos el conjunto de conexiones necesarias entre todos estos ‘dots’ para seguir los tres posts anteriores, en los cuales nos hemos aventurado llegando hasta donde se puede alcanzar usando la aproximación lineal o de pequeñas oscilaciones para estudiar el movimiento tridimensional en las cercanías de los puntos de Lagrange.

Pero si ponemos aquí el punto final, nos perderíamos un interesantísimo pasadizo que nos conduce a un mundo nuevo de órbitas. La entrada a ese al Siq, que hay que buscar deliberadamente, Seguir leyendo

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Alrededor de los puntos de Lagrange: Órbitas de Lissajous en 3D (III)


… Sigue del post anterior de la serie….

… en el que discutíamos cómo sería el movimiento libre de un asteroide (o una nave espacial) en las cercanías de uno de los puntos de Lagrange, limitándonos al caso de que el movimiento tenga lugar exactamente en el plano en el que rotan los dos primarios (típicamente el Sol y un planeta). Indicamos entonces que en éste problema el estudio del movimiento exacto no es fácil y para muchos propósitos es preferible emplear un procedimiento que de entrada sea solamente aproximado —tanto más cuanto más cerca estemos del punto— pero que a cambio permita dar una visión uniforme y coherente, dependiente de unos pocos conceptos esenciales. Tal método aproximado se basa en uno de los grandes principios de la Física Matemática, cuyo rango de aplicabilidad trasciende al problema del movimiento en los puntos de Lagrange: la idea de que los pequeños movimientos de cualquier sistema en las cercanías de una posición de equilibrio son una superposición lineal de ciertos movimientos particulares, o modos normales.

En la década de 1950, los albores de la era espacial, se planteó la idea de usar los puntos de Lagrange para colocar en ellos o en sus cercanías satélites artificiales con varias posibles finalidades. Nada sorprendentemente, el padre de la idea fue A.C. Clarke, Seguir leyendo

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Qué hacer es asunto nuestro

Una joya de hace algo más de ocho siglos, el Viderunt Omnes de mi admirado Perotin, abre este post y da un buen fondo sonoro para su lectura. Se conoce su origen preciso: la obra surgió de un encargo de las autoridades eclesiásticas para celebrar el día de Navidad del año 1198 y se encuadra en una interesantísma época de inflexión en la historia de la Música, marcada por la transformación del gregoriano hacia la polifonía, desde el Ars Antiqua hasta el Ars Nova y hacia lo que vino después. Hoy, que podemos disfrutar en la debida perspectiva tanto de esa como de las músicas de los ocho siglos posteriores, te sugiero, querido lector, que arranques el video, ajustes a tu conveniencia el volumen sonoro y continúes leyendo ….

… el texto siguiente, tomado, en traducción personal, del último capítulo, titulado Dreams of Earth and Sky de Disturbing the Universe, (Basic Books, 1979) de F. J. Dyson.

En su característico lenguaje terso, Dyson lo presenta como un sueño tras el cual quejas y preguntas encuentran una respuesta Seguir leyendo

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Felicitación de Navidad: una Timeline de la historia “Del átomo al Higgs”

Para tener a mano una idea visual de la evolución temporal de las diferentes líneas de desarrollos teóricos y de descubrimientos experimentales relevantes en la historia que he narrado en desde el átomo hasta el Higgs, mientras escribía la serie dediqué en el otoño de 2013 algunos ratos a construir con \TeX este Panorama Cronológico (a.k.a. Timeline) del actual modelo gauge estandar de las partículas elementales.

Pinchando en la miniatura se deberá abrir la ventana de lectura de .pdf’s en su navegador mostrando la timeline en todo su esplendor. Seguir leyendo

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Físicos de incógnito

Físicos que vais de incógnito, físicos de profesión, de afición, futuros físicos, frikis de la física: todos vosotros conocéis de nombre y de obra, sin ninguna duda, al personaje que, con solo 18 años de edad, ocupa el centro de la foto.

Blog1412_Incognito1

Pero ¿le identificáis? ¿Quién es? Seguir leyendo

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“No destruyas lo que no puedas crear”

El título de este post es el cuarto mandamiento de Leó Szilárd. Este físico húngaro, relativamente poco conocido, fue una de las mentes más originales de la primera mitad del S. XX.  Entre sus inusuales contribuciones  figura su propia versión de los Diez Mandamientos, cuyo texto original fue escrito en alemán; según Szilárd no debía traducirse. Pero en beneficio del resto del mundo no germanoparlante, pueden encontrarse versiones en inglés, fiables en su traducción y con comentarios sobre la historia de su elaboración, por ejemplo aquí.

LaRuinaDeEldena_1825El cuadro que reproduzco, Las ruinas de Eldena, de Caspar David Friedrich, pintado en 1825 en pleno romanticismo, representa una casa de labradores construída bajo las ruinas de un antiguo monasterio, cuyas altas paredes requirieron sin duda bastante más “saber hacer” que la casita que aprovecha la ruina de sus muros, permitida o alentada por generaciones de desidia.

Lo que ha juntado en mi mente el mandamiento de Szilárd y este cuadro, por el siempre inescrutable camino de las asociaciones mentales, Seguir leyendo

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Jordi Savall, chapeau.

Blog1410_JordiSavallLa noticia esta tomada de aquí. En su carta de renuncia, Jordi Savall acaba diciendo:

La ignorancia y la amnesia son el fin de toda civilización, ya que sin educación no hay arte y sin memoria no hay justicia. No podemos permitir que la ignorancia y la falta de cultura de los responsables de las más altas instancias del Gobierno de España erosionen impunemente el arduo trabajo de tantos músicos, actores, bailarines, cineastas, escritores y artistas plásticos ….

Muy bien dicho. Seguir leyendo

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Errantes alrededor de los puntos de Lagrange: II

… sigue del post anterior de la serie

Un asteroide (o una nave espacial) situado en uno de los puntos de Lagrange, en reposo desde el punto de vista del sistema de coordenadas rotante, permanecerá en ese punto por siempre. Esa es la condición de equilibrio que determina los puntos de Lagrange. Un observador inercial exterior vería tal asteroide o nave siguiendo una órbita circular alrededor del centro de masas del sistema —aproximadamente el Sol si se trata de un sistema Sol-Planeta— con la misma velocidad angular que el primario y el secundario, lo que equivale a decir que desde el punto de vista del observador rotante, el asteroide permanece en reposo en el punto de Lagrange.

¿Seguro? Bueno…., sí, siempre que el asteroide esté situado exactamente en el punto de Lagrange, y su velocidad respecto de él sea exactamente nula. Mientras que enunciar la condición anterior es fácil, no es tan fácil asegurar el ‘exactamente‘. Y aunque el calificativo fuera aplicable en un instante dado, hay varios efectos que pueden perturbar esas condiciones: los más obvios, los gravitatorios de los restantes planetas. La pregunta realmente significativa entonces debe ser: si la posición del asteroide no es exactamente el punto de Lagrange y/o si la velocidad respecto de él no es exactamente nula, ¿como será su movimiento ulterior? Esa es la pregunta que discutimos ahora. Seguir leyendo

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Los puntos de Lagrange I: ¿Qué son?

‘Sitúense en el Sol’ —había dicho un día Mendoza a una clase de estudiantes ligeramente desconcertados, poco después del anuncio de su Premio Nobel — ‘y dirijan la vista a Júpiter, a 750 millones de kilómetros. Entonces abran sus brazos, sesenta grados a cada lado …… ¿Saben hacia donde están apuntando?’

No esperaba respuesta, ni tampoco hizo una pausa para que la hubiera.

‘No podrán ver nada allí, pero estarán apuntando a dos de los lugares más fascinantes en el sistema Solar ….’

A. C. Clarke, en “El martillo de Dios”

 

Basta leer sobre muchas de las interesantes misiones espaciales realizadas en los últimos cuarenta años (en concreto, ISEE-3, Genesis, WMAP, Herschel, Planck), sobre la misión astrométrica Gaia, lanzada hace menos de un año, o sobre el magnífico proyecto de telescopio espacial en curso de ejecución (James Webb Space Telescope), para encontrar menciones a los puntos de Lagrange y a diferentes órbitas (de Lissajous o de Halo) alrededor de estos puntos. Y es que todos esos satélites se encuentran (se encontraron, se encontrarán) en órbitas de estos tipos alrededor de los puntos de Lagrange SEL1 y SEL2 del sistema Sol-Tierra. No es accidental que estén allí. Todas estas misiones se aprovechan del carácter de estas ubicaciones distinguidas en el sistema Sol-Tierra,  sus puntos de Lagrange. ¿Qué son esos puntos? ¿Porqué son distinguidos? Y, ¿cómo emplear esa distinción para nuestros propósitos? Seguir leyendo

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En una Escuela en la Fundación Sierra-Pambley de Villablino

Siempre he deseado que mi enseñanza y mi acción y vida entera fuera obra de neutralidad, de tolerancia… Es decir, no en el sentido negativo de estas palabras, a regañadientes; sino positivo, de cooperación, de simpatía profunda para los que más «contrarios» se estiman; procurando hallar en todo y en todos lo conforme, la unidad, que está mucho más alta y mucho más honda, a un tiempo, que las divergencias.

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Francisco Giner de los Ríos, en una carta a Unamuno, 1899

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La cita, de uno de los fundadores de la Institución Libre de Enseñanza, está tomada de uno de los paneles de la exposición “Francisco Giner de los Ríos, Un andaluz de fuego”. Se puede leer aquí el texto completo de los paneles; aconsejo vivamente la lectura pues hay dispersas otras varias citas tanto o más interesantes, y porque en su conjunto nos dan una medida precisa de hasta qué punto cosas que tendemos a dar hoy por sentadas se lograron solamente por la acción y energía de personas empeñadas en su tarea, hace no tanto tiempo. Estos paneles ocupaban el hall del Centro de la Fundación Sierra-Pambley en Villablino (León), en donde he participado en una Escuela de Historia de la Física organizada por la Real Sociedad Española de Física en colaboración con esta fundación. He tenido allí la oportunidad de conocer de cerca los detalles de la interesante historia de la fundación, ligada de manera muy directa con la historia de la Institución Libre de Enseñanza, iniciativas ambas cuyo recuerdo en momentos bajos puede y debe servir para reconciliarnos con el género humano. Seguir leyendo

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Piranesi / Ruinas / Mathematica

Amamos las ruinas,  porque sabemos que por ellas pasó la vida. Esta frase, que he visto atribuída a Walter Benjamin, parece bastante acorde con algunas ideas directrices de su obra, pero no tengo ninguna referencia precisa que confirme (o desmienta) la atribución.

Uno de los artífices de nuestra moderna fascinación por las ruinas es Giambattista Piranesi (1720-1778), autor de magníficos grabados que merecen ser considerados como una influencia cultural de largo alcance, preformando la visión romántica del siglo siguiente, y cuyos ecos llegan, dos siglos después, hasta mundos literarios como el de Borges o cinematográficos, como el de Greenaway. Seguir leyendo

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Si en un examen te piden hacer de referee… (y II). Einstein y E=mc²

….viene de aquí

Es posible y es deseable aprender en/de los exámenes. Y me refiero aquí no solo a los estudiantes, sino también al profesor. Lo que quiero compartir hoy es el resultado de la experiencia que describí en el post anterior.

Recuerdo de que se trata: Contexto: una asignatura Relatividad, optativa en el cuarto curso de la licenciatura de Ciencias Físicas (de 5 años). Época: los años transcurridos desde el experimento podrían contarse con los dedos de las dos manos. Protagonistas: una docena de estudiantes de la asignatura, que en promedio tuvieron un resultado desde normal hasta bueno en el resto (más convencional) del examen. Planteamiento: una de las cuestiones propuestas en el examen consistía en hacer de referee de un artículo real. Seguir leyendo

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