Sorpresas en las sumas infinitas (II): Arquímedes, Oresme, Madhava.

Todas las familias felices se parecen; las familias infelices lo son cada una a su manera

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Lev Tolstói, en Anna Karénina

Fue en el S. XVII, con la gestación y el nacimiento del análisis  infinitesimal, el actual cálculo diferencial e integral, cuando las series, —de potencias, que se reducen a series numéricas cuando se da un valor numérico a la variable— comenzaron a ser un objeto ubicuo en las matemáticas occidentales. Pero antes de esas fechas habían sido varios los matemáticos preocupados por las sumas infinitas. Resumimos en este post lo que hasta entonces se aprendió. Que consiste esencialmente en reconocer lo equivocado de algunas ideas ingenuas sobre esta cuestión.

Una primera idea errónea, —que unida a la confusión entre el infinito actual y el infinito potencial conduce a las varias paradojas de Zenón—, consiste en creer que si una suma consta de un número infinito de sumandos, su valor no puede ser finito. Esto es cierto en muchos casos. Parece claro que la serie 1+1+1+1+1+1+… no tiene un valor finito como suma. Tampoco lo tiene la 1+2+3+4+5+6+ … (aunque sobre ambos ejemplos volveremos en otros posts).

Pero hay algunas series infinitas en las que esa afirmación no es cierta. Con seguridad Arquímedes (y probablemente otros) ya habían visto claro durante la antigüedad que  un número infinito de sumandos es compatible con un valor finito para la suma. En otras palabras, la presencia de infinitos sumandos no implica como consecuencia inevitable que la suma tenga que tener un valor infinito.

Un poco al margen, conviene apreciar que en el párrafo anterior los dos usos de infinito se refieren a contextos sutilmente diferentes. En ‘infinitos sumandos’ el infinito es el de los números naturales, cada uno de los cuales, por grande que sea, tiene un único sucesor bien definido: 2 sucede a 1, 5231 sucede a 523o, 47345234 sucede a 47345233 y así ad infinitum. En ‘valor infinito’ el infinito se refiere a los números reales. Cada número real tiene números mayores que él, pero no un sucesor único. En ambos casos infinito puede verse como una abreviatura de ‘mayor que cualquier numero natural o real prefijado, por grande que éste sea’; este infinito es un símbolo, no un número natural ni un número real.

Esa idea es la primera que se debe asimilar sobre las series. En menos de la mitad de 140 caracteres:

‘es posible que una suma de infinitos sumandos tenga un valor finito’.

Por ejemplo, la serie 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + …, en la que cada término es la mitad del anterior, tiene un número infinito de sumandos pero la suma total es finita y vale 2.

Veamos una demostración ‘geométrica’ de dicho resultado que no sería anacrónica en la época clásica. Tómese un intervalo de una recta de longitud 2 y divídase en dos mitades iguales (de la misma longitud), que denominaremos izquierda y derecha. Se mantiene la mitad izquierda y la mitad derecha se subdivide en dos mitades iguales. Se mantiene la mitad izquierda y la mitad derecha se subdivide en dos mitades iguales …..  y se procede así indefinidamente. El intervalo original queda dividido en infinitos intervalos disjuntos, las que fueron las mitades izquierdas de cada etapa, cuyas longitudes son respectivamente 1, 1/2,  1/4,  1/8,  1/16, … . Como la longitud del intervalo inicial era 2, la suma de todas estas longitudes debe ser igual a la longitud del intervalo completo, lo que acaba la demostración. (Se trata de una progresión geométrica y su suma puede obtenerse usando álgebra de la manera habitual, llegando desde luego al mismo resultado).

Esta serie pertenece a la clase de las llamadas series geométricas, en las que cada término se obtiene del anterior multiplicando por una constante, llamada razón de la progresión; tales series tienen suma finita cuando la razón es (en valor absoluto) menor que 1; ésto ocurre en el ejemplo que nos ocupa, donde esa constante vale 1/2. Arquímedes usó estas series en su famosa determinación del área de un segmento de parábola, igual a 4/3 del área del triángulo que tiene la misma ‘base’ y ‘altura’ que el segmento de parábola, resultado que Arquímedes obtuvo aplicando su método de exhausción (o de agotamiento) que constituye un precedente histórico de la integración.

Desde luego, la posibilidad de que una suma de infinitos sumandos tenga un valor finito solo puede ocurrir si a la larga los sumandos son (en valor absoluto) decrecientes hacia 0. Por ejemplo, cualquier suma de infinitos términos positivos y que a la larga no sean decrecientes solo puede conducir a un valor infinito (esto es, mayor que cualquier valor prefijado), como ocurre en los dos ejemplos  1+1+1+1+1+1+ … ó 1+2+3+4+5+6+ … .

Pasemos a la segunda idea importante. En la serie geométrica, que sabemos tiene suma finita, los términos son efectivamente decrecientes. Sin embargo, el mero hecho de que los términos sean decrecientes no basta para que la suma sea finita. En el S. XIV Nicolas de Oresme, un auténtico polímata  y uno de los pensadores más originales de ese siglo en Europa: filósofo, matemático, astrónomo militantemente opuesto a la astrología, economista, traductor, y obispo al final de su vida, demostró por primera vez de manera rigurosa (para los cánones de la época) que

‘una suma de infinitos términos positivos y decrecientes hacia 0 puede tener un valor infinito’.

El ejemplo estudiado por Oresme es la suma 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + …. de los inversos de los números naturales, que actualmente se conoce como serie armónica. Oresme dió alrededor de 1350 un precioso argumento que muestra que las sumas parciales (las que resultan tomando un número finito de términos, desde 1 hasta 1/N) de esa serie, cuando se toman más y más términos pueden exceder cualquier valor prefijado de antemano, por enorme que éste sea. Lo que significa que cuando se considera la suma de infinitos términos 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + …. el resultado tiene que ser mayor que cualquier valor finito. Con el símbolo ∞ (que, recordemos, no es un número, y que en el S. XIV aún no estaba disponible), se resume el resultado de Oresme en el lenguaje actual diciendo

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + …. = ∞

Este hecho sigue sorprendiendo a los estudiantes de análisis matemático la primera vez que se encuentran con él: acumulando cantidades que son cada vez más y más pequeñas, se puede sobrepasar cualquier valor prefijado, aunque sea arbitrariamente grande. Yo, desde luego, aun recuerdo la sorpresa que me produjo. Para los matemáticos profesionales es fácil olvidar aquella sorpresa, sepultada tras la familiaridad con el resultado.

La demostración que dio Oresme se considera una de las joyas de la matemática medieval occidental.  Está basada en la idea de que si en una suma un sumando se reemplaza por un valor menor, la suma total disminuye. Si en la serie armónica reemplazamos 1/3 por 1/4, cada uno de los sumandos 1/5, 1/6, 1/7  por 1/8, cada uno de 1/9, 1/10, …. 1/15  por 1/16 y así sucesivamente usando los inversos de las potencias de 2 como jalones en la sustitución, todos los reemplazos son por un valor menor que el original, con lo cual la suma total de la serie reemplazada debe también ser menor que la de la original. Pero tras el reemplazo la suma contiene un grupo de dos sumandos 1/4, que conjuntamente valen 1/2, un grupo de cuatro sumandos 1/8, que conjuntamente valen 1/2, un grupo de ocho sumandos 1/16 que conjuntamente también valen 1/2 y así sucesivamente. Con ello resulta evidente que la suma de la serie reemplazada vale 1 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + …., y ahora es manifiesto que al tomar suficiente número de términos dicha suma acaba superando cualquier valor prefijado. En cuanto a la serie armónica, que era objeto de nuestro interés, debe tener una suma mayor que la de la reemplazada, que a su vez acabamos de demostrar que es mayor que cualquier valor dado.  Por lo tanto la ‘suma’ de la serie armónica sobrepasa cualquier valor prefijado  de antemano, por grande que éste sea.

Esta auténtica joya permaneció ignorada hasta que trescientos años más tarde, a mediados del  S. XVII, Pietro Mengoli y Johann y Jacob Bernoulli redescubrieron esta propiedad de la serie armónica, demostrando de otras maneras el resultado al que ya Oresme había llegado (creo que independientemente del texto de Oresme, que por entonces era desconocido, aunque no he encontrado ninguna información concreta sobre este punto).

Un tercer ejemplo intrigante y bastante menos conocido es el de la serie de Madhava. Madhava of Sangamagrama (c. 1350 – c. 1425), fue el fundador de la escuela de astronomía y matemáticas de Kerala, en la India. A juzgar por los escritos conservados de los miembros de la escuela, parece claro que a finales del S. XIV estos matemáticos indios se enfrentaban con el infinito de manera mucho más desinhibida que los occidentales, y que su conocimiento de las ideas básicas sobre las sumas infinitas y sobre los ritmos de variación era mucho más profundo que en Europa, en donde desde Oresme hubieron de pasar otros trescientos años hasta que ese conocimiento comenzó a abrirse paso. Pero esto nos llevaría a hablar de ciertas resistencias subterráneas que en Europa encontró el advenimiento del cálculo infinitesimal por motivos religiosos y políticos, otra historia interesante de la que habrá que hablar en otra ocasión.

Entre otros resultados notables, esencialmente equivalentes a las series de potencias para las funciones trigonométricas seno y coseno (que en Occidente se deben a Gregory y a Newton, en la segunda mitad del S. XVII), Madhava dió (en torno a 1400 !!) la siguiente serie numérica

1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + 1/9 – 1/11 + …. = π/4

En muchos libros de texto esa serie aún se atribuye a Gregory y a Leibniz, en la década de los 1670. Pero es incuestionable la evidencia de que bastante antes algún miembro de la escuela de Kerala, posiblemente el propio Madhava, ya la había encontrado.

Si olvidamos el origen de esa relación, y la vemos como una serie numérica aislada de su contexto (la serie de potencias del arco tangente), la aparición de π en la suma es sin duda sorprendente, ya que los términos dependen solo de los números naturales. Es el primer ejemplo que encontramos en nuestro viaje virtual de una serie alternada, en la que los términos son alternativamente positivos y negativos. Y puede comprobarse que al tomar más y más términos en las sumas parciales, éstas se aproximan indefinidamente a un cierto valor ‘límite’. Basta notar que en valor absoluto los términos son decrecientes de manera monótona hacia 0, y usando un esquema de visualización con segmentos como el de la serie geométrica, el segmento que corresponde a cada nuevo término es de menor longitud que el anterior y debido a los signos alternados está completamente contenido en el anterior las sumas parciales . Así las sumas parciales se representan por los extremos de una sucesión de intervalos encajonados y de amplitud decreciente, lo que (rigurosamente, para la época) demuestra ‘geométricamente’ que estas sumas parciales se aproximan indefinidamente a un cierto valor.

Por supuesto, en nuestro lenguaje moderno diríamos que la sucesión de sumas parciales tienden a cierto límite y el argumento geométrico anterior es simplemente el criterio de convergencia de Leibniz para las series alternadas, que aparentemente ya habían comprendido en la escuela de Kerala.

Estos tres ejemplos, que uno debe tener en mente al explorar este campo, pueden verse como los ejemplos prototípicos que exhiben una primera dicotomía fundamental, clasificándo las series en convergentes y divergentes. Me limito aquí a una descripción básicamente verbal (inevitablemente algo imprecisa), en beneficio de los lectores ajenos a la epsilóntica, el lenguaje preciso del análisis matemático actual, con su artillería de ε y δ.

Las series en las que las sumas parciales de los primeros N sumandos (que son sumas finitas) se aproximan a un valor límite cuando N se hace más y más grande,  se denominan series convergentes. Ejemplos: la serie geométrica 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + … y  la serie de Madhava 1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + 1/9 – 1/11 + …. .

Naturalmente, hay muchas series en las cuales al tomar más y más sumandos, el valor resultante de las sumas parciales crece indefinidamente con N y no se aproxima a ningún valor numérico límite. Esto es lo que, según hemos visto antes, ocurre en la serie armónica. También en la serie 1 + 1+ 1+ 1+ 1+ 1 + … cuyas sumas parciales forman la sucesión 1, 2, 3, 4, 5, 6, …. . También puede ocurrir que las sumas parciales tengan caracter oscilante (como en la serie 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + …, cuyas sumas parciales son 1, 0, 1, 0, 1, 0, …). Hay otras maneras en las que puede ocurrir que al tomar más y más sumandos en consideración las sumas parciales no se aproximen a ningún límite. Genéricamente y en conjunto a todas las series no convergentes se las califica como divergentes. La serie armónica, la serie 1 + 1+ 1+ 1+ 1+ 1 + … y la serie 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + … son las tres divergentes.

¿Sabría el lector concluir cual es el carácter de las dos series que damos a continuación?:

A) La serie de los inversos de los números impares, 1 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/9 + 1/11 + …. que resulta de tomar  los términos de la serie de Madhava con el mismo signo positivo, en vez de con signos alternados.

B) La serie ‘armónica alternada’, 1 – 1/2 + 1/3 – 1/4 + 1/5 – 1/6 + 1/7 – 1/8 + …. que resulta tomando los términos de la armónica con signos alternados.

El actual nombre de serie convergente se debe a Gregory, en 1668, y el de serie divergente es (al parecer) de N. Bernoulli en 1713. Arquímedes, Oresme, Madhava, …, entendían con indudable seguridad lo que era una serie convergente y una serie no convergente, aunque no dispusieran aún del nombre.

Con vistas a los siguientes posts, conviene tener en mente que

‘las series convergentes son un subconjunto bastante pequeño del conjunto de todas las posibles series’.

En los cursos ordinarios de análisis matemático se suelen tratar solamente las series convergentes, cuyas propiedades son más cercanas a nuestras intuiciones ordinarias sobre las sumas, aunque no están exentas tampoco de ciertas sorpresas como veremos en el post siguiente. Pero en el horizonte quedan todas las series que no son convergentes, que son la gran mayoría y que en general se eluden en los cursos introductorios. Lo que no significa que no se puedan estudiar, ni que de su estudio surjan nuevas ideas. Y es que como siempre ocurre, el mundo no se acaba en lo que se cuenta en las clases. Al contrario: casi siempre allí es donde empieza. Y ese más allá siempre es interesante; no debemos perderlo de vista.

Ayudará a estudiar las series en general tener muy presente que la denominación de serie divergente es un auténtico cajón de sastre en el que caben series completamente heterogéneas. Y que al estudiarlas la esperanza de encontrar propiedades que sean válidas para todas ellas es, quizás, demasiado ingenua.  Parafraseando ahora a Tolstói, podríamos resumir esta idea como:

‘mientras que todas las series convergentes se comportan de manera parecida, las divergentes lo hacen cada una a su manera’.

PS. Debo a MAFS el conocimiento de la escuela de Kerala, a través de su recomendación del excelente libro The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics,  de George Gheverghese Joseph. 
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“A la una yo nací, ….”

A la una yo nací / a las dos m’engrandecí /
a las tres tomí amante / y a las cuatro me cazí.

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Son los cuatro primeros versos de una canción sefardí. No he encontrado las interpretaciones de Joaquín Díaz ni de Sofía Noel, y enlazo aquí la excelente versión de Françoise Atlan.

Guiando la evolución del Universo y los avatares personales, a lo largo de los segundos, las horas, los días, los años o los eones: el tiempo. A partir de hoy, como hace un año, como hace dos años,  como hace tres años, hablaremos de Relatividad y de Gravitación, uno de los más impresionantes logros culturales humanos y nuestra mejor teoría sobre el tiempo.

Siempre el tiempo, ese gran escultor, ese soberano único para gobernarlos a todos, para encontrarlos, para atraerlos y arrastrarlos al ucronos, donde el tiempo ya no transcurre.

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¿Qué sorpresas esconden las sumas infinitas? I

No conozco a la mitad de ustedes ni la mitad de lo que me gustaría; y menos de la mitad de ustedes me gusta la mitad de lo que se merecen.

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Bilbo Bolsón, en La Comunidad del Anillo, de J. R. Tolkien. Traducción tomada de aquí.

A muy grandes rasgos, hay dos tipos de sumas infinitas, distinguidas por cómo están ‘etiquetados’ los sumandos: aquellas en las que se suma un conjunto infinito pero discreto de números, y aquellas en las que se ‘suma‘ sobre un conjunto continuo.

A las primeras se las llama en matemáticas series, y a las segundas integrales. Un indicio de que la integración es un descendiente evolucionado de la suma lo sugiere el símbolo propuesto por Leibniz: una S alargada, con el objetivo de transmitir la idea de S(umación), que se ha estilizado al actual símbolo ∫.  Además de esa evidencia procedente de la arqueología notacional, hay otra etimológica: integración proviene del latín integratio, cuyo sentido es constituir un todo agrupando sus partes. Y tampoco está de más recordar que uno de los precedentes directos de lo que en el sentido moderno vemos como integración (de una función cuya integral hoy además sabemos que no es directamente ‘inmediata’ y que sigue sorprendiento a los estudiantes) aparece en relación con las matemáticas de la proyección de Mercator, unos 60 años antes del nacimiento oficial del cálculo infinitesimal. Su autor,  Edward Wright tabulaba numéricamente en 1599 la cantidad que hoy escribiríamos como ∫ sec(x) dx y describía el proceso seguido como “la adición perpetua de las secantes”. Pero ésto es otra historia, de la que habrá que hablar en otra ocasión.

Las sumas que se extienden a una secuencia infinita de sumandos se escriben convencionalmente como a1+a2+a3+…. . El infinito que etiqueta a los sumandos en una expresión tal es un infinito discreto, numerable. Comparadas con las integrales, o ‘sumas continuas‘, esas sumas infinitas discretas o series parecen una construcción relativamente simple y podríamos quizás esperar que sus propiedades fueran semejantes a las de las sumas ordinarias. Pero esta esperanza es ciertamente demasiado ingenua.

Una de las primeras lecciones que se aprenden al estudiar cualquier problema en donde intervenga el infinito es que se trata de un terreno sumamente resbaladizo, en el que muchas de nuestras intuiciones ordinarias más arraigadas fallan de manera estrepitosa. No estoy hablando ahora de los varios tipos de infinito que aparecen en matemáticas. Ni de la distinción entre infinito actual e infinito potencial (que no obstante subyace a la discusión que vamos a seguir). Sino del hecho de que tras las ‘sumas’ de muchas series, a pesar de esa apariencia inocente, se esconden unas cuantas sorpresas, algunas auténticamente llamativas. Como veremos, en este campo pueden darse ejemplos con enunciado que se comprende muy fácilmente, pero cuyos resultados son de intuición nada obvia. De las sorpresas con las series vamos a tratar en esta serie (serie 🙂 ) de posts.

El que gracias a Internet es el ejemplo más conocido de estas propiedades nada intuitivas es el de la serie 1+2+3+4+5+6+….  El sorprendente valor que en ciertas circunstancias (dependiendo del contexto) debe asignarse a esa serie —y a otras relacionadas— forma parte del kit de herramientas de los practicantes de la teoría cuántica de campos desde hace más de 60 años, cuando H.B.G Casimir empleó dichos valores en el cálculo de lo que hoy conocemos como efecto Casimir (que está verificado experimentalmente). Volviendo al ejemplo de la serie 1+2+3+4+5+6+…. , en un video publicado en Enero de 2014 en el canal ‘Numberphile’  y que ha tenido gran repercusión en Internet, Tony Padilla y Ed Copeland, dos físicos de la universidad de Nottingham,  ‘demuestran’ que la ‘suma’ de esa serie es igual a -1/12.

Este resultado aparentemente desafía a cualquier intento de entendimiento, y de hecho, el video tiene un cierto sentido provocador. Sospecho que algunas personas, tras haberlo visto, y tras reflexionar sobre las manipulaciones que se realizan sobre varias series para llegar a la conclusión, sienten que las preguntas se agolpan: ¿Es cierto que se trata de un resultado matemático serio? ¿No está claro que esa ‘suma’ debiera ser necesariamente ∞? Y si eso es así, ¿acaso que la ‘suma’ sea  ∞ es compatible de algún modo con que sea  -1/12? Procediendo de manera superficialmente análoga, parece posible obtener otros valores diferentes para las series que se discuten en el video, lo que lleva a la pregunta ¿están justificadas las  manipulaciones que para calcular dichas series se llevan a cabo en el video? O, siendo algo más benevolente y menos ambicioso, para las series concretas sobre las que esas manipulaciones se efectúan,  ¿son éstas justificables?

Y finalmente, ¿cómo entender todo esto, si es posible? Quizás debemos concluir que, aquí sí, estaría justificado pensar aquello de ‘it is very difficult, todo esto….’.

Hace tres cursos dediqué la última clase de la asignatura Mecánica Cuántica Avanzada (que también era la última clase de la carrera (!) para aquel grupo de estudiantes) a presentar, de manera informal y sobre todo para excitar la curiosidad, un breve resumen de este asunto, que aparece en Física en relación con el efecto Casimir. En aquel momento el video de Padilla y Copeland, que llevaba publicado poco tiempo había tenido dos millones de visitas; ahora mismo, se acerca a los 5 millones. Prometí escribir unas notas que desarrollaran lo que vimos en aquella última clase, de manera extensa y con justificaciones más detalladas y completas de las que conté entonces y que sirvieran para precisar los argumentos del video (que siendo correcto en sus resultados presenta algunos  pasos a medio cocinar). Y mi intención fué escribir en el blog sobre el tema en el que varios estudiantes estaban muy interesados.

Hace cosa de un año uno de aquellos estudiantes me preguntó por esas notas, cuya redacción había dejado aparcada estando ya bastante avanzada. Eso, unido al interés de otros colegas, que me convencieron que hay un desconocimiento bastante general sobre estos asuntos, me animó a acabarlas y desde hace algún tiempo están disponibles en el blog.

blog1701_notassumaspotenciasseriesdivergentesp1bEstas notas arrancan del cálculo de las sumas de potencias, el que es ‘quizás el problema más bello de toda la Aritmética’, Fermat dixit, exponiendo su larga historia, y exploran las muchas ramificaciones extremadamente interesantes de ese problema, como los números y los polinomios de Bernoulli y sobre todo la fórmula de Euler-MacLaurin, llegando hasta la discutir la sumación de series divergentes y, ¿cómo no? la función zeta de Riemann, que es el contexto riguroso en el que las afirmaciones como 1+2+3+4+5+6+… = -1/12  suelen presentarse. En total son 126 páginas, que, espero, puedan ser útiles a quienes tengan   interés tal en el problema que les lleve a sentir sed y hambre de detalles. (He pretendido al escribirlas que sean legibles para cualquier estudiante que haya cursado el análisis matemático real ordinario, sin necesidad de ninguna otra preparación específica. Sugerencias y comentarios bienvenidos).

La entrada en el blog ha tenido otra historia. En varias ocasiones he comenzado  borradores que he ido abandonando al no encontrar el tono ni el nivel adecuado. El enfoque más o menos histórico, que es el que siguen las notas, tiene algunas ventajas. Pero también tiene muchos inconvenientes, si de lo que se trata es de enunciar de manera breve y concreta el sentido que pueda darse a las ‘sumas’ de series divergentes, un asunto que a lo largo de casi dos siglos, digamos entre 1700 y 1900, estuvo marcado por bastante confusión (disipada por completo entre los matemáticos desde hace cosa de un siglo ya, hay que decir abiertamente).

Finalmente, he optado por fragmentar esta entrada en varias partes, con la intención de ir introduciendo uno a uno los detalles chocantes del problema, llegando por un camino pausado y relativamente corto —pero no infinitesimalmente corto, recuérdese que no hay camino real para la geometría— al entendimiento actual que puede darse a este tipo de resultados.

Para los impacientes, adelanto ya las principales respuestas en relación con la serie 1+2+3+4+5+6+…  y con el video de Numberphile. Sí, la relación 1+2+3+4+5+6+…  = -1/12 es un resultado matemático serio. Y aunque sea sorprendente, éste resultado no está en contradicción con la respuesta de sentido común 1+2+3+4+5+6 … = ∞. Imagino la incredulidad de los lectores. ¿Cómo que es posible (?) que las dos igualdades 1+2+3+4+5+6+ … = ∞ y 1+2+3+4+5+6+ … = -1/12 no estén en contradicción? Bueno, nadie dijo que todo esto fuera fácil.

Las exposiciones del asunto que uno encuentra en Internet —no hablo de las que son directamente lamentables— se encuadran en dos tipos.

Unas realizan ciertas manipulaciones que son  justificables, pero en su mayoría lo hacen sin entretenerse en decirlo siquiera, ni menos en dar ninguna justificación, lo que en buena parte es aplicable al video de Padilla y Copeland y desde mi punto de vista es una oportunidad perdida, pues no se alerta al lector sobre el hecho básico: hay muchas otras manipulaciones parecidas que sabemos decididamente que son no justificables.

Las otras plantean el asunto de manera que soporta cualquier crítica (no en vano se trata de un resultado matemático correcto), pero que para la mayoría de los posibles lectores es un salto en el vacío o un pase de manos de un truco de magia.  Resumo este salto en unas líneas, que a algunos lectores probablemente no les digan nada significativo, en cuyo caso pueden —ejem— saltarse el párrafo siguiente sin muchos reparos.

La serie 1+2+3+4+5+6+ … es, formalmente, el valor en s=-1 de una cierta función ζ(s), la famosa función zeta de Riemann, definida en todo el plano complejo por un proceso de prolongación analítica a partir de una función que originalmente está dada por la serie 1-s + 2-s + 3-s + 4-s + 5-s + 6-s+ … , serie que conduce a una función que solamente está definida en el semiplano Re(s)>1 del plano complejo.  Cuando se efectúa la prolongación analítica de esa función a todo el plano complejo y se evalúa esa prolongación ζ en el punto s=-1 (que está fuera de la región en la que la función estaba originalmente definida) se encuentra el valor ζ(-1)=-1/12. Pero como se indicó antes, formalmente ζ(-1) = 1+2+3+4+5+6+ … Demostración concluída, amigos.

Cuando el video original de Padilla y Copeland comenzó a recibir críticas (algunas ciertamente justificadas), publicaron una segunda parte en la que se desarrollan los puntos salientes  del esquema que he resumido en el párrafo anterior.

Teniendo en cuenta que la prolongación analítica es un proceso nada intuitivo, que forma parte de lo que podríamos llamar análisis complejo moderadamente avanzado, es inevitable preguntarse que es lo que ese pase de manos consigue realmente en la mayor parte de los casos. ¿Ayudar a quienes quieren entender el resultado pero carecen de la formación matemática necesaria para acercarse a la función zeta? O, por el contrario, ¿contribuir a la mistificación popular que presenta las matemáticas como ‘incomprensibles’, o incluso, lo que es mucho peor, como arbitrarias? Un rato leyendo los comentarios en casi cualquiera de los sitios de internet en que se presenta este problema resulta ser ilustrativo sobre esta alternativa.

Afortunadamente, es posible dar un enfoque de este problema que emplea solamente el análisis real, que puede ser comprendido y apreciado de manera bastante más elemental y que arroja luz sobre los valores sorprendentes que se pueden asignar como ‘suma’ a las series divergentes en general, no solo a la serie 1 + 2 + 3 + 4 + ….. Yo he aprendido este enfoque, que quizás no es aún muy conocido, en un magnífico post en el blog de Terence Tao. Mi objetivo en esta serie de posts es dar los detalles imprescindibles para poder apreciar esta cuestión desde ese punto de vista elemental, eludiendo el uso de las técnicas matemáticas avanzadas que se presuponen al usar la función zeta de Riemann. En las notas extensas este enfoque (basado en la idea de ‘suma suavizada’) está expuesto con bastante detalle, en paralelo con los elementos básicos del enfoque que usa la función zeta de Riemann.

Así que en los posts que formarán parte de esta serie (tiempo mediante)  me limitaré a enunciar y comentar, parafraseando a Bilbo Bolsón, “solo la mitad de los detalles con la mitad de la profundidad que los muy interesados merecerían, que seguramente será más de la mitad de lo que les gustaría leer a la mitad de quienes van a hacerlo”.

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Michael Berry, sobre la astronomía de ondas gravitatorias (en 1976)

BerryPrinciplesCosmologyGravitationMientras buscaba recientemente documentación para otros asuntos, he vuelto a consultar el libro Principles of Cosmology and Gravitation, de Michael V. Berry.  A pesar de que este libro cumple  ahora 40 años, creo que no ha perdido su interés. Y como una introducción plena de sentido físico a la teoría de Einstein de la gravedad me sigue pareciendo extremadamente aconsejable en su brevedad y visión. De estilo muy conciso y limitándose a lo realmente básico, llega bastante lejos en la teoría de Einstein de la gravedad —que no ha cambiado en esos 40 años— y presenta con gran claridad e incluso, en algunos casos, anticipación, las cuestiones básicas de la Cosmología, por más que nuestra imagen de la Cosmología haya sufrido sustanciales mejoras desde 1976. Como muestra de tal anticipación, (y también para sacar al blog de la sequía de los últimos meses), no me resisto a reproducir aquí este párrafo que ahora, 40 años más tarde de haber sido escrito, resulta visionario: Seguir leyendo

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Tan sólo la poesía y las matemáticas

En un mundo de luz no hay ni puntos del espacio ni momentos de tiempo; los seres cuyo tejido sea la luz vivirán en un nodonde y nocuando [nowhere and nowhen]; tan solo la poesía y las matemáticas son capaces de hablar de manera significativa sobre estas cosas. Un punto en C P3 es la historia de la vida completa de un solo fotón, —el “suceso” más elemental que puede ocurrir a la luz.

Yu. I. Manin, en el Capítulo 4, Space-time as a physical system, de Mathematics and Physics 1981. Reimpreso en Mathematics as Metaphor: Selected Essays of Yuri I. Manin, AMS, 2007.

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Umberto Eco, S·T·T·L

Stat rosa pristina nomine, Nomina nuda tenemus

Umberto, Sit Tibi Terra Levis

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“And know the place for the first time”

Sólo a través del tiempo el tiempo es conquistado

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T.S.Eliot, Cuatro Cuartetos, Burnt Norton II

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Este segundo cuatrimestre, comenzando el 15 de Febrero —hoy, en el momento de publicar esta entrada—, voy a impartir la Asignatura Gravitación y Cosmología. Su eje central es la Relatividad de Einstein, como teoría del Espacio-Tiempo. Y su centro es el análisis físico del Tiempo, el auténtico corazón de la Relatividad.

Sin relación aparente, asistí el lunes pasado a una conferencia de Margarita Salas, quien incluyó para acabar una cita de T.S.Eliot, Nobel de Literatura en 1948. La cita puede verse como una referencia poética a una de las enseñanzas básicas de la ciencia: sólo podremos decir que conocemos un asunto (por vez primera) al final de un largo proceso de exploración, que habrá comenzado en el mismo sitio pero al que volveremos ‘más arriba’, y que a su vez será el comienzo del siguiente nivel: la metáfora de la escalera de caracol.  En ese contexto yo había empleado estos versos para encabezar una charla hace dos veranos:

We shall not cease from exploration
And the end of all our exploring
Will be to arrive where we started
And know the place for the first time.

La mención hecha por Margarita Salas volvió a traer a mi mente este fragmento, y he dedicado un poco de tiempo Seguir leyendo

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(Casi) un siglo de Cosmología III.

…. (continúa de aquí) En la entrada anterior de la serie estábamos en las décadas de los 1960 y 1970, en las que tiene lugar…

El inicio de la edad de oro de la Astrofísica y Cosmología

Pues en esas décadas las mejoras en la tecnología comienzan a permitir observaciones y medidas de cada vez mayor precisión, lo que modifica el centro de gravedad (valga la redundancia) de los trabajos en Relatividad General y en Cosmología. Hasta entonces muchas observaciones no alcanzaban demasiada precisión (no podían alcanzarla), y aunque había bastantes predicciones teóricas desarrolladas, la posibilidad de su confirmación mediante observaciones finas estaba realmente bloqueada. Pero a partir de entonces la situación se invierte: tenemos cada vez más y mejores observaciones con una precisión también cada vez mayor …. lo que que sin excepción va consolidando la imagen del Universo basada en la Cosmología Relativista: un Universo en expansión, descrito con muy buena aproximación por las ecuaciones del modelo de Friedman-Lemaître-Robertson-Walker, FLRW.

Expansión ¿acelerada?

El año 1998 fue testigo de la última (hasta ahora) sacudida en nuestra imagen del mundo. Que el Universo se encuentra en expansión está fuera de toda duda. Hasta 1998 se creía Seguir leyendo

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Charla “La teoría de la gravedad de Einstein cumple 100 años”

Y, dentro de esta iniciativa de Cuentos Cuánticos de publicar en el momento del centenario posts sobre la Relatividad General, además del breve artículo periodístico del post anterior y para quienes tengan más tiempo, suficiente interés, o ambas cosas, enlazo aquí el audio (gracias, Inés y Joana) y la presentación de la charla que dí el pasado 19 de Noviembre en el Museo de la Ciencia de Valladolid, dentro de la Semana de la Ciencia.

El audio no incluye el turno de preguntas y comentarios, que duró otros buenos tres cuartos de hora.

Audio e imágenes no están integrados; van por separado. Si quiere seguir la charla, arranque el audio y después, haciendo click sobre la imagen de la presentación se abre el visor de .pdf del navegador, desde el que se puede seguir la presentación página a página mientras se escucha el audio.  No aparecen, claro, las indicaciones con el puntero laser en la charla en vivo, y depende del oyente escoger acertadamente cuando pasar a la transparencia siguiente.

Hay varios videos en la presentación, con su botón de arranque que hay que pulsar en su momento. Es posible que desde el visor de .pdf de algunos navegadores esta funcionalidad no esté disponible y los videos no arranquen; esta dificultad debe(ría) desaparecer descargando la presentación, lo que también se puede hacer desde el visor de .pdf del navegador, y leyendola desde allí con Acrobat o Acrobat Reader.

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En el centenario de la Relatividad General

El texto a continuación es un artículo publicado el viernes 13 de Noviembre de 2015 en el Suplemento ‘La Sombra del Ciprés‘ del Norte de Castilla, que esa fecha estuvo dedicado a la Ciencia. Reproduciéndolo aquí (gracias Angélica) me uno a la propuesta de Cuentos Cuánticos de celebrar el centenario de las ecuaciones del campo gravitatorio, que se cumple precisamente hoy,  publicando entradas sobre el tema de forma simultánea en los blogs que se sumen a la iniciativa.
Dentro de la misma conmemoración, para quienes dispongan de más tiempo o tengan especial interés, en el siguiente post he colgado una charla sobre el tema que dí en el Museo de la Ciencia de Valladolid el pasado día 19 de Noviembre dentro de la Semana de la Ciencia; en el post están el audio y la propia presentación.

El 25 de Noviembre de 2015 se cumplen cien años de la sesión de la Academia Prusiana de Ciencias en la que Albert Einstein presentó la versión final de su teoría de la gravedad, conocida como Relatividad General, que hoy es nuestra mejor teoría de esta interacción que gobierna el Universo.

Disponíamos antes de la teoría de la gravedad de Newton. Que es bastante buena. Con ella explicamos las mareas y los movimientos del sistema Solar. Predijimos Neptuno. Guiamos naves espaciales a la Luna o Marte. Sobrevolamos todos los planetas y Plutón. Y entendimos que estar en órbita es estar en caída libre ‘eternamente’: La Luna lo está alrededor de la Tierra, cayendo permanentemente, aunque esa caída Seguir leyendo

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(Casi) un siglo de Cosmología II

(continúa de aquí) …. Pasemos pues revista a los momentos destacados en el desarrollo de nuestra imagen actual del Universo.

Algo falta: la materia oscura

Fritz Zwicky

Fritz Zwicky

En los 1930, Fritz Zwicky, un precursor brillante y  algo atrabiliario, nota que observaciones cuidadosas en cúmulos galácticos (en concreto el cúmulo de Coma) analizadas aplicando el teorema del virial sugieren que la masa responsable de los movimientos observados es bastante mayor de la que se ‘ve’ ópticamente. Zwicky propone que una explicación para tal discrepancia podría ser una nueva y desconocida  forma de materia que no interaccione con la luz pero que cause y sienta efectos gravitatorios, y acuña para esta ‘materia que falta’ el nuevo término ‘materia oscura’.

No se trata de una hipótesis tan ad-hoc como pudiera parecer: la esencia de la relatividad general es que cualquier cosa que tenga energía produce efectos gravitatorios. Si tan solo conocemos la materia que emite y absorbe luz, eso se debe precisamente a que la práctica totalidad de nuestra información sobre el mundo nos llega a través de la luz. Pero son perfectamente imaginables otros tipos de materia que no emitan ni absorban luz. Con lo que no podríamos ‘verlos’. Aunque siempre que esta materia ‘oscura’ tenga energía (lo que parece mucho más inevitable), Seguir leyendo

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(Casi) un siglo de Cosmología I

Este post (que publicaré en tres partes) es el texto, con mínimas revisiones y alguna pequeña adición, de un artículo publicado en el número 21 de ALKAID, con el amable permiso de su directora. He reemplazado las imágenes del artículo original por fotografías (de dominio público) de los personajes más destacados en esta historia.

ALKAID es una revista cultural independiente. Cubre múltiples facetas del conocimiento, “desde la Lingüistica hasta la Astronomía”: divulgación científica, ensayo, historia, arqueología, medio ambiente, poesía, arte, wargames, montaña, etc. Si no la conocen, probablemente no se imaginen la calidad y el cuidado que se percibe en cada uno de su detalles: no solo el papel, el formato, la maquetación y la impresión, sino también la enorme variedad, amplitud e interés de los temas que trata. Así que se la recomiendo sin ninguna reserva. Merece la pena.

Stonehenge, nocturno

Stonehenge Nocturno ca. 2800-1500 B.C., Wiltshire, England, UK — Stonehenge at Night — Image by © M. Dillon/CORBIS

La historia de la Astronomía es una historia de horizontes en retirada.                                                                                                 Edwin Hubble

La observación del cielo, rastreable desde hace varios miles de años, es la primera empresa colectiva humana que sin duda contiene el germen de la ciencia. En ella surgen preguntas: ¿qué sabemos sobre el Universo?, ¿cuándo y cómo hemos comenzado a saberlo?, ¿cómo empezó el Universo? o ¿cómo evolucionó hasta el estado que vemos hoy? En la breve historia de nuestra búsqueda de respuestas veremos que esta empresa se describe bien en la frase de Hubble que encabeza el artículo: Seguir leyendo

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Elogio del número seis

No todos los números tienen el mismo carácter. “Seis” es un número interesante. Algunos otros números también lo son. Pero los números bastante interesantes son pocos: 5, 8, 24, 42, ….

A tu alcance hay seis direcciones cardinales, en las que puedes moverte: Norte / Sur, Este / Oeste,  Arriba / Abajo. Quizás creías que eran sólo cuatro, pero también puedes subir y bajar.

Con solo hexágonos puedes teselar el plano: lo hacen también las abejas. Y los copos de nieve tienen una variada simetría de orden seis.

Cristales hexagonales en copos de hielo. Fuente:  Bentley, W. A. Snow Crystals. NY: Dover, 1962

Hay precisamente seis quarks y seis leptones, y de sus combinaciones surge toda la materia que conocemos, con su amplísimo espectro de características, incluyendo la curiosa propiedad del carbono (cuyo número atómico es seis) de formar enlaces hexagonales, una propiedad a la que tú (y todos nosotros) debemos algo 🙂 …. Seguir leyendo

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El monte del ‘cuñao’

Esta gráfica —que representa la disposición a opinar sobre cualquier tema frente al conocimiento que de tal tema se tenga— parece recoger la esencia del fenómeno ‘opinador’ tan español que inunda nuestra vida cotidiana. La ví aquí (en donde no se aplica particularmente a España, aunque estoy seguro de que en España el efecto que recoge es especialmente intenso). Y me parece tremendamente realista. Como modelo matemático del asunto, chapeau. Ya se sabe que los modelos deben ser todo lo simples que sea necesario, pero no más.

Aquí va la gráfica. Real como la vida misma.

Visto en xxx

Visto en smbc, por Zach Weinersmith

Un poco de quantum flapdoodle: Obviamente el máximo en rojo en la gráfica, denominado ‘monte estúpido’, es un resultado de la interacción de las fluctuaciones cuánticas del vacío con el campo opinahkásico (que como se sabe no es escalar como el campo de Higgs, ni espinorial como el de Dirac, ni  tensorial como el del campo gravitatorio, sino que es de naturaleza opinatorial). Esta interacción conduce a una anomalía ‘cuántica’ que no se daría en un mundo ideal en el que dichas fluctuaciones cuánticas estuvieran ausentes. Por tanto es inevitable: no hay posible apantallamiento ante tal fenómeno. Lo que es realmente una buena noticia: en el mundo ideal en el que no existiera tal anomalía, la gráfica sería una simple curva creciente (como la representada en el tramo negro) carente por completo del menor appeal. Y en esa penosa situación la vidilla opinadora en las barras de nuestros bares y en nuestros programas televisivos con tertulianos sería poco movida, aburrida y cansina.

Pero el nombre que han adjudicado a ese máximo local en la gráfica es demasiado directo, y si lo usamos aquí muchos españoles se darán por ofendidos (darse individualmente por ofendido a causa de alusiones particulares a miembros de un colectivo también parece ser otra esencia patria). Este efecto indeseado se podría evitar traduciendo por ‘Monte del cuñao‘, lo que hace referencia a esta acepción moderna y descriptiva del término (un buen ejemplo real de cuñao, aquí) que no tiene porqué ofender a nadie. Porque nadie se ve a sí mismo como tal.

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‘Teóricos’ vs. ‘Experimentales’ y otros enfrentamientos

Tiempo atrás presencié otra situación en la que se recurría al mito de la Tierra plana de modo bastante diferente al uso interesado en la película “What the bleep do we know”  al que me refería en un post anterior. Fue asistiendo como oyente a una charla dada por un científico, y cuyo público era en gran parte no científico.

Primero, un listado de obviedades ideales. La Ciencia es una empresa colectiva. Su objetivo es entender la Naturaleza. Y la naturaleza de la ciencia requiere la cooperación. Para ello se necesitan tanto ideas surgidas en las buenas cabezas —que permitan imaginar— como los resultados de los buenos experimentos u observaciones de la realidad —que permitan ver—. Pretender que se pueda avanzar apoyándose solamente en una de esas mitades es, en el mejor de los casos, iluso. Y la (buena) ciencia avanza reconociendo lo que es incorrecto y corrigiendo, cuando sea posible hacerlo, lo que necesita mejora, en un proceso que es a la vez dialéctico y simbiótico.  Teoría y experimentación u observación deben avanzar complementándose; hay ejemplos históricos en los que el papel inicial para los avances relevantes lo han tenido bien la una o las otras.

Y otra última obviedad. No soy tan ingenuo como para no ser completamente consciente de que lo anterior son las normas ‘ideales’ pero que el comportamiento de los científicos individuales o de las instituciones científicas o de las Universidades tiene un amplísimo espectro, y que el porcentaje de científicos o de profesores o de redactores de planes de estudio o de rectores o de ministros de ciencia que actúan anteponiendo otro tipo de intereses es, con suerte, el mismo que el porcentaje correspondiente en cualquier otro grupo humano (una variante, en otro cuadrante, de la constancia de la fracción \wp, Cipolla dixit). El que estos porcentajes sean lo que son parece un hecho natural inevitable Seguir leyendo

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Timeline de la Historia de la Mecánica Clásica

He preparado este Panorama Cronológico (a.k.a. Timeline) de la Mecánica Clásica con vistas a la asignatura “Mecánica Teórica” de cuya docencia me voy a encargar este curso. Su objetivo es facilitar el establecimiento de relaciones temporales significativas entre quienes más destacadamente contribuyeron (Galileo, Newton, Leibniz, Euler, Lagrange, Hamilton, Jacobi y tantos otros en la segunda fila) a cada parte de la impresionante construcción intelectual que es la Mecánica Clásica. En su excelente “The variational principles of Mechanics“, Cornelius Lanczos, un físico matemático húngaro que fué colaborador de Einstein, dice

… there is a tremendous treasure of philosophical meaning behind the great theories of Euler and Lagrange and of Hamilton and Jacobi, which […] cannot fail to be a source of the greatest intellectual enjoyment to every mathematically minded person.

La extensión temporal de la Timeline, que cubre unos 2500 años obliga a partirla en dos fragmentos, uno del S.V A.C. a 1550 cubriendo 2000 años, y el otro de 1500 a 2015. Si algún lector estima que hay alguna omisión destacada, agradeceré el aviso.

Mi propósito inicial fué incluir también una mención telegráfica a las contribuciones de cada autor, pero es claro que juntar líneas de vida, retratos y contribuciones en una sola pantalla daría un conjunto demasiado abigarrado. Así que he optado por representar solo los intervalos de la vida de los autores, con una muy vaga codificación: los nombres realmente importantes y básicos en la Mecánica Clásica como tal figuran en la parte superior, con todo un espectro de contribuciones auxiliares según se avanza hasta la parte inferior. Durante el S. XX, la teoría de sistemas dinámicos y el ‘descubrimiento’ del caos puede verse como una parte importante de la evolución de la Mecánica Clásica, desgajada parcialmente de ella a partir de Poincaré, y por ello he incluido algunos nombres importantes de ese campo. Y por otro lado, es perjudicial y además poco adecuado conceptualmente ver la Mecánica Clásica como opuesta a la Relatividad o a la Mecánica Cuántica, algunos de cuyos creadores aparecen en esta Timeline por derecho propio; Dirac desarrolló la moderna teoría de ligaduras, y Feynman dió la clave para entender realmente el mecanismo que subyace tras el principio de acción estacionaria.

En otros casos, hay varias sublineas que eventualmente comentaré y que iremos viendo en clase cuando llegue el momento. Un ejemplo: todo el mundo sabe que el espacio de fases es el objeto fundamental en la teoría de sistemas dinámicos, pero, ¿cual es el origen de la idea y del nombre de ese objeto básico? ¿Y a qué fases se refiere? Bien, pues he procurado incluir los nombres que sean necesarios para dar sentido y consistencia a ésta y a otras historias, de la que hablaremos en otra ocasión, aunque esos nombres no tuvieran contribuciones destacadas a la Mecánica como tal.

Las dos Timelines funcionan igual que las otras dos análogas que agrupan y ordenan información cronológica para el modelo estandar de las partículas elementales y para la Cosmología: pinchando en cada una de las dos miniaturas de las dos partes (S. IV A.C. a 1550 y 1500 a 2015), se deberá abrir la ventana de lectura de .pdf’s en su navegador mostrando cada timeline completa. Allí se debe ampliar la escala de visión hasta que verticalmente el fichero ocupe la pantalla completa. Luego hay que navegar por él lateralmente: el fichero está construido para verse exactamente así. Representa horizontalmente la diacronía, y verticalmente la sincronía. Cada científico está representado por su línea de vida, con una imagen centrada adosada y el nombre superpuesto.

Un panorama de este tipo ayuda a construir un contexto en el que colocar la red de ideas que forman la Mecánica Clásica y su evolución. Y como en las otras dos que he mencionado, hay detalles también aquí para entretenerse un buen rato. Disfrútenlo.

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El mito de la Tierra Plana: Los mapas y la evidencia

Desde la Antigüedad, se ha sabido que la Tierra era esférica y este conocimiento no desapareció en la Edad Media. Para completar las pinceladas que vimos en un post anterior, quiero hoy dar un rápido repaso a unos cuantos hechos que dejan poco lugar a las dudas sobre esa afirmación.

Globo DE Crates

Diagrama del Globo Terráqueo de Crates de Mallus.

El  modelo más antiguo de un globo terráqueo se debe a Crates de Mallus (S. II a.C.); Estrabón deja constancia de su diseño. De hecho, Crates era tan consciente de que el Oecumene, el mundo conocido en su época, era solamente una pequeña parte del mundo que conjeturó, por simetría y para equilibrar el conjunto, la existencia de otros tres continentes: Perioeci (al lado del oecumene), Antoeci (opuesto al oecumene) y Antipodes (opuestos por los pies). Esto se ilustra en este grabado (cuya fuente no he podido identificar) que muestra la disposición de esas cuatro partes ‘ideales’ de la esfera terrestre. Como un comentario marginal, vemos que la creencia en un mundo en que la simetría tiene un papel esencial, que hoy mantenemos bastante íntegra, Seguir leyendo

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La Tierra plana y “What the bleep do we know!?”

…. Hace 25 años, John Campbell, cuya especialidad era irritarme, me decía que con el tiempo, todas las teorías resultan ser erróneas.

Mi respuesta fue: “John, cuando la gente pensaba que la Tierra era plana, estaban equivocados. Cuando pensaban que era esférica, estaban equivocados. Pero si tú piensas que la creencia de que la Tierra es esférica es un error comparable al de creer que es plana, entonces tu punto de vista es más erróneo que los otros dos juntos”.

El fallo básico es que la gente piensa que “correcto” y “equivocado” son absolutos; que lo que no sea perfecta y completamente correcto está total e igualmente equivocado.

Sin embargo, no creo que esto sea así. Me parece que correcto y equivocado son conceptos difuminados, y en este ensayo voy a explicar porqué lo creo así.

.

The Relativity of wrong, Isaac Asimov.

No sé si ustedes conocen la película ‘documental’  “¿Y tú qué sabes?“, versión en español de “What the bleep do we know?” [WTB.., grafía original “What tHe βLεεp Dθ wΣ  (k)πow!?” o incluso “What tHe #$*! Dθ wΣ  (k)πow!?” lo que nos deja en la duda de si sus autores pretendieran homenajear debidamente al capitán Haddock].

El capitán Haddock

El capitán Haddock, ‘viendo’ una botella de borgoña, en “El cangrejo de las pinzas de oro”. En la siguiente escena intenta descorcharla, encontrando que el corcho es la cabeza de Tintin.

Yo no la conocía, Seguir leyendo

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El mito de la Tierra Plana

La mente humana parece funcionar como un dispositivo categorizador (quizás incluso, como defienden muchos estructuralistas franceses, como una máquina de dicotomizar, dividiendo el mundo sin descanso en dualidades de tipo “crudo y cocido” [naturaleza versus cultura]: macho y hembra, material y espiritual, y así sucesivamente). Este hábito de pensamiento profundamente enraizado (quizás innatamente) nos pone en dificultades específicas cuando se trata de analizar los muchos continuos que forman las partes más destacadas del mundo a nuestro alrededor.

Los continuos son raramente tan suaves y graduales en su flujo como para que no podamos especificar determinados puntos o episodios como claramente más interesantes, o más tumultuosos en sus tasas de cambio, que la inmensa mayoría de los momentos a lo largo de la secuencia. Por lo tanto, escogemos falsamente estos episodios cruciales como fronteras para categorías estables, y ocultamos la continuidad de la naturaleza con los envoltorios de nuestros hábitos mentales.

Debemos también recordar otro aspecto insidioso de nuestra tendencia a dividir los continuos en categorías fijas. Estas divisiones no son neutras; las establecen los partidarios de ciertos puntos de vista particulares con propósitos determinados.

Además, como muchos de estos continuos son temporales, y ya que tenemos una lamentable tendencia a considerar nuestra época como la mejor, éstas divisiones suelen adjudicar al pasado nombres peyorativos, mientras que las épocas sucesivamente más modernas se designan con palabras de luz y progreso.

[…]

Este ensayo ha discutido un doble mito en los anales de nuestros malos hábitos en la falsa categorización: (1) la leyenda de la Tierra plana como apoyo para una ordenación sesgada de la historia occidental que se presenta como una historia de redención desde la época clásica hasta el Renacimiento, pasando por la época oscura y medieval, y (2) la invención del mito de la Tierra plana para apoyar una falsa dicotomización de la historia occidental como otra historia de progreso, una guerra de la ciencia victoriosa sobre la religión. No me sentiría preocupado por estos errores si solamente condujeran a una visión inadecuada del pasado, sin consecuencias prácticas en nuestro mundo moderno. Pero el mito de una guerra entre la ciencia y la religión permanece como algo de cada día ….

.

Stephen Jay Gould (1941 – 2002)

La Tierra no es plana, sino una esfera. Nadie hoy lo pone en la más mínima duda. Pero si se pregunta ¿desde cuando sabemos, como colectividad, que es así? es más que probable recibir como respuesta que durante la Edad Media se pensaba que la Tierra era plana, y que solo tras Colón y los primeros viajes de circunvalación se zanjó la cuestión Seguir leyendo

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En el Campus de Profundización Científica, Soria 2015

Ayer tuvo lugar en Soria el acto de Inauguración de la edición de este verano del Campus Nacional de Profundización Científica 2015 para estudiantes de ESO, promovido y financiado por el CNIIE desde el Ministerio de Educación, Cultura y Deporte y en el que actúa como Entidad Colaboradora la Real Sociedad Española de Física.

En el acto de Inauguración impartí una charla con el título “El Universo y la luz”. La charla estaba destinada a los estudiantes que participan en el Campus, procedentes de toda España y seleccionados entre varios cientos de solicitudes por sus excelentes logros académicos.

Al final de la charla solamente dispusimos de tiempo para unas pocas preguntas —el horario de actividades es realmente muy apretado—. Cuelgo ahora el fichero de la presentación para quienes quieran descargarlo (también pinchando en la imagen), y animo a quienes se quedaran con ganas de preguntar algo más lo hagan en los comentarios; prometo responder.

Blog1507_PresCampusSoriaImagen

Durante la charla proyecté también un video, al que se referían algunas de las cuestiones.  Tuve la suerte de participar Seguir leyendo

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Una Timeline de la Cosmología en los últimos 100 años

He preparado este Panorama Cronológico (a.k.a. Timeline) de la Cosmología en los últimos 100 años para la charla que doy hoy en el curso organizado por el GUA y la Sociedad Syrma.

Al igual que en la Timeline del modelo estandar de las partículas elementales, pinchando en la miniatura se deberá abrir la ventana de lectura de .pdf’s en su navegador mostrando la timeline en todo su esplendor. Allí se debe ampliar la escala de visión hasta que verticalmente el fichero ocupe la pantalla completa. Luego hay que navegar por él lateralmente: el fichero está construido para verse exactamente así. Representa horizontalmente la diacronía, en dos grandes franjas. La franja superior tiene varios bloques sobre la teoría y la interpretación relacionada con esta historia y en la inferior se ubican a lo largo del tiempo resultados o iniciativas observacionales en Astronomía y Cosmología en los distintos rangos de observación (visible, radio, etc.). Cada uno de esos bloques tiene su línea de fechas y la sincronía entre ellas está representada en vertical, con unos iconitos que ubican temporalmente sucesos históricos relevantes.

Como en su Timeline análoga para el modelo estandar de las partículas elementales, un panorama de este tipo ayuda a percibir bien la inter-relación temporal y conceptual entre los descubrimientos observacionales y los modelos teóricos. Hay detalles también aquí para entretenerse un buen rato. Disfrútenlo.

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“Nadie entre aquí que no sepa Geometría” ¿Podemos ignorarla?

De acuerdo con una tradición, sobre la puerta de la Academia de Platón estaba grabada la frase:

Blog1503_ageometretos

El texto griego inscrito en la puerta de la Academia de Platón. Fuente

“Nadie entre aquí que no sepa Geometría”

No sabemos con seguridad si la frase realmente figuró o no en el frontispicio de la Academia. Lo que sí es seguro es que la frase resulta correcta en cuanto a su espíritu en relación con la obra de Platón.  Y en el caso de que la tradición no fuera  literalmente confiable, sería un buen ejemplo de una leyenda a la que se podría aplicar aquello de “se non è vero è ben trovato”. 

La estructura del Espacio-Tiempo, y del campo gravitatorio es una geometría. Que contiene nuestra mejor descripción del Universo, entre otras cosas. Comprobada y verificada hasta niveles de precisión realmente inimaginables. Nos ha costado dos milenios y medio de esfuerzo intelectual de generaciones y generaciones anónimas y de unas cuantas destacadas individualidades llegar a entenderlo colectivamente como podemos hacerlo hoy.

Pero sigue habiendo quien con desenvoltura y desparpajo actua como si fuera posible ignorar la geometría. Vean, en esa dirección, este video “The Expert“, que no tiene desperdicio y que seguramente les hará al menos sonreir. Y compadecer al experto.

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Simulando: … y de la Regla de Cálculo … a la simulación cuántica.

… continúa del post anterior.

Otro simulador analógico que en la práctica ha desaparecido virtualmente, tras haber prestado grandes servicios a la comunidad de científicos e ingenieros, es la regla de cálculo.

Desde que se concibió la idea de los logaritmos, que permiten calcular una multiplicación de números a través de la suma de sus logaritmos, aparecieron las primitivas versiones de la regla de cálculo, una simple yuxtaposición de dos regletas deslizantes con los números grabados en ambas según una escala logarítmica.

La regla de cálculo, como muchos otros nomogramas analógicos, permitía omitir (o cortocircuitar) una parte del trabajo tediosa: no era necesario buscar en una Tabla los logaritmos de dos números, sumarlos y con esa suma consultar de nuevo la tabla en sentido inverso, todo ello interpolando si era necesario, para recuperar el producto de los dos números. Con la regla de cálculo bastaba un solo deslizamiento de una escala sobre la otra para hacer coincidir el 1 de la escala superior con el primer factor (en la imagen 1.5) y entonces, sin más, el segundo factor en la escala superior coincidía con el producto de ambos en la inferior (por ejemplo 1.5 x 4 = 6). Con otra ‘ventaja’ añadida: Seguir leyendo

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Simulando: de las ‘Orreries’ del S. XVIII ….

Charles Boyle, 4th Earl of Orrery (1647–1731) era un noble irlandés que tuvo una activa vida de interés en asuntos literarios y científicos, incluyendo una polémica con Richard Bentley, uno de los corresponsales de Newton.

En 1712, el 4th Earl of Orrery encargó a un constructor de relojes, John Rowley, el diseño y construcción un modelo mecánico del sistema Sol-Tierra-Luna, con el Sol en el centro, la Tierra orbitando alrededor de él y la luna orbitando alrededor de la Tierra. Este modelo debía servir para mostrar el movimiento de estos tres astros, representando fielmente las orientaciones relativas de sus posiciones a lo largo del tiempo, a expensas de la escala espacial precisa, cuya representación cae fuera de los límites razonables en ningún modelo mecánico. Alguien se refirió a la propia máquina como una ‘orrery‘ y el nombre cuajó; desde entonces, estos modelos de planetarios mecánicos heliocéntricos se conocen genéricamente en Inglaterra como ‘orreries‘.

No sé de ninguna traducción aceptada al castellano del término orrery de manera que usaré el nombre inglés. La traducción más obvia, planetario, no tiene en español las mismas connotaciones y se suele aplicar a los sistemas ópticos de proyección del cielo estrellado sobre una bóveda (al igual que ocurre con planetarium en inglés). Una reflexión amargamente malévola al margen: Seguir leyendo

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La tetera de Newell y una nueva asignatura

En 1975 el modelado por ordenador en tres dimensiones estaba en su infancia.

Martin Newell, un investigador en ese campo, buscaba un objeto simple, pero no demasiado simple, para su trabajo de modelado en 3D. Según la historia (o es ya leyenda) Newell escogió una tetera que tenía en su cocina, hizo una secuencia de dibujos en 2D y empleó esos dibujos para crear un modelo en 3D, cubriendo la tetera con un esqueleto de una red de polígonos y usando superficies de Bézier para ‘vestir’ el enrejado. Tanto la propia tetera original (que existe de verdad como objeto tridimensional) como los dibujos originales de Newell y las imagenes 3D generadas por ellas son hoy casi objeto de culto: la tetera de Newell o la tetera de Utah. Y es que hay algo entre mágico e inquietante en la aparición partiendo de dibujos bidimensionales de un objeto sólido que se despega del plano cobrando una nueva vida tridimensional. Seguir leyendo

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Alrededor de los puntos de Lagrange en 3D: Las órbitas de Halo (y IV)

You can’t connect the dots looking forward; you can only connect them looking backwards. So you have to trust that the dots will somehow connect in your future.

Steve Jobs, en la 2005 Stanford Commencement Address

sigue del post anterior de la serie…

A vista de pájaro, la historia narrada en los tres posts anteriores aparece como el proceso de ir poniendo ‘dots’: quienes ponen cada uno de ellos pueden no sospechar para qué se añadirá el siguiente. Primero Euler y Lagrange, hace dos siglos y medio, en el transcurso del estudio de un problema mucho más amplio, encuentran ciertas configuraciones de movimiento en el problema de tres cuerpos, las configuraciones que hoy llamamos de ‘equilibrio relativo’. Desde mediados del S. XIX, de la mano de Maxwell y de otros se van abriendo paso las ideas del estudio de la estabilidad de tales movimientos en problemas semejantes. Hace poco más de un siglo se comienzan a descubrir asteroides en las posiciones predichas por Lagrange, y se acuña la actual denominación de estos puntos.

En ese momento ya tenemos el conjunto de conexiones necesarias entre todos estos ‘dots’ para seguir los tres posts anteriores, en los cuales nos hemos aventurado llegando hasta donde se puede alcanzar usando la aproximación lineal o de pequeñas oscilaciones para estudiar el movimiento tridimensional en las cercanías de los puntos de Lagrange.

Pero si ponemos aquí el punto final, nos perderíamos un interesantísimo pasadizo que nos conduce a un mundo nuevo de órbitas. La entrada a ese al Siq, que hay que buscar deliberadamente, Seguir leyendo

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Alrededor de los puntos de Lagrange: Órbitas de Lissajous en 3D (III)


… Sigue del post anterior de la serie….

… en el que discutíamos cómo sería el movimiento libre de un asteroide (o una nave espacial) en las cercanías de uno de los puntos de Lagrange, limitándonos al caso de que el movimiento tenga lugar exactamente en el plano en el que rotan los dos primarios (típicamente el Sol y un planeta). Indicamos entonces que en éste problema el estudio del movimiento exacto no es fácil y para muchos propósitos es preferible emplear un procedimiento que de entrada sea solamente aproximado —tanto más cuanto más cerca estemos del punto— pero que a cambio permita dar una visión uniforme y coherente, dependiente de unos pocos conceptos esenciales. Tal método aproximado se basa en uno de los grandes principios de la Física Matemática, cuyo rango de aplicabilidad trasciende al problema del movimiento en los puntos de Lagrange: la idea de que los pequeños movimientos de cualquier sistema en las cercanías de una posición de equilibrio son una superposición lineal de ciertos movimientos particulares, o modos normales.

En la década de 1950, los albores de la era espacial, se planteó la idea de usar los puntos de Lagrange para colocar en ellos o en sus cercanías satélites artificiales con varias posibles finalidades. Nada sorprendentemente, el padre de la idea fue A.C. Clarke, Seguir leyendo

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Qué hacer es asunto nuestro

Una joya de hace algo más de ocho siglos, el Viderunt Omnes de mi admirado Perotin, abre este post y da un buen fondo sonoro para su lectura. Se conoce su origen preciso: la obra surgió de un encargo de las autoridades eclesiásticas para celebrar el día de Navidad del año 1198 y se encuadra en una interesantísma época de inflexión en la historia de la Música, marcada por la transformación del gregoriano hacia la polifonía, desde el Ars Antiqua hasta el Ars Nova y hacia lo que vino después. Hoy, que podemos disfrutar en la debida perspectiva tanto de esa como de las músicas de los ocho siglos posteriores, te sugiero, querido lector, que arranques el video, ajustes a tu conveniencia el volumen sonoro y continúes leyendo ….

… el texto siguiente, tomado, en traducción personal, del último capítulo, titulado Dreams of Earth and Sky de Disturbing the Universe, (Basic Books, 1979) de F. J. Dyson.

En su característico lenguaje terso, Dyson lo presenta como un sueño tras el cual quejas y preguntas encuentran una respuesta Seguir leyendo

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Felicitación de Navidad: una Timeline de la historia “Del átomo al Higgs”

Para tener a mano una idea visual de la evolución temporal de las diferentes líneas de desarrollos teóricos y de descubrimientos experimentales relevantes en la historia que he narrado en desde el átomo hasta el Higgs, mientras escribía la serie dediqué en el otoño de 2013 algunos ratos a construir con \TeX este Panorama Cronológico (a.k.a. Timeline) del actual modelo gauge estandar de las partículas elementales.

Pinchando en la miniatura se deberá abrir la ventana de lectura de .pdf’s en su navegador mostrando la timeline en todo su esplendor. Seguir leyendo

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Físicos de incógnito

Físicos que vais de incógnito, físicos de profesión, de afición, futuros físicos, frikis de la física: todos vosotros conocéis de nombre y de obra, sin ninguna duda, al personaje que, con solo 18 años de edad, ocupa el centro de la foto.

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Pero ¿le identificáis? ¿Quién es? Seguir leyendo

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“No destruyas lo que no puedas crear”

El título de este post es el cuarto mandamiento de Leó Szilárd. Este físico húngaro, relativamente poco conocido, fue una de las mentes más originales de la primera mitad del S. XX.  Entre sus inusuales contribuciones  figura su propia versión de los Diez Mandamientos, cuyo texto original fue escrito en alemán; según Szilárd no debía traducirse. Pero en beneficio del resto del mundo no germanoparlante, pueden encontrarse versiones en inglés, fiables en su traducción y con comentarios sobre la historia de su elaboración, por ejemplo aquí.

LaRuinaDeEldena_1825El cuadro que reproduzco, Las ruinas de Eldena, de Caspar David Friedrich, pintado en 1825 en pleno romanticismo, representa una casa de labradores construída bajo las ruinas de un antiguo monasterio, cuyas altas paredes requirieron sin duda bastante más “saber hacer” que la casita que aprovecha la ruina de sus muros, permitida o alentada por generaciones de desidia.

Lo que ha juntado en mi mente el mandamiento de Szilárd y este cuadro, por el siempre inescrutable camino de las asociaciones mentales, Seguir leyendo

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Jordi Savall, chapeau.

Blog1410_JordiSavallLa noticia esta tomada de aquí. En su carta de renuncia, Jordi Savall acaba diciendo:

La ignorancia y la amnesia son el fin de toda civilización, ya que sin educación no hay arte y sin memoria no hay justicia. No podemos permitir que la ignorancia y la falta de cultura de los responsables de las más altas instancias del Gobierno de España erosionen impunemente el arduo trabajo de tantos músicos, actores, bailarines, cineastas, escritores y artistas plásticos ….

Muy bien dicho. Seguir leyendo

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Errantes alrededor de los puntos de Lagrange: II

… sigue del post anterior de la serie

Un asteroide (o una nave espacial) situado en uno de los puntos de Lagrange, en reposo desde el punto de vista del sistema de coordenadas rotante, permanecerá en ese punto por siempre. Esa es la condición de equilibrio que determina los puntos de Lagrange. Un observador inercial exterior vería tal asteroide o nave siguiendo una órbita circular alrededor del centro de masas del sistema —aproximadamente el Sol si se trata de un sistema Sol-Planeta— con la misma velocidad angular que el primario y el secundario, lo que equivale a decir que desde el punto de vista del observador rotante, el asteroide permanece en reposo en el punto de Lagrange.

¿Seguro? Bueno…., sí, siempre que el asteroide esté situado exactamente en el punto de Lagrange, y su velocidad respecto de él sea exactamente nula. Mientras que enunciar la condición anterior es fácil, no es tan fácil asegurar el ‘exactamente‘. Y aunque el calificativo fuera aplicable en un instante dado, hay varios efectos que pueden perturbar esas condiciones: los más obvios, los gravitatorios de los restantes planetas. La pregunta realmente significativa entonces debe ser: si la posición del asteroide no es exactamente el punto de Lagrange y/o si la velocidad respecto de él no es exactamente nula, ¿como será su movimiento ulterior? Esa es la pregunta que discutimos ahora. Seguir leyendo

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Los puntos de Lagrange I: ¿Qué son?

‘Sitúense en el Sol’ —había dicho un día Mendoza a una clase de estudiantes ligeramente desconcertados, poco después del anuncio de su Premio Nobel — ‘y dirijan la vista a Júpiter, a 750 millones de kilómetros. Entonces abran sus brazos, sesenta grados a cada lado …… ¿Saben hacia donde están apuntando?’

No esperaba respuesta, ni tampoco hizo una pausa para que la hubiera.

‘No podrán ver nada allí, pero estarán apuntando a dos de los lugares más fascinantes en el sistema Solar ….’

A. C. Clarke, en “El martillo de Dios”

 

Basta leer sobre muchas de las interesantes misiones espaciales realizadas en los últimos cuarenta años (en concreto, ISEE-3, Genesis, WMAP, Herschel, Planck), sobre la misión astrométrica Gaia, lanzada hace menos de un año, o sobre el magnífico proyecto de telescopio espacial en curso de ejecución (James Webb Space Telescope), para encontrar menciones a los puntos de Lagrange y a diferentes órbitas (de Lissajous o de Halo) alrededor de estos puntos. Y es que todos esos satélites se encuentran (se encontraron, se encontrarán) en órbitas de estos tipos alrededor de los puntos de Lagrange SEL1 y SEL2 del sistema Sol-Tierra. No es accidental que estén allí. Todas estas misiones se aprovechan del carácter de estas ubicaciones distinguidas en el sistema Sol-Tierra,  sus puntos de Lagrange. ¿Qué son esos puntos? ¿Porqué son distinguidos? Y, ¿cómo emplear esa distinción para nuestros propósitos? Seguir leyendo

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En una Escuela en la Fundación Sierra-Pambley de Villablino

Siempre he deseado que mi enseñanza y mi acción y vida entera fuera obra de neutralidad, de tolerancia… Es decir, no en el sentido negativo de estas palabras, a regañadientes; sino positivo, de cooperación, de simpatía profunda para los que más «contrarios» se estiman; procurando hallar en todo y en todos lo conforme, la unidad, que está mucho más alta y mucho más honda, a un tiempo, que las divergencias.

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Francisco Giner de los Ríos, en una carta a Unamuno, 1899

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La cita, de uno de los fundadores de la Institución Libre de Enseñanza, está tomada de uno de los paneles de la exposición “Francisco Giner de los Ríos, Un andaluz de fuego”. Se puede leer aquí el texto completo de los paneles; aconsejo vivamente la lectura pues hay dispersas otras varias citas tanto o más interesantes, y porque en su conjunto nos dan una medida precisa de hasta qué punto cosas que tendemos a dar hoy por sentadas se lograron solamente por la acción y energía de personas empeñadas en su tarea, hace no tanto tiempo. Estos paneles ocupaban el hall del Centro de la Fundación Sierra-Pambley en Villablino (León), en donde he participado en una Escuela de Historia de la Física organizada por la Real Sociedad Española de Física en colaboración con esta fundación. He tenido allí la oportunidad de conocer de cerca los detalles de la interesante historia de la fundación, ligada de manera muy directa con la historia de la Institución Libre de Enseñanza, iniciativas ambas cuyo recuerdo en momentos bajos puede y debe servir para reconciliarnos con el género humano. Seguir leyendo

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Piranesi / Ruinas / Mathematica

Amamos las ruinas,  porque sabemos que por ellas pasó la vida. Esta frase, que he visto atribuída a Walter Benjamin, parece bastante acorde con algunas ideas directrices de su obra, pero no tengo ninguna referencia precisa que confirme (o desmienta) la atribución.

Uno de los artífices de nuestra moderna fascinación por las ruinas es Giambattista Piranesi (1720-1778), autor de magníficos grabados que merecen ser considerados como una influencia cultural de largo alcance, preformando la visión romántica del siglo siguiente, y cuyos ecos llegan, dos siglos después, hasta mundos literarios como el de Borges o cinematográficos, como el de Greenaway. Seguir leyendo

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Si en un examen te piden hacer de referee… (y II). Einstein y E=mc²

….viene de aquí

Es posible y es deseable aprender en/de los exámenes. Y me refiero aquí no solo a los estudiantes, sino también al profesor. Lo que quiero compartir hoy es el resultado de la experiencia que describí en el post anterior.

Recuerdo de que se trata: Contexto: una asignatura Relatividad, optativa en el cuarto curso de la licenciatura de Ciencias Físicas (de 5 años). Época: los años transcurridos desde el experimento podrían contarse con los dedos de las dos manos. Protagonistas: una docena de estudiantes de la asignatura, que en promedio tuvieron un resultado desde normal hasta bueno en el resto (más convencional) del examen. Planteamiento: una de las cuestiones propuestas en el examen consistía en hacer de referee de un artículo real. Seguir leyendo

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Si en un examen te piden hacer de referee ….

Nos  colocamos en una situación imaginaria, que podría haber sido real. Un examen de una asignatura de Relatividad, optativa en  la licenciatura de Ciencias Físicas.  Una de las cuestiones que se plantean, que deben responderse directamente es:

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Este es el manuscrito adjunto, Seguir leyendo

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Quino / Democracia

Mi reconocimiento al genial Quino; un premio merecido como pocos. Y aunque sea algo bien sabido, sigue resultando chocante la curiosa capacidad del establishment de fagocitar tanto lo asimilable como lo que no debería poder serlo.

Mafalda era independiente, bajita, irónica, lúcida, de implacable lógica, ácida, inconformista y en lucha sin cuartel contra todas aquellas ideas que, recibidas y aceptadas sin examinar, no resisten al examen cuando cartesianamente  se despiezan en sus elementos más simples. Umberto Eco la definió como una heroína iracunda. Y como pocas obras de las de hace 40 años, la esencia de las tiras de Mafalda no ha perdido ni un ápice de actualidad ni de frescura.

Por mi parte, 40 años después, a mí, como a Mafalda, tampoco me gusta la sopa. Pero hoy, aquí, precisamente, hablamos de Democracia.

Democracia(?).

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300 años del Premio de la reina Ana.

Estamos en Mayo de 2014. Retrocedamos 300 años en el tiempo, y coloquémonos en Mayo de 1714. El año anterior un joven Georg Friedrich Händel, recién establecido en Inglaterra, ha compuesto una cantata profana, la Oda para el cumpleaños de la reina Ana (junto con el Te Deum y Jubilate de Utrech, compuesto en el mismo año para celebrar la firma del tratado de Utrech, con el que entre otras cosas se cerraba la Guerra de Sucesión en España).

No se sabe si la reina llegó a escuchar su Oda. Pero sí que la reina concedió a Händel por esa obra una pensión de 200 libras anuales, hasta su muerte. Enlazo aquí la versión de esa obra de Alfred Deller, a la que tengo en muy especial estima por varias razones, la menor de las cuales es la de haberme servido de primer contacto al mundo vocal fascinante y ambiguamente atractivo de la voz de contratenor.

Retrato de la reina Ana. Fuente: Wikipedia

Retrato de la reina Ana. Fuente: Wikipedia

La reina Ana  debía ser generosa, aparte de ser una gobernante con visión. En 1707 impulsó y consiguió la unión de Inglaterra y Escocia en un solo estado, el Reino de Gran Bretaña. Y en Mayo de 1714, hace ahora precisamente 300 años, la reina recibió una petición de comerciantes y marinos, que un par de meses después, en Julio de 1714, (solo un mes antes de su propia muerte con  49 años) llevó a la convocatoria del que, según todas las apariencias, ha sido uno de los premios más generosos de toda la historia: Seguir leyendo

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Extrapolación vs. especulación

Parece haber una tendencia muy extendida a considerar ‘autoevidente’ cualquier extrapolación de los datos observacionales, por grande que sea, y por lo tanto, a no contarla como una hipótesis especial que debe añadirse a las demás hipótesis que requiera la teoría […..]

Es un peligroso hábito de la mente humana generalizar y extrapolar sin reparar en que se está haciendo así. Por ello, el físico debe contrarrestar este hábito, aplicando vigilancia incesante para detectar cualquier extrapolación de ese tipo. La mayor parte de los avances en física han tenido que ver con el reconocimiento de la falacia de tales extrapolaciones, que al haberse supuesto como auto-evidentes, no se habían considerado hipótesis.

Para el avance de la Física, estas extrapolaciones constituyen un peligro mucho mayor que la llamada especulación.

Hermann Bondi, en el Capítulo I de Cosmology, Cambridge University Press, Primera edición 1952. Reeditado en Dover.

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Jordi Évole, Jean Marc Lévy-Leblond, Alan Sokal.

No es mi intención escribir en el blog comentarios de actualidad. Pero en ocasiones, la actualidad se topa de tal manera con las preocupaciones propias de un científico, sobre las que sí me interesa escribir, que hoy aprovecharé para caer en la tentación antes  de que pase.

Jean Marc Lévy-Leblond

Jean Marc Lévy-Leblond. Crédito: Wikimedia commons

En una página de Nature (Nature, vol.413, 573, October 2001), Jean-Marc Lévy-Leblond plantea un sugerente acercamiento entre Ciencia y Ficción, que posiblemente disguste a algún sector fundamentalistamente cientifista. La concepción ingenua de la Ciencia se apoya en una aparente oposición, hechos frente a ficción, en contraste con el arte o la literatura o la poesía, que producen creaciones directamente reconocidas como ficticias, y esta oposición se suele tomar como uno de los distintivos esenciales de la Ciencia. Pero las cosas, señala Lévy-Leblond, no son tan simples. Seguir leyendo

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Dos asignaturas nuevas ….

Hoy comienzan dos asignaturas de las que me encargo: Gravitación y Cosmología,  optativa en el tercer curso del grado, y Ampliación de Mecánica Cuántica,  optativa en el quinto curso de licenciatura. Como canal de comunicación, y para dejar referencias, artículos de lectura propuesta, etc. he abierto dos páginas nuevas en el blog, Gravitación y Cosmología 13-14 Q2 Ampliación de Mecánica Cuántica 13-14 Q2. Ambas figuran como subpáginas de Asignaturas 2013-2014, en el primer nivel del menú principal, y una vez las asignaturas finalicen, el contenido permanente que no pase a formar parte del material para cursos sucesivos se moverá a Asignaturas Pasadas.

El programa final detallado de estas asignaturas podrá depender un poco de desde donde haya que comenzar y de los intereses dominantes, para la parte del programa de “excursiones culturales”, algo que determinaremos experimentalmente en las primeras clases. Los materiales iniciales para el comienzo del curso están ya allí, en cualquier caso; en breve colgaré los programas y la bibliografía.

En este video (de 1972), Viktor Frankl, superviviente en un campo de concentración nazi durante la II guerra mundial, y autor del libro El hombre en busca del sentido, acaba con la idea, que Viktor Frankl atribuye a Goethe:

Si tratas a un hombre como es, seguirá siendo lo que es; si tratas a un hombre como puede y debe ser, le harás capaz de llegar a ser lo que puede y debe ser.

Una idea extremadamente sugerente y un buen punto de partida, creo, para un día como hoy.

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Pi y los números primos

Este misterioso π=3.141592······, que asoma tras cada puerta y cada ventana, y que desciende por cada chimenea.

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Augustus De Morgan, A Budget of Paradoxes

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¿Hay alguna relación entre π y la secuencia de los números primos? Las hay, de hecho varias. Hoy presento una que es poco conocida.

Hay infinitos números primos (esto se sabe desde Euclides, quien dió una demostración auténticamente genial). La secuencia de estos números comienza por 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, · · · · · ·

Excluyamos el 2, el único primo par, y quedémosnos con los demás: 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, · · · · · ·,  todos los cuales son impares. Cada uno de estos números primos está flanqueado, en la secuencia de todos los números naturales, por dos números, ambos pares. De estos dos números vecinos del primo, uno será necesariamente múltiplo de 4 y el otro no. Por ejemplo, 7 está flanqueado por el 6 y por el 8; el 6 no es múltiplo de 4 pero el 8 sí lo es.

Escribamos para cada número primo una fracción, Seguir leyendo

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Del átomo al Higgs: Para saber más

Con una breve bibliografía elemental y una recomendación de un video de YouTube doy por cerrada esta serie. En ella he tratado de resumir las principales ideas e hitos en la historia que entre la última parte del S. XIX y la primera del XXI nos ha llevado a descubrir desde el átomo hasta el Higgs. En un próximo (aunque no inmediatamente próximo) post, comentaré una lista de preguntas frecuentes sobre el bosón de Higgs.

Para saber más

Tras el descubrimiento del Higgs, en Julio de 2012, el asunto ha saltado a los medios. Hay unos cuantos libros recientes sobre el tema, que se suman a la relativamente abundante literatura divulgativa sobre la física de partículas. Me limito aquí a algunos publicados en español, Seguir leyendo

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Del átomo al Higgs XIII: Búsqueda y hallazgo del bosón de Higgs

La Naturaleza no nos ha puesto fácil observar al bosón de Higgs. En su detección hay dos retos, cada uno de ellos monumental. El primer reto, para comenzar, es concentrar en una región del espacio de tamaño menor de unos 10-18m la energía suficiente para producir en el campo de Higgs una excitación de la “intensidad” mínima posible en ese campo. Si se consigue, al poquísimo tiempo de haber sido creado, el Higgs-partícula, que es inestable, se desintegrará en otros subproductos. El segundo reto es, entre todas las miriadas de partículas que se producirán como consecuencia de tamaña concentración, deberemos ser capaces de identificar unas pocas de ellas, aquellas cuya existencia se deba a la desintegración del Higgs tras su efímera existencia, y obtener de su registro evidencia suficiente para concluir que, por un brevísimo tiempo, existió un bosón de Higgs.

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Del Átomo al Higgs XII: 1898-1995, un siglo descubriendo partículas …

El descubrimiento de las partículas del modelo estandar

En el modelo estandar los constituyentes últimos son, realmente, los campos asociados a los fermiones constituyentes de la materia, a los bosones portadores de las interacciones, y el campo de Higgs. En las exposiciones divulgativas, esto se suele reformular en términos de las partículas asociadas: se dice que las partículas fundamentales son por un lado, los fermiones constituyentes de la materia (en la primera generación los quarks u, d y los leptones e, \nu_e, y en las otras dos generaciones los quarks t, b, s, c y los leptones \mu, \nu_\mu, \tau, \nu_\tau), por otro los bosones portadores de las interacciones (fotón, los bosones “débiles” W+, W y Z0 y los gluones) y finalmente, como un coordinador, el bosón de Higgs, que no es propiamente portador de ninguna de las otras cuatro interacciones, pero que a su vez interacciona con las demás partículas (lo que posiblemente sugiere que se le deba considerar portador de una nueva interacción).

A veces se escucha la pregunta ¿pero cuántas partículas elementales hay exactamente en el modelo estandar? Seguir leyendo

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Del Átomo al Higgs XI: El actual modelo estandar a vista de pájaro

Noviembre de 1974 marca la fecha de la Revolución de Noviembre de la teoría de partículas. En esa fecha acabó de golpe la competición —bastante activa en la década previa— entre diversas teorías para la descripción de las interacciones fuertes y débiles. En su rememoración de aquellos días, escrita con ocasión de los 50 años del artículo de Yang y Mills, Alvaro de Rújula lo resume así:

In a nutshell, the standard model arose from the ashes of the November Revolution, while its competitors died honourably on the battleground.

En esta serie de posts no ha habido siquiera ocasión de mencionar estas teorías competidoras: unos pocos nombres-clave son matriz S, bootstrap y democracia nuclear, dualidad y modelo de Veneciano. En algunas de estas ideas yacen los conceptos precursores de las actuales teorías de cuerdas.

Además de las que fallecieron con honor en el campo de batalla,  estaban las dos que resultaron triunfantes en la revolución de Noviembre: Seguir leyendo

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Recortable de Navidad

En las cercanías del solsticio de invierno y de la Navidad, y con mis mejores deseos para estos días y para el próximo año, quiero dejar un pequeño detalle para los lectores del blog que han tenido la paciencia de seguir mis enrolladas y manifiestamente mejorables descripciones cartográficas: un recortable, para montar un sobre de forma cuadrada con el mapa quincuncial de Peirce [.jpg, 1.6Mb] dispuesto en el anverso y reverso.

blog1312_mapapeirceensobre2 Seguir leyendo
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La proyección quincuncial de Peirce (y) V: …. y recubrimientos ramificados

Sigue desde el post anterior (IV) de esta serie.

Planeando excursiones con el mapa de Peirce.

En el post anterior quedó en el aire una pregunta: ¿Qué ocurre si planeamos una excursión que en el mapa efectúe una circunvalación alrededor de uno de los cuatro  puntos L, E, R, W?

Planeando una excursión en la que pretendemos circunvalar el punto E.

Planeando una excursión en la que pretendemos circunvalar el punto E.

En casi cualquier otro mapa, se trataría de una pregunta muy inocente. Pero ahora la respuesta no tiene nada que ver con lo que estamos acostumbrados cuando planeamos una excursión sobre un mapa, y resulta muy chocante. Seguir leyendo

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