Del átomo al Higgs II: Cuantificación y la estabilidad del Átomo

Antes de llegar al actual modelo estandar de las partículas “elementales”, con su ingrediente importante, el campo de Higgs, es necesario indicar cómo la nueva Mecánica Cuántica fue capaz de explicar de manera satisfactoria la estabilidad y la estructura de los átomos, eludiendo las dos dificultades fundamentales que mencionamos en el post anterior. Discutimos hoy el asunto de la estabilidad, cuya explicación yace en el corazón de las nuevas ideas.

En el modelo de Bohr la estabilidad de los átomos quedaba descrita (que no explicada) mediante una construcción ad-hoc: solamente ciertos estados (en el lenguaje original, ciertas órbitas), que forman un conjunto discreto, son posibles para un electrón en un átomo. Una de las tareas pendientes era entender esta “cuantificación” de los estados, la característica que incidentalmente acabó prestando su nombre a la nueva mecánica.

En nuestra imagen del mundo, según la describe la mecánica clásica, un cuerpo rígido (digamos un automóvil, con motores ilimitadamente potentes, idealizado como una partícula) puede moverse a cualquier velocidad, y por tanto con cualquier energía. El conjunto de las posibles energías cinéticas es continuo, y va desde 0 (con el cuerpo parado) hasta un valor máximo, el que permita la la potencia del motor (y la resistencia de los materiales). En otras palabras, los valores posibles de la energía están descritos mediante un intervalo continuo, dentro del cual todas las energías son alcanzables. Y el máximo que hemos mencionado no es un límite fundamental sino técnico: si dispusiéramos de motores más eficientes, siempre podríamos superar el máximo anterior.

Y por otro lado, las partículas son objetos discretos (en el sentido de ocupar uno de los extremos de la polaridad discreto–continuo). Cada partícula ocupa una posición en cada instante, lo que permite individualizarlas y contarlas: 1, 2, 3, … Y cada partícula transporta energía y momento lineal, las dos cantidades cinemáticas básicas.

Pero la mecánica clásica nos enseña también otra cosa que no es incompatible con la anterior: si hacemos vibrar la cuerda de un violín, o la columna de aire que hay en un tubo de órgano, por mucho que lo intentemos, no podremos conseguir que se produzca un sonido de cualquier frecuencia. La cuerda, o el aire en el tubo solamente puede vibrar con un conjunto de frecuencias discretas, que a igualdad de las restantes características dependen de la longitud del tubo o de la cuerda. La frecuencia es menor (sonido más grave) cuanto mayor sea esta longitud.

Esta “cuantificación” de las posibles frecuencias es precisamente lo que permite utilizar la cuerda o el tubo como base de un instrumento de música. Naturalmente, esta “cuantificación” no sorprende a nadie, ya que la cuerda en movimiento o la presión del aire en el tubo lo que originan es una onda sonora, pues no otra cosa es el sonido. La idealización “partícula” que podíamos emplear para un automóvil aquí no es aplicable de ningún modo: el sonido no son “partículas moviéndose”. En la mecánica clásica, las ondas son algo nuevo, diferente de las partículas.

En una cuerda de violín o en un tubo de órgano son posibles una frecuencia fundamental \nu_1 y todos sus múltiplos o armónicos \nu_2= 2 \nu_1, \nu_3=3\nu_1, \dots: las frecuencias, cuyo conjunto se denomina “espectro” están equiespaciadas. En otros “instrumentos” como una campana o un tambor, el espectro de frecuencias posibles \nu_1, \nu_2, \nu_3, \dots es más complicado y las frecuencias no son necesariamente los múltiplos de una frecuencia fundamental, aunque siempre se trata de conjunto discreto de frecuencias \nu_1<\nu_2<\nu_3<\dots. El patrón de frecuencias equiespaciadas que aparece en la cuerda o en el tubo es excepcional, y la situación que se da genéricamente en casi todos los sistemas vibrantes es el de espectros no equiespaciados.

El sonido es pues un estado descrito por un campo de presiones. Nos referimos a él como una onda, pues se propaga. En gran medida, la idea de “onda” y el concepto de “campo” son intercambiables, y es claro que se trata de algo conceptualmente muy diferente de una partícula. Los campos tienen un valor en cada punto del espacio y del tiempo, y por tanto son objetos esencialmente continuos: ocupan el otro extremo de la polaridad mencionada antes. Por ello no tiene sentido “contarlos”.

Resulta que este comportamiento “ondulatorio” con un espectro de frecuencias se da también por doquier, y no solo en la prototípica cuerda vibrante que es el ejemplo de libro de texto. Por poner un ejemplo a muy otra escala, la Tierra como un todo, (es decir, todo el planeta), puede vibrar a ciertas frecuencias y solamente a esas ciertas frecuencias. Para hacer vibrar una cuerda debemos excitarla: la desplazamos de su posición de equilibrio y la dejamos después evolucionar libremente. ¿Cómo hacer vibrar la Tierra? Excitándola, por ejemplo esperando a un terremoto o a una colisión de un meteorito en la Tierra. Las frecuencias de vibración de la Tierra forman también un conjunto discreto de frecuencias \nu_1<\nu_2<\nu_3<\dots que, como ocurre genéricamente, no son múltiplos de la frecuencia más baja. Las frecuencias que puede producir un violín están en el rango de 200 a 1000 Hz (el actual la4, a 440 Hz tiene un periodo de vibración de 2.2 ms), mientras que la Tierra, que es un sistema obviamente más grande tiene las frecuencias más bajas de vibración en el rango de 0.25 a 1 mHz, con periodos del orden de 60 a 15 minutos (los patrones de oscilación en los diversos modos pueden verse en las animaciones disponibles aquí). Nótese en estos valores la relación general entre frecuencia y tamaño que mencionamos antes.

La afirmación muy repetida, al menos de manera implícita, según la cual la “cuantificación” resulta ser una característica exclusiva de la nueva Mecánica Cuántica es profundamente incorrecta. En la física más puramente clásica hay cuantificación para las ondas. En donde ciertamente no hay cuantificación es para las situaciones descritas por el modelo conceptual “partícula”: en Mecánica newtoniana la energía de cualquier objeto (o cualquier otra cantidad como momento lineal, momento angular, etc) puede tomar valores que varían continuamente.

Al pasar a la Mecánica Cuántica, resulta que los dos modelos conceptuales, ondas y partículas, son simplemente dos caras distintas de una única realidad. Y todo lo anterior se engloba dentro de un nuevo esquema cuántico de una prodigiosa universalidad: mientras que en la Mecánica clásica, ondas y partículas aparecen como arquetipos muy diferentes que corresponden a situaciones mutuamente excluyentes, según la Mecánica Cuántica, todos los objetos naturales —que antes creíamos clasificar bien como partículas o bien como ondas— resultan comportarse de la misma manera, sin ninguna excepción.

Es fundamental apreciar que este nuevo comportamiento comparte características de ambos arquetipos, pero estrictamente hablando no es ni el comportamiento partícula ni por el comportamiento onda de la física elemental. Lo que sí hay es una tendencia: en ciertas situaciones, (caracterizadas por valores de la acción mucho mayores que el quantum de acción \hbar), el comportamiento cuántico se parece más y más al comportamiento de las partículas clásicas o al comportamiento de las ondas clásicas, dependiendo de la situación precisa. Naturalmente, aquí se encuentra escondida la explicación de que la vieja mecánica clásica sea tan exitosa dentro de su (ahora sabemos limitado) campo de aplicación.

Ha habido a lo largo de la historia varias propuestas de asignar un nuevo nombre a este concepto cuántico. Eddington propuso, tan pronto como en 1928, el término inglés “wavicle”, que se podría traducir por “ondícula”. Otros autores, como Lévy-Leblond y Balibar han propuesto usar “quanton” (en francés), que podíamos traducir por “quantón” (deliberadamente con q). Ninguna de estos propuestas ha conseguido establecerse, lo que es desafortunado pues la capacidad modeladora y sugestiva del lenguaje es un elemento fundamental a la hora de construir los modelos mentales, sobre todo en los nuevos estudiantes. Y continuar usando el lenguaje clásico no ayuda a que nuestra inteligencia sobre los modelos construidos sean la mejor que podríamos alcanzar.

Podemos pensar en un físico imaginario, digamos en la década de 1900, formado en la mecánica clásica, intentando describir lo que se observa al estudiar la desintegración radiactiva. Ya se sabía por entonces que hay tres tipos diferentes de “radiación”, los “rayos” \alpha, \beta y \gamma. Tras observaciones cuidadosas, acabaría enunciando que los rayos \alpha emitidos son partículas (núcleos de Helio), que los \beta son también partículas (electrones), mientras que los rayos \gamma son realmente una onda electromagnética.

Andando el tiempo, a finales de la década de 1910, sabría que los rayos \gamma, identificados previamente con radiación electromagnética, son también partículas, los cuantos de radiación propuestos por Einstein en 1905, que hoy llamamos fotones. Y en 1925, tras haber asistido a los experimentos de Davisson y Germer (“Es obligado reconocer que los resultados obtenidos no han correspondido de ningún modo a lo que esperábamos” dicen Davisson y Germer en la introducción de su artículo publicado en 1927), nuestro físico debería haber aceptado que hay situaciones en las que las partículas \alpha y \beta muestran un comportamiento propio de las ondas.

En los 20 años que median entre 1905 y 1925 se fraguó esta revolucionaria concepción: lo que antes se creían partículas, en la Naturaleza pueden interferir, difractarse, etc, como las ondas (los experimentos de Thomson hijo y de Davisson y Germer). Y lo que antes se creían ondas pueden producir colisiones localizadas en las que hay conservación de energía y momento, como si fueran partículas (el efecto fotoeléctrico, los experimentos de Compton).

Es muy chocante que en la nueva mecánica cuántica haya un sólo tipo de objetos naturales. Esta unicidad (o universalidad) del comportamiento cuántico es en cierto sentido una propiedad esencial. Parafraseando a Feynman en El carácter de la Ley física, lo que nuestro hipotético físico podría acabar diciendo, desconcertado, es: Los experimentos muestran que las partículas \alpha y los fotones están completamente locos, pero al menos lo están de la misma manera.

En muchas exposiciones se enuncia este hecho bajo el nombre un punto misterioso aunque sugerente de dualidad onda-partícula, diciendo que los electrones, fotones, etc., se comportan a veces como si fueran ondas y/o a veces como si fueran partículas, dependiendo de cómo se observen. En su forma general, este enunciado se debe originalmente a DeBroglie, quien la introdujo en 1922 su Tesis doctoral, y era en su momento tan atrevida que los miembros del tribunal de Tesis, que no se decantaban ni a favor ni en contra, optaron por pedir asesoramiento a Einstein, quien dio a la idea su visto bueno.

En los inicios de la Mecánica Cuántica, una época conceptualmente confusa, el uso de analogías clásicas, por parciales que fueran, era inevitable. Y algunas ideas, como la dualidad onda-partícula tenían y tienen cierto valor heurístico. Fue sin duda obligado enunciarlas así en aquel momento. Pero casi un siglo después, esta manera puramente histórica de presentar el núcleo de la Mecánica Cuántica como una “dualidad” entre dos conceptos genuinamente clásicos, el de onda y el de partícula, tiene mas inconvenientes que ventajas. Sobre todo porque no orienta al estudiante en la dirección correcta, que es la de pensar en un solo concepto cuántico, del cual ondas y partículas clásicas no son sino aproximaciones parciales. Si tuviéramos que emplearla, un punto de ironía ayudaría, hablando de dualidad ni onda – ni partícula.

Imaginemos que, como los habitantes de la Planilandia de Abbott, nuestros ojos solamente tuvieran acceso a un mundo bidimensional, lo que nos habría llevado a una intuición bidimensional, en la que conoceríamos cuadrados, rectángulos y círculos. ¿Cómo describiríamos un cilindro, que es un objeto intrínsecamente tridimensional?

Ilustracion de la Wikipedia francesa.

Ilustración de la Wikipedia francesa.

La manera correcta sería, claro está, trabajar lo que sea necesario (traducción: estudiar las matemáticas del asunto, aprender a verlo con los “ojos de la mente”) hasta formarnos una imagen de la naturaleza tridimensional. Entretanto, y mientras estuviéramos limitados por la bidimensionalidad, es claro que un cilindro puede verse a veces como un círculo (si se mira desde el eje), y a veces como un rectángulo (si se mira de lado).

Pregúntese a sí mismo el lector si intentando conseguir comprensión de lo que realmente es un cilindro le ayuda gran cosa afirmar que hay una dualidad círculo-rectángulo y que el cilindro es un objeto que “a veces se comporta como si fuera un círculo y a veces como si fuera un rectángulo“. La analogía de este ejemplo con la idea de dualidad onda-partícula no es tan descaminada como pudiera parecer.

Fuente: El excelente libro de Mecánica Cuántica básica Quantique, Rudiments, de J.M. Lévy-Leblond y F. Balibar. Figure 2.18

Fuente: El excelente libro de Mecánica Cuántica básica Quantique, Rudiments, de J.M. Lévy-Leblond y F. Balibar. Figure 2.18

Frente al aspecto misterioso en la vertiente conceptual, llama (o debería llamar) la atención el que la conexión básica entre los aspectos partícula y onda sea también universal y extremadamente simple. Y claro está, esa relación matemática, que solamente puede ser entendida correctamente dentro de la mecánica Cuántica, es realmente el corazón del asunto.

El aspecto “ondulatorio” de cualquier fenómeno está descrito, en el tiempo, por su frecuencia \nu (el número de ciclos completos del fenómeno en la unidad de tiempo) o, preferiblemente, por su pulsación \omega=2\pi \nu que se refiere al ángulo de fase en vez de a vueltas completas: la pulsación es el ritmo temporal de cambio de la fase de la onda. Y ese mismo aspecto “ondulatorio” se describe en el espacio por la cantidad análoga a la pulsación; como el espacio es tridimensional esta cantidad es un vector, llamado vector de onda {\bf k}. Al vector {\bf k}/2\pi que juega el papel espacial análogo a la frecuencia podríamos, por analogía, llamarlo “repetencia”). El módulo del vector {\bf k} se denomina habitualmente número de onda, pero es preferible llamarlo ondulación, que subraya el paralelismo con la pulsación: la ondulación es el ángulo de fase del fenómeno en una unidad de longitud en la dirección de propagación de la onda, o, mejor, el ritmo espacial del cambio de la fase de la onda.

Por el otro lado, el aspecto “corpuscular” de cualquier fenómeno está descrito por dos cantidades: la energía E y el momento lineal {\bf p} que tienen los constituyentes individuales del fenómeno, vistas como partículas.

La conexión básica entre los aspectos partícula y onda (o quizás mejor, partícula y campo) de un objeto cuántico, un quanton, afirma que ambos grupos de cantidades, energía y momento por un lado, frente a pulsación y vector de onda son universalmente proporcionales, con la constante de Planck reducida \hbar = h/2\pi como constante de proporcionalidad:

E = \hbar\, \omega, \qquad {\bf p} = \hbar\, {\bf k}

La relación entre la energía y la pulsación se conoce como relación de Planck–Einstein; la segunda es la nueva relación introducida explícitamente por DeBroglie. Para los fotones, la segunda relación se deriva de la primera, y la contribución de DeBroglie consistió no tanto en introducir la segunda relación sino en extender el rango de aplicabilidad de ambas ecuaciones a todos los objetos cuánticos, hubieranse visto hasta entonces como partículas o como ondas.

Es ahora el momento de ver cómo estas ideas, aparentemente alejadas de la realidad, conducen a una explicación de la estabilidad de los átomos.

La universalidad de la Mecánica Cuántica significa que un electrón en un átomo, que antes imaginábamos exclusivamente como una partícula, se comporta de una nueva manera, algunas de cuyas características son las que en Mecánica Clásica tenían las ondas.

Y así, un electrón en un átomo comparte con las ondas clásicas la propiedad de poder existir solamente en un cierto conjunto cuantificado de estados discretos, cada uno de los cuales oscila en el tiempo con una frecuencia determinada. No todas las frecuencias, sino solamente un conjunto discreto de valores aparecen como posibles para un electrón en un átomo. Las órbitas de Bohr se entienden intuitivamente con ayuda de esta idea como aquellas “ondas estacionarias” que contienen un número entero de longitudes de onda completas, exactamente la misma situación que determina las frecuencias posibles de una cuerda vibrante. Es esta idea de estacionaridad la que contiene la clave para entender la estabilidad de los átomos. El electrón en uno de esos estados no “es” una partícula moviéndose, sino una distribución estacionaria de carga. El electromagnetismo de Maxwell no solo permite, sino que predice, que tal distribución no radia energía. Se evita así la catastrófica caída en un brevísimo tiempo que se daría si el electrón fuera una partícula.

Mediante la relación de Planck-Einstein la cuantificación de las frecuencias se transforma en una cuantificación de las energías, y la emisión / absorción de un fotón resulta de la transición entre dos de estos estados con energías E_m = h \nu_m, E_n = h \nu_n, en la cual se libera o se absorbe la energía correspondiente E_m-E_n. He aquí la esperada “explicación” del modelo de Bohr.

Un electrón en un átomo no puede ir perdiendo energía continuamente, como nos dirían la mecánica y el electromagnetismo clásicos para un electrón-partícula. No lo puede hacer nunca de manera continua mientras se encuentre en un estado estacionario de energía E_n, y desde él solamente lo podrá hacer mediante saltos de cuantías E_m-E_n desde el estado que se encuentre, pasando tras el cambio al nuevo estado estacionario E_m. Y por tanto no puede perder energía en absoluto cuando se encuentra en su estado estacionario de menor energía, en el que tampoco radia: este es el mecanismo que garantiza la estabilidad del átomo. Tal estado es lo que se conoce como el estado fundamental del átomo; la importancia de la idea de estado fundamental es extraordinaria.

Por decirlo en un casi-tuit, la hipótesis atómica consiste en asegurar que hay elementos discretos mínimos de materia, y la explicación de la estabilidad de los átomos radica en que las energías que puede tener un átomo están, ellas también, discretizadas, y la emisión y absorción de radiación se efectúa por “átomos de radiación”.

Lo anterior es la explicación contada de manera muy esquemática. Pero eso es lo que resulta al desarrollar de manera completa la teoría, que curiosamente es compleja, en el doble sentido de la palabra, de ser complicada y de emplear los números complejos {\mathbb C}. Y este doble sentido, además de ser un juego de lenguaje, parece también una característica esencial de la naturaleza.

Pero de esto habrá que hablar otro día.

Este post, “Del átomo al Higgs II: Cuantificación y la estabilidad del Átomo” forma parte de una serie. Este enlace lleva al post sucesivo. Si quiere saltar directamente a otro post de la serie, puede usar los enlaces directos a cada entrada.

O Átomos y vacío: donde Demócrito conoce a Higgs
I Los átomos de la materia ordinaria
II Cuantificación y la estabilidad del Átomo
III Espín, Bosones y Fermiones
IV La electrodinámica cuántica y los primeros ejemplos de la teoría cuántica de campos
V El nacimiento de la idea de las cuatro interacciones fundamentales
VI El Zoo de partículas y los primeros intentos de describir las interacciones fuerte y débil
Interludio: Los Nobel en la historia del átomo al Higgs
VII Dificultades iniciales de las teorías gauge entre 1954 y 1961
VIII Los quarks, desde su propuesta hasta su “descubrimiento” (1961 a 1974)
IX El campo de Higgs y el mecanismo de Brout-Englert-Higgs
X La libertad asintótica y la Cromodinámica Cuántica
Interludio: ¿Pero qué hay realmente en un protón?
Interludio. Calculando la masa del protón
XI El actual modelo estandar a vista de pájaro
XII 1898-1995, un siglo descubriendo partículas …
XIII Búsqueda y hallazgo del bosón de Higgs
Del átomo al Higgs: Para saber más
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4 respuestas a Del átomo al Higgs II: Cuantificación y la estabilidad del Átomo

  1. Fdsa dijo:

    Música para los oídos, de la mente.

  2. Pingback: Del átomo al Higgs V: El nacimiento de la idea de las cuatro interacciones fundamentales | Una vista circular

  3. Javier Sandonís dijo:

    En la relación energía – frecuencia debería aparecer h y no h-barra. Es en la relación energía – pulsación donde aparece h-barra.

  4. Por supuesto Javier. En el lugar del post al que creo que te refieres, en el texto se dice que ‘ambos grupos de cantidades, energía y momento por un lado, frente a pulsación y vector de onda son universalmente proporcionales, con la constante de Planck reducida [h barra] como constante de proporcionalidad‘. Ese texto es correcto, pues. Lo que sí es una errata que me había pasado inadvertida, y es lo que acertadamente señalas, es que en la formula a continuación quien debiera aparecer no es la frecuencia, sino la pulsación, como se dice en el texto. Voy a corregirlo cambiando esa nu por una omega. Muchas gracias por detectar la errata y advertirla en un comentario. Y si detectas alguna otra incorrección o error en otro lugar del blog, te agradezco mucho que lo comentes para poderlo corregir.

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