Sorpresas en las sumas infinitas (VI): La sumación axiomática.

¿’Sumando’ otras series divergentes?

El procedimiento de Cesàro permite asignar ‘suma’ a algunas series divergentes (a las que el procedimiento tradicional no lo hace). Pero hay otras muchas series divergentes que no son sumables con tal procedimiento: no es sumable Cesàro la serie 1+1-1+1+1-1+1+1-1+…. que resulta de una reordenación de la serie de Grandi, ni la serie 1-2+3-4+5-6+… . Tampoco son sumables en ese sentido la 1+1+1+1+1+… ni la 1+2+3+4+5+6+… ; con la definición tradicional de suma de una serie, ambas son divergentes, y como sus sumas parciales no están acotadas, podríamos decir que ‘divergen’ a +∞,  en contraste con la divergencia de la serie 1-2+3-4+5-6+…, que se debe a  que la sucesión de sus sumas parciales es oscilante y no tiene límite cuando k→∞.

Así que podemos imaginar la existencia de otros procedimientos que permitan asignar ‘suma’ a cada vez más series. Para cada uno de esos procedimientos de sumación muchas  de las propiedades familiares de las sumas ordinarias (que eran correctas para sumas finitas y lo siguen siendo  para  la suma de Cauchy de las series absolutamente convergentes), aquí simplemente ya no son válidas.

La primera observación relevante es que, tratándose de series divergentes, lo que llamamos ‘sumas’  lo son necesariamente en un sentido diferente del tradicional. En uno de los primeros posts de la serie ya mencioné que para las ‘sumas’ de series divergentes habría sido preferible usar otro término en vez de suma, algo que Euler propuso pero que desafortunadamente no prosperó.  Así que hay que hacerse a la idea de que aunque sigamos empleando el mismo nombre suma para el valor asignado mediante cierto procedimiento a una serie divergente, su definición y propiedades puedan ser bastante diferentes de las de las sumas ‘ordinarias’ finitas o las sumas de Cauchy de las series convergentes. Además, para diferentes series divergentes, estas ‘sumas’ pueden serlo en sentidos diferentes entre sí.

En ese espíritu podríamos pasar ahora revista a varios procedimientos alternativos de sumación, entre los que destacamos el de Cesàro que describimos en el post anterior, los de Cesàro de orden superior 2, 3, … n, … y el de Abel.

Describir uno a uno estos procedimientos (u otros) no es necesario para ir al corazón del asunto y adquirir cierta visión de conjunto. Quizás ni siquiera es conveniente.
Baste decir de momento que a grandes rasgos es acertada la imagen de que mediante diferentes procedimientos se va consiguiendo asignar ‘suma’ a cada vez más series divergentes (aunque siga habiendo muchas otras series divergentes a las que ninguno de esos procedimientos puede asignar suma).

De entrada ésto origina una dificultad conceptual, que ni se plantea con las sumas finitas: ¿tiene algún sentido comparar entre sí las sumas de diferentes series divergentes, que posiblemente se hayan asignado mediante diferentes procedimientos? Esa pregunta se hace más intrigante cuando al estudiar esos procedimientos comienza a emerger un hecho a primera vista inesperado: si una serie es sumable con varios procedimientos diferentes, ocurre con frecuencia que cada uno de esos diferentes procedimientos asigne a la serie dada la misma ‘suma’. Antes de continuar es necesario entender porqué ocurre ésto, sobre todo teniendo en cuenta que los procedimientos pueden ser bastante diferentes entre sí. La indagación sobre este asunto nos conduce a dos ideas relevantes: la existencia de una  ‘jerarquía‘ entre diferentes procedimientos y la idea de sumación axiomática.

Se dice que un procedimiento de sumación S2 es más fuerte que otro S1 si todas las series sumables en el procedimiento S1 son también sumables, con la misma ‘suma’, con el procedimiento S2. La condición contenida en esa definición no dice nada sobre el comportamiento en S2 de las series que no sean sumables con el procedimiento S1: en S2 esas series pueden ser o no sumables  y si lo son, nada se sabe de antemano sobre su suma. Conviene pensar en esta relación como un análogo a la condición de regularidad; de hecho usando éste nuevo término, podemos caracterizar los procedimientos de sumación regulares como  aquellos que sean más fuertes que el procedimiento de Cauchy.

Se puede demostrar que el procedimiento de Cesàro que describimos en el post anterior, los de Cesàro de orden superior 2, 3, … n, … y el de Abel forman, así ordenados, una jerarquía infinita en la que cada procedimiento es más fuerte que el anterior. De manera que todas las series que sean sumables en alguno de estos procedimientos lo serán necesariamente en aquellos de los demás que sean más fuertes, incluyendo el más fuerte de todos, el de Abel; cada serie tendrá la misma suma en todos los procedimientos de esa jerarquía en los que sea sumable. Naturalmente, puede perfectamente ocurrir que una serie divergente dada no sea sumable en ninguno de dichos procedimientos.

Si ahora nos entretenemos en ver qué propiedades tiene la ‘suma’ en cada uno de los procedimientos de la jerarquía mencionada en el párrafo anterior, nos encontramos con que en todos ellos la ‘suma’ es regular, lineal y estable, esto es, tiene las mismas tres propiedades 0, 1 y 2 que para la sumación de Cesàro discutimos con detalle en el post anterior. Esto nos lleva a la idea de  sumación axiomática, a la que dedicamos éste post.

La sumación axiomática

El paso del procedimiento de Cauchy al de Cesàro va inevitablemente acompañado de la pérdida de varias de las propiedades que son válidas para las sumas finitas y que resultaban serlo también para las sumas de series absolutamente convergentes. Así que podríamos sospechar que perder alguna propiedad más sea el precio a pagar por cualquier nuevo procedimiento que permita asignar suma a series a las que el procedimiento de Cesàro no lo haga.

Un ejemplo que ya presentamos en un post anterior indica que esta sospecha no va totalmente descaminada. Ningún procedimiento que pueda asignar una suma (finita) S a la serie 1+1+1+1+….  puede tener la propiedad de inserción del elemento inicial (o estabilidad). Si lo tuviera, tras insertar un 1 inicial la suma sería 1+S, pero la serie es la misma original; no hay ningún número real que satisfaga S = 1+S. Por supuesto, el símbolo ∞ ‘satisface’ esa ecuación, de manera que decir 1+1+1+1+…. = ∞, (lo que es lo mismo que decir que la serie 1+1+1+1+…. ‘diverge’ a +∞) es evidentemente correcto. Pero ∞ no es un número real (finito), que es lo que ahora buscamos como ‘suma’. Aunque parece que la propiedad 2 de inserción del elemento inicial debe ser la esencia de cualquier suma, la realidad es que se trata de una propiedad traicionera, a la que en general hay que renunciar si queremos asignar ‘suma’ a la mayor parte de las series divergentes.

El ejemplo de la serie 1+1+1+1+…. es demasiado extremo, y podría ser incluso desorientador si nos llevara a pensar que más allá del de Cesàro, cualquier nuevo procedimiento de sumación debe inevitablemente perder alguna de las propiedades 0, 1 y 2  de las sumas. No es así. Recordemos que el post anterior se vió que la suma de Cesàro conserva las tres propiedades de regularidad, linealidad e inserción del elemento inicial (etiquetadas 0, 1 y 2 en el post que dedicamos a describir las posibles propiedades de las sumas de series). Resulta, y se puede demostrar sin gran dificultad, que en todos los procedimientos que hemos mencionado al comienzo de éste post: los de Cesàro, Cesàro de orden 2, 3, …, n, …, y Abel,  las tres propiedades 0, 1 y 2 son válidas para la ‘suma’. Así que la pérdida de propiedades al considerar nuevos procedimientos que permitan sumar más y más series no es tan extrema como sugiere el ejemplo del párrafo anterior, ni mucho menos.

Para todos esos procedimientos ya hemos mencionado que ocurre un hecho que solo a primera vista es inesperado: que todos los  procedimientos de esa ‘jerarquía’ con los que una determinada serie es sumable, le asignan el mismo valor como suma. La explicación de tan curioso fenómeno es que, una vez se sabe que tal serie es sumable en uno de los  procedimientos de esa jerarquía,  el valor asignado depende tan solo de que las propiedades 0, 1 y 2 se verifiquen. Los detalles de cada procedimiento concreto no son relevantes a la hora de determinar el valor asignado como suma, y simplemente pueden discriminar si una serie dada es o no sumable en tal o cual procedimiento. Pero una vez asegurado que la serie es sumable en alguno de ellos, para determinar el valor asignado como ‘suma’ basta suponer que tal ‘suma’ verifica esas tres propiedades.

Si a una determinada serie que sea sumable en algún procedimiento de sumación para el cual sean válidas las propiedades 0, 1 y 2, se le puede asignar una suma de manera inambigua simplemente suponiendo que para tal dicha ‘suma’ las tres propiedades 0, 1 y 2 son válidas (eludiendo la aplicación detallada de ese procedimiento concreto de sumación), diremos que la serie admite suma según la sumación axiomática. Nótese el cambio de énfasis: la sumación axiomática no es tanto un procedimiento concreto de sumación como un metaprocedimiento.

Que las estructuras matemáticas pueden/deben  definirse por las propiedades que satisfacen las ‘operaciones’ que caracterizan esas estructuras es una idea fundamental que hace tiempo ha calado en las Matemáticas; la sumación axiomática debe verse en ese contexto.

La idea es condicional y es esencial entender esta condicionalidad correctamente. Se trata de comenzar suponiendo que la serie es sumable en algún procedimiento que tenga esas tres propiedades, y que por tanto se le puede asignar como ‘suma’ un valor finito S. Ahora se juega con esa serie, si es necesario junto con otras de las que ya sepamos que son sumables en el mismo sentido (lo que incluye a todas las convergentes), aplicando exclusivamente las propiedades 0, 1 y 2. Puede ocurrir que procediendo así se acabe llegando a alguna contradicción (lo que, por reducción al absurdo, nos indicaría que la serie dada no era sumable en el sentido de la sumación axiomática). Pero si realmente la hipótesis de que la serie era sumable es correcta (lo que habría que asegurar independientemente de alguna otra manera) entonces esta estrategia determina un único valor de S, que nos informa de que la ‘suma’ de la serie es S (lo que denotaremos cuando sea necesario enfatizarlo con = S (Ax)).

Es más fácil entender este proceso viéndolo en un ejemplo. Voy a tomar una serie de la que sabemos que es convergente y conocemos su suma: 1/2+1/4+1/8+1/16+…. = 1, pero de la que vamos ahora a ignorar que sabemos que es convergente y que conocemos su suma.

Supongamos pues que esa serie es sumable mediante algún procedimiento englobado en la sumación axiomática y llamemos S a su suma 1/2+1/4+1/8+1/16+…. = S. Insertando un 1 inicial, y aplicando la propiedad 2, tenemos que 1/1+1/2+1/4+1/8+1/16+…. = 1+S. Multiplicando la serie original por el factor 2, por la propiedad 1 de linealidad, tendremos  2(1/2+1/4+1/8+1/16+…. ) = 2 S, que desarrollada da 1/1+1/2+1/4+1/8+1/16+…. = 2 S. Así hemos obtenido dos series iguales, que deben tener la misma suma, de donde S debe satisfacer 1+ S = 2S. Esta condición implica S=1. De aquí lo más que podemos concluir es que si la serie  1/2+1/4+1/8+1/16+…. es sumable mediante sumación axiomática, el único valor posible que puede tener su suma es 1. Para concluir que 1/2+1/4+1/8+1/16+…. = 1 necesitamos demostrar previamente que esa serie es sumable con algún procedimiento de los englobados en la sumación axiomática; en este ejemplo bastaría comprobar que se trata de una serie convergente.

En resumen, las manipulaciones hechas a una serie empleando solamente las propiedades 0, 1 y 2  a lo sumo pueden determinar el único valor que podría tener la ‘suma’ de esa serie en caso de que tal serie fuera sumable con algún procedimiento para el que las propiedades 0, 1 y 2 sean válidas. Concluir que ese valor es realmente la ‘suma’ requiere haber comprobado de manera independiente que efectivamente tal serie es sumable.

¿Qué relación hay entre ser sumable mediante el procedimiento de Cesàro y ser sumable mediante sumación axiomática? De entrada está claro que cualquier serie sumable con el procedimiento de Cesàro debe necesariamente también serlo con la sumación axiomática (pues el procedimiento de Cesàro satisface las propiedades 0, 1 y 2). Pero el recíproco no tiene por qué ser cierto: es perfectamente posible que una determinada serie sea sumable mediante sumación axiomática, sin serlo en el procedimiento de Cesàro. En otras palabras, la sumación axiomática permite una ampliación adicional del conjunto de series sumables, incluyendo más series divergentes sumables que el de Cesàro, y lo hace sin perder ninguna de las tres propiedades 0,1 y 2. Un ejemplo de una serie que no es sumable Cesàro pero sí lo es con sumación axiomática, es la serie 1-2+3-4+5-6+… que veremos enseguida.

Volvamos a dar otro ejemplo del uso de la idea de sumación axiomática, ahora sobre la serie (divergente) de Grandi, e ignoremos por el momento que sabemos que esa serie es sumable con el procedimiento de Cesàro, con suma 1/2. Supongamos pues que es sumable en algún procedimiento que tenga las propiedades 0, 1 y 2, con  ‘suma’ S desconocida, lo que escribiremos como 1-1+1-1+1-1+…. = S  (Ax), igualdad que ahora habrá que entender ‘en el sentido de la sumación axiomática’. Por la hipótesis 1 de linealidad, multiplicando la serie de Grandi por el factor escalar -1 tendremos que (-1)(1-1+1-1+1-1+….) = -S, lo que podemos reescribir como -1+1-1+1-1+1-1+…. = -S. Ahora en esa serie insertamos un +1 inicial, lo que por la hipótesis 2 lleva a que 1-1+1-1+1-1+1-1+…. = 1 – S; nótese que esta última serie es de nuevo la de Grandi, cuya suma hemos supuesto era S. Así que los dos valores S y 1 – S que hemos obtenido como ‘suma’ de la misma serie de Grandi deben ser iguales, lo que implica que S debe satisfacer S = 1 – S. Naturalmente, esta relación tiene una única solución que es S=1/2. Esto indica que si la serie de Grandi es sumable con alguno de los procedimientos englobados en la sumación axiomática, 1/2  es el único valor posible para la ‘suma’.  Por supuesto, ése es el mismo valor que el procedimiento de Cesàro asignaba a esa serie.

Es importante apreciar que en las manipulaciones efectuadas no se hace ninguna agrupación, ni reordenación y nos hemos limitado, exclusivamente, a emplear las propiedades 1 y 2, que son las que, precisamente por hipótesis, son válidas en la sumación axiomática.

Es ahora evidente que no hay nada de sorprendente en que el valor asignado a esa serie mediante la sumación axiomática coincida con su suma de Cesàro. Si la serie de Grandi es sumable en sentido de Cesàro con suma 1/2, dado que ese procedimiento satisface las propiedades 0, 1 y 2, sería imposible que aplicando solamente las propiedades 0, 1 y 2 a series que sean sumables en sentido de Cesàro llegaramos a otro valor diferente para la suma de dicha serie.

¿Ocurrirá lo mismo para cualquier otra serie que sea sumable en sentido de Cesàro? El argumento anterior indica claramente que sí.

Y, finalmente, ¿puede ocurrir que una serie no sea sumable en sentido de Cesàro pero sí lo sea con sumación axiomática? La respuesta es sí.

Veamoslo con el ejemplo de la serie 1-2+3-4+5-6+…. .  En el post anterior indicamos que esa serie no es sumable en sentido de Cesàro: la sucesión de sumas parciales es 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, …. y la de medias parciales es 1, 0, 2/3, 0, 3/5, 0, … que se reconoce como una sucesión no convergente, así que esa serie no es sumable Cesàro. Vamos a ver ahora que, usando la sumación axiomática, la única ‘suma’ posible de esa serie es S=1/4.  La comprobación es fácil: supongamos que la serie 1-2+3-4+5-6+…. es sumable en alguno de los procedimientos englobados de la sumación axiomática, con suma S, 1-2+3-4+5-6+…. =  S (Ax). Insertando un 0 inicial, y en virtud de la propiedad 2, tenemos 0+1-2+3-4+5-6+…. =  0+S = S (Ax). Por linealidad ahora, sumando término a término las dos series precedentes obtenemos 1-1+1-1+1-1+1-…. = 2S. Pero ésta última serie es la de Grandi, cuya suma con sumación axiomática es 1/2. De donde se obtiene que (en el sentido de la sumación axiomática) el único valor posible S para la ‘suma’ de la serie 1-2+3-4+5-6+…. es S = 1/4 (Ax).

Precaución: de lo anterior no podemos concluir que 1/4 sea el valor de la ‘suma’ sin antes haber asegurado que se verifica la condición en la que se basa tal asignación, esto es, que esa serie es sumable en alguno de los procedimientos englobados en la sumación axiomática. Y efectivamente, se puede comprobar directamente que esa serie es sumable en el procedimiento de Cesaro de segundo orden, que es la variante del de Cesàro que introduce una etapa adicional de promedios de las medias de Cesàro.

La comprobación directa es tediosa pero no tiene dificultad: para la serie 1-2+3-4+5-6+…. la sucesión de las sumas parciales es oscilante 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 5, -5, 6, -6, …. y la de las medias parciales 1, 0, 2/3, 0, 3/5, 0, 4/7, 0, 5/9, 0, 6/11, …. también es oscilante con los términos pares nulos y los términos impares tendiendo por su lado a 1/2. Si ahora se calcula la sucesión de las medias parciales de segundo orden se obtiene 1, 1/2, 5/9, 5/12, 34/75, 17/45, 298/735, 149/420, 1069/2835, 1069/3150, 13649/38115, 13649/41580, …. que se comprueba es convergente. Esto basta para garantizar el carácter sumable de la serie; naturalmente resulta que la sucesión de las medias parciales de segundo orden converge al valor 1/4.

Lo que nos interesa destacar ahora son dos cosas: una, que la sumación axiomática permite sumar más series que el procedimiento de Cesàro. Y otra, que la sumación axiomática delimita una extensión natural de la idea de suma finita que habiendo perdido tres propiedades de las sumas finitas (las etiquetadas 3, 4 y 5) aún conserva dos propiedades básicas, la linealidad y la inserción del elemento inicial; fuera de la sumación axiomática necesariamente deberemos renunciar a alguna de estas dos propiedades. Así que ya hemos identificado dos clases generales de series  a las que se puede asignar ‘suma’: las convergentes y las sumables mediante sumación axiomática.

Desde luego hay series que no son sumables con sumación axiomática. Un solo ejemplo: ningún método de sumación que tenga la propiedad 2 podrá asignar suma a la serie divergente 1+1+1+1+1+….. Tampoco la serie 1+2+3+4+5+6+… es sumable con la sumación axiomática; es posible concluir una contradicción simplemente jugando con esa serie y suponiendo que esa ‘suma’ satisface las propiedades 0, 1 y 2. De hecho, las series sumables con sumación axiomática son proporcionalmente muy pocas entre el conjunto de todas las series.

Resumimos las ideas esenciales de la sumación axiomática: resulta que existen procedimientos de sumación, diferentes entre sí, que tienen en común el que para ellos la ‘suma’ de las series verifica las tres propiedades 0, 1 y 2. Basta con que una serie determinada sea sumable en alguno de esos procedimientos, con suma S, para que necesariamente lo sea mediante sumación axiomática, con el mismo valor S como suma. Y entonces, con cada uno de los restantes procedimientos que verifican las tres propiedades 0, 1 y 2, esa serie podrá ser sumable o no. Pero si lo es, su suma en ese procedimiento será necesariamente S.

Queda clara entonces la afirmación de que la ‘sumación axiomática’ en cierto sentido es un metaprocedimiento de sumación, que engloba a cualquier procedimiento concreto para el cual se verifiquen esas tres propiedades, pero que es condicional: a lo sumo conduce al único valor que podría tener la ‘suma’ de la serie, pero no puede determinar por sí solo si la serie es sumable o no. Y ésto explica porqué procedimientos en apariencia muy diferentes, cuando asignan suma a una serie dada, le asignan el mismo valor como suma: esto ocurre siempre que la serie sea sumable en diferentes  procedimientos que satisfagan las tres condiciones 0, 1 y 2.

En resumen, resulta que calcular la suma axiomática de series divergentes es mucho más simple que la de las convergentes.

 

Este post forma parte de una serie. Si quiere saltar directamente a otro de la misma serie, puede usar los enlaces siguientes, directos a cada entrada.

I ¿Qué sorpresas esconden las sumas infinitas?
II: Arquímedes, Oresme, Madhava
III: ¿Qué sentido tiene una suma infinita?
IV: ¿Qué propiedades puede tener una suma infinita?
V: El procedimiento de sumación de Cesàro.
VI: La sumación axiomática
VII: ¿ 1+2+3+4+…=-1/12 ?: Mathologer vs. Numberphile
VIII: Revisitando 1+2+3+4+…=-1/12 (?)

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