Sorpresas en las sumas infinitas (V): El procedimiento de sumación de Cesàro.

Muchas de las discusiones sobre suma de series divergentes comienzan con la serie 1-1+1-1+1-1+…., en cuyos términos alternan +1 y -1 de manera periódicamente repetida. Esta serie se conoce como serie de Grandi y tiene una interesante historia. Como no es convergente, carece de sentido asignarle suma en el sentido tradicional de Cauchy. Lo que no debe entenderse como que no se le pueda asignar ‘suma’ en algún otro sentido.

Si, procediendo de manera desinformada, entendemos literalmente el símbolo 1-1+1-1+1-1+…. como resultado de la iteración de una suma ordinaria, suponiendo implícitamente que todas las propiedades que las sumas finitas se siguen verificando (lo que es una postura no solo injustificada sino además incorrecta), las contradicciones están servidas. Veámoslo antes de entrar en materia. Si suponemos que para ‘calcular la suma’ los términos se pueden agrupar de cualquier manera, la agrupación por parejas (1-1)+(1-1)+(1-1)+….. = 0+0+0+… conduciría a que la suma de tal serie sería 0. Otra agrupación por parejas en la que se deja aislado el primer término es 1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+…. = 1+0+0+0+…., que conduciría a una suma 1. Si suponemos además que los sumandos también se pueden reordenar de cualquier manera (lo que de hecho ocurre en las sumas finitas), podríamos trasladar y agrupar un cierto número N de sumandos +1 al comienzo, concluyendo, tras la agrupación obvia de todos los restantes en parejas +1-1, que la suma sería N. También podríamos trasladar sumandos -1 de manera que la serie comience por N términos -1, y luego agrupar los demás por parejas como antes, con lo que la suma sería -N. Literalmente, parecería que la suma buscada podría ser cualquier número entero.

¿Debemos tomarnos en serio estas manipulaciones? Desde luego que no. Al contrario, la exploración anterior nos sugiere seriamente que las posibles ‘sumas’ de series divergentes, como la de Grandi, no pueden tener la propiedad de mantener la suma si en la serie hacemos alguna agrupación o reordenación. En los posts anteriores hemos ido preparando el camino para éste reconocimiento con algunas ideas generales.

Es ahora un buen momento para descender a concretar esas ideas generales sobre un ejemplo de un procedimiento de sumación. En éste post me voy a limitar al procedimiento de Cesàro, que seguramente es la posibilidad más sencilla para asignar sentido alternativo al símbolo se suma infinita a1+a2+a3+a4 +… ; además es una buena elección para la linea argumental que desarrollaremos en los posts que seguirán a éste, ya que la suma de Cesàro es el primer ejemplo de una ‘suma suavizada’, idea que irá adquiriendo importancia en el resto de ésta serie de posts.

Proceder al cálculo de algunas ‘sumas’ empleando en plan fuerza bruta la definición del procedimiento de Cesàro nos va a permitir ver en vivo cómo se pierden para esas ‘sumas’ varias de las propiedades de las sumas finitas (además de la de reordenación, que según vimos en el post anterior se había perdido ya incluso en las series convergentes condicionalmente).

El procedimiento de sumación de Cesàro

Sea una serie a1+a2+a3+a4 +… con sumas parciales sk := a1 + a2 + … + ak. Vamos a dar un nuevo sentido, diferente del de Cauchy, al símbolo de ‘suma infinita‘ a1+a2+a3+a4 +… definiendo un nuevo procedimiento de sumación. Recordemos que en el de Cauchy declarábamos que la serie tenía suma si la sucesión de las sumas parciales (cada una de las cuales es una suma finita) era convergente, y llamábamos suma (de Cauchy) de la serie al límite cuando k→∞ de esa sucesión sk de sumas parciales.

Ahora, en vez de preguntarnos sobre la convergencia de la sucesión de las sumas parciales, vamos a construir una nueva sucesión auxiliar, denotada σk, cuyos términos se definen como las medias aritméticas del conjunto de las k primeras sumas parciales. Esto es, por definición:

σk := (s1 + s2 +….+ sk)/k.

Estas cantidades se llaman medias parciales de Cesàro o promedios de Cesàro de la serie inicial. Ahora, por definición, decimos que la serie inicial a1+a2+a3+a4 +… es sumable en sentido de Cesàro si la sucesión de las medias parciales de Cesàro σk es convergente, y si ese es el caso, al límite cuando k→∞ de la sucesión σk se le denomina ‘suma en sentido de Cesàro’ de la serie inicial.

Ernesto Cesàro (1859-1906)

A primera vista se trata de un curioso retorcimiento, con cierta semejanza a la definición de Cauchy, pero empleando una etapa auxiliar más. Realmente éste nuevo procedimiento no está realmente tan alejado del de Cauchy: se puede demostrar que cualquier serie convergente es necesariamente sumable en sentido de Cesàro y su suma de Cesàro coincide con la suma tradicional.

En otras palabras: aunque el procedimiento de sumación de Cesàro pueda parecer rebuscado, el valor de la suma asignada a una serie convergente no habría cambiado si en vez de definir dicha suma mediante la asignación tradicional de Cauchy, la hubiéramos definido inicialmente mediante el nuevo procedimiento de Cesàro. Recordemos que uno de los leitmotiv de los posts anteriores ha sido insistir en que el símbolo a1+a2+a3+a4 +… inicialmente está desprovisto de significado, y por ello somos nosotros quienes debemos darlo, lo que deja abierta la posibilidad de hacerlo de diferentes maneras (algo que no puede ocurrir con las sumas finitas). Seguramente no sería aceptable llamar ‘suma’ a algo que para series convergentes condujera a otro valor diferente de la suma de Cauchy, ya que es claro que la manera de Cauchy es, con mucho, la más ‘natural’ forma de definir la suma de una serie. Y ya que para series convergentes la definición de suma de Cesàro  conduce al mismo valor de la suma que la tradicional, esto quiere decir que esa definición no puede considerarse menos aceptable que la tradicional.

Ahora conviene preguntarse: ¿qué ventajas podrían seguirse de sustituir la definición de suma de una serie según el procedimiento tradicional de Cauchy por la definición de la ‘suma en sentido de Cesàro’? Podría parecer que no hay ninguna ventaja. Y no la habría si el procedimiento de Cesàro se limitara a asignar suma a las series convergentes. La gracia del asunto estriba en que éste nuevo procedimiento permite asignar ‘suma’ a algunas series divergentes, a las que el procedimiento tradicional no lo hace.

Un ejemplo sencillo de tal circunstancia es la serie de Grandi 1-1+1-1+1-1+….. que no es convergente, por lo que carece de sentido asignarle suma en el sentido tradicional. Pero con el procedimiento de Cesàro, la serie de Grandi es sumable con valor 1/2.

Una advertencia importante: La mayor parte de las dificultades en este asunto de ‘sumar’ series divergentes se derivan de no reconocer que la ‘suma’ de una serie no es simplemente una suma finita ‘repetida infinitamente’ y de no especificar claramente el procedimiento con el que se asigna una suma a tal o cual serie. Si el resultado anterior se escribe 1-1+1-1+1-1+…. = 1/2 hay que sobreentender que esa igualdad se refiere a la sumación de Cesàro, y no a la de Cauchy en el cual el símbolo 1-1+1-1+1-1+…. carecería de sentido. Si se quiere ser inambiguo, deberíamos indicarlo escribiendo 1-1+1-1+1-1+…. = 1/2 (C), con el añadido (C) que explicita el sentido (en éste caso de Cesàro) de la igualdad. Como en éste post nos limitamos a hablar de la suma en sentido de Cesàro, para aligerar la lectura omitiré esa precisión.

Comprobemos paso a paso, empleando la definición, que la serie de Grandi es sumable en sentido de Cesàro: la sucesión de sumas parciales de la serie de Grandi es 1,0,1,0,1,0,1,0,…. que desde luego no es convergente. Si de la sucesión de las sumas parciales pasamos a la de las medias parciales de Cesàro, que es 1, 1/2, 2/3, 2/4=1/2, 3/5, 3/6=1/2, 4/7, 4/8=1/2, …. , se comprueba inmediatamente que esa sucesión converge a 1/2 (los términos que ocupan posiciones pares en la sucesión son de entrada iguales a 1/2, y los impares son las fracciones 1/1, 2/3, 3/5, 4/7, … que por su lado tienden también al mismo valor 1/2).

Así que según la definición que dimos al principio, efectivamente la serie de Grandi es sumable, y para su ‘suma en sentido de Cesàro’ se tiene:

1 -1 + 1 -1 + 1 -1 + …. = 1/2 (C)

Debe quedar claro que este valor 1/2 no resulta de ninguna suma individual ‘ordinaria’ de los términos individuales de la serie; su sentido es otro. Y también que la aparición de ese valor resulta de la propia definición, así que no es cuestión de buscar ninguna justificación adicional. Una tal pseudojustificación frecuentemente aducida es que, como las sumas parciales oscilan entre 0 y 1, debemos (?) tomar como suma total el valor intermedio entre ambos; tal justificación, por más que lleve al resultado correcto, es por completo irrelevante (aunque en su momento incluso Leibniz la empleara).

Basta éste ejemplo para confirmar que, comparado con el tradicional, el procedimiento de Cesàro amplía el conjunto de series a las que se puede asignar una ‘suma’, permitiendo hacerlo a algunas series divergentes. Y como es un procedimiento relativamente sencillo, nos va a permitir ver en vivo y directamente qué propiedades de la sumas finitas se conservan y cuales se pierden al emplear dicho procedimiento. Cosa que haremos empleando series adecuadamente escogidas (que van a servir como contraejemplos).

Lo que se pierde al pasar de la suma de Cauchy a la de Cesàro

Veamos, para comenzar, que este concepto de ‘suma’ no tiene la propiedad de asociación sucesiva. Tomemos la serie de Grandi 1-1+1-1+1-1+…., cuya suma de Cesàro ya sabemos que es 1/2, y consideremos la serie que resulta de ella haciendo agrupaciones por parejas (1-1)+(1-1)+(1-1)+….. La serie obtenida mediante esas agrupaciones es 0+0+0+…., que es convergente con suma ordinaria 0, y que, por ser convergente, es necesariamente sumable en el sentido de Cesàro, con suma de Cesàro 0. Así, ésta asociación de la serie de Grandi transforma una serie sumable con suma 1/2 en otra serie, también sumable, pero con una suma diferente. De manera que, en nítido contraste con la suma de Cauchy, que se mantiene al hacer asociaciones sucesivas en las series convergentes, vemos que tal propiedad no se verifica para la suma de Cesàro de series divergentes.

Por dar otro ejemplo de la misma situación, la serie que resulta agrupando la de Grandi como 1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+…. = 1+0+0+0+…., es también convergente, por lo que esta serie reagrupada es sumable Cesàro, con ‘suma’ igual a 1. Naturalmente, puede ocurrir que alguna agrupación particular conserve la suma de la serie: por ejemplo agrupando en bloques de tres tras el primer término, la serie agrupada es 1+(-1+1-1)+(1-1+1)+(-1+1-1)+… = 1-1+1-1+… que coincide con la serie inicial, y que por tanto tendrá la misma suma.

Para la suma de Cauchy de series convergentes, añadir o eliminar ceros como términos de la serie no modifica el valor de la suma. Educados como estamos en las sumas finitas, tal propiedad nos parece una de las características esenciales de la suma. Pero las cosas cambian cuando hablamos de sumas infinitas en una serie divergente: aquí la inserción (o eliminación) de un número infinito de ceros en posiciones arbitrarias en la serie en general modifica el valor de la ‘suma’. Esto se ve perfectamente si nos planteamos buscar la suma de Cesàro de la serie 1+0-1+1+0-1+….. que resulta al insertar ceros tras cada +1 en la de Grandi: es fácil ver que esa serie (que no es convergente), es sumable en sentido de Cesàro, pero su suma es 2/3, que es diferente de la suma de la serie de Grandi. Comprobémoslo: las sumas parciales de la serie en la que se han insertado ceros en las posiciones indicadas son 1,1,0,1,1,0,1,1,0,…. y las medias de Cesàro correspondientes son 1, 1, 2/3, 3/4, 4/5, 4/6=2/3, 5/7, 6/8, 6/9=2/3, …. sucesión que puede demostrarse sin dificultad que converge a 2/3.

Veamos ahora lo que ocurre con la serie obtenida de la de Grandi insertando ceros de una manera ligeramente diferente: no tras cada +1 sino tras cada -1. Esa serie es 1-1+0+1-1+0+1-1+0+…., cuyas sumas parciales son 1,0,0,1,0,0,1,0,0,… y cuyas medias de Cesàro son 1, 1/2, 1/3, 2/4, 2/5, 2/6=1/3, 3/7, 3/8, 3/9=1/3, …. que converge a 1/3. La suma de Cesàro de la serie 1-1+0+1-1+0+1-1+0+…. es pues 1/3. En resumen, insertando en la serie de Grandi  un solo 0 por cada pareja +1, -1, podemos obtener series con ‘sumas ‘2/3 y 1/3. Un resultado aparentemente más sorprendente es que puede conseguirse cualquier valor racional p/q entre 0 y 1 para la suma de Cesàro de la serie que resulta insertando en la serie de Grandi más ceros con diferentes patrones periódicos de orden. ¿Que esto no es nada intuitivo? Por supuesto. Cualquier asunto en el que intervenga el infinito es sutil.

¿Qué ocurre con la propiedad de reordenación? Como en el proceso de tratar de asignar suma a clases cada vez más amplias de series la propiedad de reordenación se pierde ya en las series condicionalmente convergentes, podemos sospechar que  la suma de Cesàro tampoco tenga la propiedad de reordenación. Y de hecho, no la tiene, como resulta claramente de los dos ejemplos anteriores, en los que dos series que se obtienen cada una como reordenación de la otra tienen diferentes sumas: 1+0-1+1+0-1+1+0-1+….. = 2/3 (C), pero 1-1+0+1-1+0+1-1+0+…. = 1/3 (C).

No solamente el valor de la suma de Cesàro cambia al reordenar, sino que  una reordenación adecuada también puede hacer que la serie deje de ser sumable (lo que es análogo a lo que también ocurría ya con las series condicionalmente convergentes). Veámoslo directamente: en la serie 1-1+1-1+1-1+…. , como tenemos infinitos +1 podemos reordenar sus términos de manera que haya dos +1 consecutivos, seguidos por un -1, y así sucesivamente. ¿Es sumable de Cesàro la serie 1+1-1+1+1-1+1+1-1+…. que resulta tras la reordenación? La sucesión de sumas parciales es 1, 2, 1, 2, 3, 2, 3, 4, 3, 4, 5, 4, 5, 6,…. y la de las medias parciales de Cesàro comienza 1, 3/2, 4/3, 6/4=3/2, 9/5, 11/6, 14/7=2, 18/8=9/4, 21/9=7/3, 25/10=5/2, 30/11, 34/12=17/6, 39/13=3, 45/14, …. que en éste caso se puede comprobar que como sucesión no es convergente (para lo que es suficiente ver que contiene como subsucesión a la 1,2,3,…). De manera que aunque la serie de Grandi sea sumable en sentido de Cesàro, la serie que resulta de ella por la reordenación recién descrita ya no es sumable en el sentido de Cesàro. Al margen, lo que los resultados anteriores sugieren es que para los procedimientos que permitan asignar ‘suma’ a series divergentes también vale un resultado análogo al lema de reordenación de Riemann, que  recuerdo, afirma que las series convergentes que no sean absolutamente convergentes pueden, mediante una reordenación, dar lugar a una serie convergente a cualquier valor prefijado o incluso a una serie divergente.

En resumen, a través de contraejemplos muy sencillos, hemos visto que la suma de Cesàro puede cambiar si en la serie divergente se efectúa una asociación sucesiva o si se insertan ceros, esto es, carece de las propiedades que en el post precedente en esta serie habíamos etiquetado como 3 y 4. Tampoco tiene la propiedad de invariancia por reordenación, etiquetada entonces como 5. La mejor manera de pensar en esta situación es enunciarla diciendo que al hacer una asociación, o al insertar ceros, o al reordenar una serie (afectando a infinitos términos en los tres casos) se obtiene otra serie, que puede tener otra ‘suma’.

Siendo el procedimiento de sumación de Cesàro relativamente cercano al procedimiento tradicional de Cauchy, y siendo los restantes procedimientos que podamos considerar seguramente más ‘alejados’, podemos esperar que en general ningún otro procedimiento alternativo de sumación tenga ninguna de esas tres propiedades. Lo que esto significa es que para las series divergentes, cualquier intento de asignar suma a una serie que presuponga cualquiera de estas propiedades (que la suma no cambie bajo asociación sucesiva, inserción de ceros y reordenaciones) es de entrada injustificado, y a los resultados que así se pudieran obtener (como los que mencionamos en el segundo párrafo de éste post) no puede concedérseles ninguna validez; la única validez garantizada debe resultar, exclusivamente, de que se aplique correctamente la definición y las propiedades de cada procedimiento.

Lo que se conserva al pasar de la suma de Cauchy a la de Cesàro

¿Qué ocurre con las otras tres propiedades de regularidad, linealidad e inserción del elemento inicial, que podrían tener las sumas infinitas y que etiquetamos en el post anterior como 0, 1, 2 respectivamente? (Por concisión, me seguiré refiriendo a esas propiedades por su etiqueta numérica). Ya mencionamos antes que para las series que sean convergentes la suma de Cesàro necesariamente coincide con la de Cauchy; esto se resume diciendo que la sumación de Cesàro es regular. También tiene las propiedades 1 (linealidad) y 2 (inserción del elemento inicial). Comprobarlo es muy sencillo: que la suma de Cesàro depende linealmente de la serie es casi tan inmediato como para la suma de Cauchy, ya que la etapa nueva en el procedimiento de Cesàro, que es considerar las medias parciales, es evidentemente lineal en la serie inicial. En cuanto a la propiedad 2, también es casi inmediata: si se inserta un elemento a0 en la primera posición, la sucesión de sumas parciales comienza por a0 y todos los demás términos son los anteriores incrementados en a0, por lo que cada media parcial también se incrementa en a0, y lo mismo hace el límite de la sucesión de medias parciales, si existe.

Podría parecer que entre todas las propiedades que en su momento listamos como válidas para las sumas finitas, perder las tres últimas y quedarnos solamente con la regularidad y las propiedades de linealidad y de inserción del elemento inicial, es un balance muy pobre. Pero hay que inclinarse ante lo inevitable: la modificación del procedimiento de suma de Cauchy que se hace al definir el de Cesàro nos obliga a renunciar a tres de las propiedades que sí que tenía el de Cauchy para las series absolutamente convergentes, permitiéndonos a cambio poder asignar ‘suma’ a algunas series divergentes.

Por circunscribir el ejemplo a la sumación en sentido de Cesàro, con la que hemos obtenido la ‘suma’ de la serie de Grandi, las propiedades válidas son la regularidad, la linealidad y la inserción del elemento inicial, y ninguna otra. Ninguna manipulación sobre la serie de Grandi que presuponga exclusivamente estas propiedades podrá conducir a ningún valor diferente de 1/2 para su ‘suma’. Pero si se dan como correctas (indebida e injustificadamente) alguna de las restantes propiedades (de agrupación, de inserción de ceros o de reordenación) que según hemos visto antes no se verifican para la suma de Cesàro, se podrían obtener otros valores, que desde luego no serán la suma de Cesàro de la serie de Grandi (por ejemplo, se podría ‘obtener’ cualquier valor entero, como resultaba de la argumentación aparentemente plausible pero completamente errónea que comentamos al comienzo de éste post). Con mayor motivo ocurrirá lo mismo si se utilizan indiscriminadamente todas las propiedades de las sumas finitas para otras series que requieren procedimientos en los que aún no hemos entrado, como la 1+2+3+4+5+6+…

Nuestra intuición está basada en las sumas finitas, pero las sumas de las series son otra cosa. No debemos tratar de forzar las matemáticas para que vayan de acuerdo con nuestra intuición, sino intentar asimilar lo que las matemáticas nos dicen, haciendo que nuestra intuición se adapte a las matemáticas.

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