Sorpresas en las sumas infinitas (VII) ¿ 1+2+3+4+…=-1/12 ?: Mathologer vs. Numberphile

Leía esta literatura como Darwin dice que leía cuando estaba trabajando en sus teorías sobre el origen de las especies, anotando todo aquello que no lograba comprender. ¿Qué necesitaría saber para entender […]? Yo leía haciéndome siempre la misma pregunta: Hay algo absurdo en esta imagen. ¿Qué necesitaría saber para entenderla?

.

Ruth Benedict. El Crisantemo y la Espada, 1946

Llegamos a este punto de nuestra exploración sobre las ‘sumas infinitas’ habiendo individualizado las principales fuentes de confusión (y de error) que surgen al tratar de atribuir ‘suma’ a series divergentes, y que consisten en ignorar a) que es necesario dar una definición de a qué llamamos suma de una tal serie, b) que son posibles diferentes definiciones, que quizás asignen ‘sumas’ diferentes a la misma serie, y c) que para cada una de las posibles definiciones debemos discernir, de entre todas las propiedades de las sumas finitas, aquellas que siguen siendo válidas para esas nuevas ‘sumas’ infinitas frente a otras propiedades que ahora dejan de serlo.

Eludir siquiera la mención a que tal discusión es necesaria es muy engañoso. No estoy diciendo que si se quiere presentar a un público ‘general’ alguno de los chocantes resultados que las matemáticas ofrecen en éste campo haya que exponer al completo todas y cada una de las muchas sutilezas que el asunto encierra. Pero debería hacerse alguna mención que haga sentir al lector/oyente que está ante un asunto complicado que requiere atención, una atención que por supuesto los matemáticos ya le han prestado. Y sobre todo, que disipe el absurdo de las ideas previas e implícitas que se pueda tener sobre la cuestión, que, como hemos visto, suelen ser las más profundamente erradas.

Pueden agruparse esas ideas incorrectas en dos grandes categorías. Una es la que se deriva de asumir, arrastrados por el uso del término ‘suma’, que tales ‘sumas’ son simplemente el resultado de iterar una suma ordinaria (finita) incluyendo cada vez más términos, y que, en consecuencia, no es necesaria ninguna nueva definición. Y la otra, que una tal suma tiene las mismas propiedades que las sumas finitas.

Incluso si no se añade ningún detalle adicional, es imprescindible comenzar aclarando que para las series divergentes no ocurre ninguna de las dos cosas del párrafo anterior. Digamos que se trata de advertir al lector o al oyente que uno se está adentrando en el terreno que para los no iniciados merece la leyenda de los antiguos mapas: Hic sunt leones. Pero ¿es eso lo que nos encontramos en los muchos sitios en los que se habla sobre la sorprendente relación matemática que aparece en el título de ésta entrada?

Para comenzar, veamos cómo plantea este asunto un post sobre la suma de ésta serie (no mencionaré la fuente, pero la reproducción es literal):

¿Cuánto da la suma de TODOS los números POSITIVOS?

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + … = ?

(Los puntos suspensivos significan que tenemos que sumar todos los números positivos hasta el infinito)

El mero uso del verbo ‘dar‘ en  la redacción de la pregunta “Cuánto da la suma” transmite al lector  de manera implícita (aunque eficacísima) que se está hablando del resultado de iterar sumas finitas, un sumando más en cada etapa y así ad infinitum. Y por si no quedara claro, el texto entre paréntesis remacha la idea sin dejar ningún lugar a la duda. La pretensión de que procediendo así se ‘obtiene’ -1/12 es, directamente, ridícula. Añadiendo uno a uno los enteros positivos las sumas parciales crecen sin límite, así que la única respuesta consistente con ese planteamiento (o mejor, con esa ausencia de planteamiento) sería que tal suma ‘da’ infinito. Que el valor -1/12 tenga algún otro sentido como ‘suma’ de esa misma serie (que por supuesto tiene) requiere otra manera de plantear el asunto.

Y ¿cómo compara en su planteamiento el video de Numberphile con el ejemplo anterior? Quien atienda a lo que se hace en ese video entenderá también que de lo que se trata es de sumar iteradamente todos los números naturales. El vídeo arranca, progresa y finaliza sin siquiera advertir en ningún momento que el símbolo a1 + a2 + a3 + .. + an + … de ‘suma infinita’ no viene automáticamente provisto de significado y que solamente lo adquiere después de haber dado una definición precisa de lo que se significa por tal ‘suma infinita’. Esa definición hemos de darla nosotros y necesariamente debe ser diferente de la definición habitual de suma de las series convergentes, que, ésta sí, está definida como el límite de las sumas finitas iteradas, de manera que en ese caso (y solo en ese caso de las series convergentes) desde un punto de vista conceptual la suma de una serie no se aleja demasiado de la idea implícita ‘ingenua’.

Precisamente porque el vídeo está dirigido a un público general, habría sido imprescindible advertir que las ‘sumas’ de series divergentes que en ese video se manejan son algo conceptualmente diferente de una repetición indefinida de sumas finitas. Bastaría decir eso; es lo que el lector no debe ignorar en ningún caso. Naturalmente, describir por completo los detalles adicionales —como hemos ido exponiendo en ésta serie de posts—, puede ser innecesario, o incluso contraproducente, dependiendo del (des)conocimiento previo del asunto que tenga el oyente del vídeo.

Sin haber siquiera mencionado esa cuestión, el video se embarca en una serie de manipulaciones que presuponen propiedades que son válidas para las sumas finitas, pero cuya validez para estas nuevas sumas debería estar en cuarentena. Primero se hacen ese tipo de manipulaciones con la serie 1-1+1-1+1-1+…., luego con la 1-2+3-4+5-6+…. y finalmente con la 1+2+3+4+5+6+…. En todos los casos, se usan algunas propiedades que el espectador debe aceptar como válidas (lo que no le será difícil, ya que tales propiedades se verifican para las sumas finitas), pero no se menciona siquiera el segundo hecho crucial: que para éstas ‘sumas’ infinitas, las propiedades de la suma a las que estamos habituados podrían no ser aplicables y probablemente no lo sean.

Nada de ésto se hace en la ‘demostración’  del video de Numberphile. La ‘excusa’ para tal proceder suele ser que ésto es el precio a pagar por conseguir un eventual efecto positivo de ‘interesar en las matemáticas’. Lo dice claramente A. Padilla, uno de los dos protagonistas del video, en un texto escrito como respuesta a las muchas críticas que el video levantó en la comunidad matemática:

There is an enduring debate about how far we should deviate from the rigorous academic approach in order to engage the wider public. From what I can tell, our video has engaged huge numbers of people, with and without mathematical backgrounds, and got them debating divergent sums in internet forums and in the office. That cannot be a bad thing and I’m sure the simplicity of the presentation contributed enormously to that. In fact, if I may return to the original question, “what do we get if we sum the natural numbers?”, I think another answer might be the following: we get people talking about Mathematics.

Pero un repaso superficial por los cientos de comentarios al video conduce a un razonable escepticismo sobre si ese ‘getting people talking about Mathematics‘ es realmente positivo. Es difícil eludir la impresión de que semejante afirmación tiene un cierto punto de autocomplacencia exenta de autocrítica. Veamos lo que Padilla tiene que decir sobre quienes objetan a su ‘prueba’ en el video:

To the second class of viewers who objected to my “proof” in the video, let me say this. I do not dispute that generically one cannot and should not manipulate divergent series in a cavalier manner. Indeed, as Abel said, “Divergent series are the invention of the devil, and it is shameful to base on them any demonstration whatsoever”. However, the fact is that the manipulations I did in the video break none of the three axioms laid down by Hardy in chapter 1 of his book Divergent Series.

El problema es que la última frase es, simplemente, muy debatible. En los posts anteriores hemos expuesto las tres propiedades que tiene la sumación de Cesàro y que pueden tener otros procedimientos de ‘suma’ de una serie divergente: se trata de las propiedades de regularidad, linealidad con respecto a la sucesión y estabilidad o inserción del primer elemento, que delimitan el conjunto de series divergentes a las que la sumación axiomática permite asignar suma. Esas tres propiedades, (etiquetadas 0, 1 y 2 en el post que dedicamos a describir las posibles propiedades de las sumas de series) son los tres ‘axiomas’ que Hardy establece en el Capítulo 1 de su libro, a los que se refiere Padilla.

Es verdad que para las series 1-1+1-1+1-1+… y 1-2+3-4+5-6+…. las manipulaciones que se hacen en el video solamente emplean esas tres propiedades y en ninguna de las manipulaciones se reordena, ni se agrupa.  Por ello, como hemos discutido en los posts anteriores, los valores 1/2 y 1/4 que resultan de dichas manipulaciones son, sub conditione, los ‘únicos valores posibles’ que tales sumas podrían tener, en el sentido que hemos discutido a fondo en los posts anteriores. De manera que, hasta aquí, podríamos incluso aceptar como ‘justificable’ la ‘prueba’ del video de Numberphile.

Pero el paso siguiente es harina de muy otro costal. ¿Es la serie 1+2+3+4+5+6+…. sumable mediante sumación axiomática? La respuesta es un ¡no! enfático. Suponer que esa serie es sumable en un procedimiento que satisfaga las propiedades 0, 1 y 2 conduce a una contradicción.

La contradicción no es arcana sino relativamente directa. Supongamos que la serie 1+2+3+4+5+6+…. fuera sumable en algún procedimiento que satisfaga esas tres propiedades (ver el post enlazado más arriba si se quieren más detalles sobre esas tres propiedades) y denotemos S a su suma. Consideremos la serie 0-2-4-6-8-10-…. obtenida de la anterior multiplicando por el factor común -2 e insertando un 0 inicial. Como consecuencia de las propiedades supuestas de linealidad y de inserción del elemento inicial, la suma de tal serie debe ser 0-2S=-2S. Ahora consideramos la serie obtenida sumando término a término las dos anteriores: el resultado es 1+0-1-2-3-4-…., cuya suma, aplicando dos veces la propiedad de inserción del elemento inicial es 1+0-S=1-S. Pero esta suma debe coincidir con S-2S = -S. No hay ningún número real que satisfaga la ecuación -S=1-S. La conclusión es que esa serie no puede sumarse en ningún procedimiento que satisfaga esas tres propiedades, algo que también ocurre a la serie 1+1+1+1+1+1+…, como ya mencionamos en su momento.

De manera que para la serie 1+2+3+4+5+6+…., las manipulaciones hechas en el video no sólo no son justificadas sino que tampoco son justificables de ningún modo: a esa serie no se le puede asignar suma basándose en los tres axiomas de Hardy (o, en el lenguaje más actual, mediante la sumación axiomática). Sin embargo, el video llega a un resultado concreto, -1/12, para la suma de dicha serie. ¿Qué es, exactamente, lo que se hace? El observador atento percibirá que para llegar a 1+2+3+4+5+6+…. = -1/12 se acepta (pasando sobre ese paso sin pena ni gloria) que eliminar en una serie un número infinito de ceros no altera la suma de la serie, que es la propiedad que en un post anterior enunciamos como Propiedad 3. Sabemos que esa propiedad no la tiene ni siquiera la suma de Cesàro, y desde luego no está garantizada en ningún método de sumación que satisfaga las tres propiedades que caracterizan la sumación axiomática. De manera que ésta última parte de la ‘pseudodemostración’ es manifiestamente inaceptable.

Y sobre todo, es grave que el autor afirme que ‘the manipulations I did in the video break none of the three axioms laid down by Hardy in chapter 1 of his book Divergent Series‘ ya que de hecho para obtener la suma de la serie 1+2+3+4+5+6+…. emplea, de manera aparentemente inocente, la propiedad de invariancia ante la eliminación de infinitos ceros, que no es consecuencia de los mencionados axiomas y que no se verifica siquiera para series sumables con sumación axiomática.

Hay muchos comentarios a ese video que afirman que diferentes manipulaciones sobre las series discutidas podrían conducir a otros valores. ¿Son acertadas esas objeciones? Aquí sí que es esencial distinguir entre manipulaciones y manipulaciones. Mientras nos limitemos a usar solamente las tres propiedades 0, 1 y 2 y lo hagamos sobre series sumables en el contexto de la sumación axiomática no hay ninguna posibilidad de obtener otros valores diferentes para las `sumas’, lo que se aplica a los dos valores 1/2 y 1/4 que resultan como ‘sumas’ de las series 1-1+1-1+1-1+… y 1-2+3-4+5-6+…. Ninguna manipulación que involucre exclusivamente las propiedades 0, 1 y 2 sobre dichas series puede conducir a otro valor. Naturalmente, las manipulaciones que impliquen reordenar, agrupar o insertar/eliminar infinitos ceros podrían conducir, aparente y erróneamente, a otros valores. Pero ya ha debido quedar claro que dichas manipulaciones no son aceptables, por lo que esos otros valores no son la ‘suma’ de dichas series en ningún sentido.

Por el contrario, y en marcado contraste, la serie 1+2+3+4+5+6+…. no es sumable en el contexto de la sumación axiomática, por lo que sobre la serie 1+2+3+4+5+6+…. incluso manipulaciones que utilicen solo las propiedades 0, 1 y 2 pueden conducir a contradicción y no pueden considerarse aceptables (y mucho menos aceptable es emplear otras propiedades que en general las sumas de una serie divergente no tienen, como la invariancia ante la inserción/eliminación de ceros).

Resumiendo, de las tres series divergentes a las que se va asignando suma en el video de Numberphile, la 1-1+1-1+1-1+…. es sumable en sentido de Cesàro (con suma 1/2 como ya hemos visto en el anterior post) y la 1-2+3-4+5-6+…. es sumable en sentido de Cesàro de segundo orden, con suma 1/4 (valor al que se llega simplemente mediante sumación axiomática también). Pero en contraste, la serie 1+2+3+4+5+6+…. no es sumable en ninguno de los sentidos anteriores ni mediante sumación axiomática.

En el video original de Numberphile esta suma se asigna con una manipulación que no está justificada ni es justificable. Para dar sentido a la afirmación 1+2+3+4+5+6+….=-1/12 se necesita algún otro enfoque diferente, del que aún no hemos hablado en ninguno de los posts anteriores. La obtención del resultado `correcto’ en éste caso está forzado por el uso injustificado de una propiedad que no debiera haberse supuesto, la de que la suma no se altera eliminando infinitos ceros. Conviene recordar aquí que si sobre la serie de Grandi se efectuan manipulaciones que son incorrectas para la suma en sentido de Cesaro, como reordenar o agrupar, estas manipulaciones conducirían (aparente e incorrectamente) a cualquier valor entero, positivo, nulo o negativo como ‘suma’ de dicha serie; naturalmente esto es consecuencia de que la suma de Cesaro no tiene las propiedades que en su momento etiquetamos como 4 y 5; aplicarlas indiscriminadamente conduce a valores que no son las sumas correctas en el sentido escogido. Y, algo más cercano al asunto bajo escrutinio ahora, si en la serie de Grandi se insertan infinitos ceros manteniendo la periodicidad (por ejemplo 1+0-1+1+0-1+…, o de otra manera análoga, como 1-1+0+1-1+0+1-1+….), las series así obtenidas son sumables con la sumación axiomática pero tienen sumas que son diferentes de 1/2.

Curiosamente, hay otros dos enfoques posibles, de los que aún no hemos hablado en detalle, y los dos llevan, precisamente, al mismo valor -1/12 para la ‘suma’ 1+2+3+4+5+6+….. Insistamos: ese valor es, en todo caso, el ‘correcto’ en otro sentido diferente del que hemos descrito en los posts anteriores. Y, como veremos en los posts siguientes, ese valor no es incompatible con el valor ‘ingenuo’ +∞

Para ser totalmente ecuánimes, hay que decir que el texto antes citado de Padilla continúa diciendo:

But perhaps more importantly, they can each be mapped by analytic continuation to perfectly legitimate manipulations of convergent series, as I will show shortly.

lo que anuncia uno de los dos enfoques correctos posibles para dar sentido a la relación 1+2+3+4+5+6+….=-1/12, el de la regularización mediante la función zeta de Riemann. Esto nos lleva al debate sobre ‘how far we should deviate from the rigorous academic approach‘, un debate extremadamente interesante. Mi propia posición, bastante ecléctica, es la siguiente: no es objetable el uso de unos argumentos que no sean rigurosamente correctos para llegar a un resultado que excede del contexto de comprensión que pueda tener el oyente razonablemente promedio al que un trabajo de divulgación se dirige, siempre que se indique claramente que se está tomando un atajo justificable (aunque no se justifique en ese momento), y que los oyentes estén en condiciones de apreciar que se trata de un atajo, aunque no conozcan cual sería el camino ‘correcto’. Pero no veo que eso sea lo que se hace en el video de Numberphile, en el que la derivación se presenta, con el peso de la cierta autoridad que tienen los autores, como si la ‘demostración’ fuera correcta. El video complementario que Numberphile publicó para hacer frente a la avalancha de críticas justificadas dirá algo significativo solamente a quienes ya sepan de antemano lo que es la prolongación analítica, que, por supuesto, son quienes no requieren ninguna aclaración.

Siendo lo radical que la situación requiere, yo no puedo evitar percibir en esta actitud una sombra de desconsideración o de falta de respeto al lector. Puede tratarse de  una aplicación deliberada del nefasto principio ‘yo te lo voy a explicar para que lo entiendas’ (aunque la ‘explicación’ no conserve ya ni rastro del problema real). Puede tratarse de simple ignorancia. Puede también ser un intento tosco de clickbait matemático (incluyendo en el título ‘Astounding ….’, ‘El resultado más fascinante ….’, etc). Sea como fuere, hay que ser consciente de que la mayor parte de estos oyentes o lectores serán no matemáticos. Al lector o espectador inocente y crédulo se le transmite una falsa impresión de comprender que se suele traducir en comentarios como ‘Genial entrada‘. Pero al lector que sea razonablemente crítico y se dé cuenta que aplicando exactamente las mismas reglas que se usan en el video se puede llegar a contradicciones, lo que se consigue es alentar la imagen de las Matemáticas como una disciplina arbitraria, en la que un apaño adecuado permite llegar a casi cualquier conclusión: vamos, lo que estamos viendo casi todos los días en otros aspectos de nuestra vida pública y lo que menos necesitamos para incrementar el nivel de la cultura matemática general.

Hay que decir no obstante que están disponibles en Internet otros videos que presentan esta cuestión mucho mejor. Un excelente ejemplo es el de Mathologer que enlazo a continuación.

Cuando tenía en sus primeras etapas el  borrador de éste post (hace casi una eternidad), me llegó un correo de un lector del blog con el enlace a otro video de Mathologer precisamente sobre éste mismo asunto, que había sido publicado unos días antes. Le enlazo a continuación ya que la discusión es matemáticamente impecable. Y tampoco Mathologer se corta al calificar el video de Numberphile de ‘Wrong, and by wrong I mean WRONG, in capital letters‘. Si disponen de tres cuartos de hora, el asunto está muy bien explicado y se llega al resultado 1+2+3+4+5+6+…. = -1/12 correctamente por uno de los posibles métodos, vía la función zeta de Riemann, que permiten asignar suma a cierto tipo de series a las que la sumación axiomática no es aplicable.

En los posts restantes de ésta serie llegaremos a ese mismo resultado de otra manera más elemental y menos conocida usando la idea de sumas suavizadas, lo que nos llevará a conciliar la idea ‘natural’ de que 1+2+3+4+5+6+…. = ∞ con el resultado chocante (y también correcto, en su contexto) 1+2+3+4+5+6+…. = -1/12. Esto será, si el tiempo no lo impide, a la vuelta del verano.

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