¿Qué sorpresas esconden las sumas infinitas? I

No conozco a la mitad de ustedes ni la mitad de lo que me gustaría; y menos de la mitad de ustedes me gusta la mitad de lo que se merecen.

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Bilbo Bolsón, en La Comunidad del Anillo, de J. R. Tolkien. Traducción tomada de aquí.

A muy grandes rasgos, hay dos tipos de sumas infinitas, distinguidas por cómo están ‘etiquetados’ los sumandos: aquellas en las que se suma un conjunto infinito pero discreto de números, y aquellas en las que se ‘suma‘ sobre un conjunto continuo.

A las primeras se las llama en matemáticas series, y a las segundas integrales. Un indicio de que la integración es un descendiente evolucionado de la suma lo sugiere el símbolo propuesto por Leibniz: una S alargada, con el objetivo de transmitir la idea de S(umación), que se ha estilizado al actual símbolo ∫.  Además de esa evidencia procedente de la arqueología notacional, hay otra etimológica: integración proviene del latín integratio, cuyo sentido es constituir un todo agrupando sus partes. Y tampoco está de más recordar que uno de los precedentes directos de lo que en el sentido moderno vemos como integración (de una función cuya integral hoy además sabemos que no es directamente ‘inmediata’ y que sigue sorprendiento a los estudiantes) aparece en relación con las matemáticas de la proyección de Mercator, unos 60 años antes del nacimiento oficial del cálculo infinitesimal. Su autor,  Edward Wright tabulaba numéricamente en 1599 la cantidad que hoy escribiríamos como ∫ sec(x) dx y describía el proceso seguido como “la adición perpetua de las secantes”. Pero ésto es otra historia, de la que habrá que hablar en otra ocasión.

Las sumas que se extienden a una secuencia infinita de sumandos se escriben convencionalmente como a1+a2+a3+…. . El infinito que etiqueta a los sumandos en una expresión tal es un infinito discreto, numerable. Comparadas con las integrales, o ‘sumas continuas‘, esas sumas infinitas discretas o series parecen una construcción relativamente simple y podríamos quizás esperar que sus propiedades fueran semejantes a las de las sumas ordinarias. Pero esta esperanza es ciertamente demasiado ingenua.

Una de las primeras lecciones que se aprenden al estudiar cualquier problema en donde intervenga el infinito es que se trata de un terreno sumamente resbaladizo, en el que muchas de nuestras intuiciones ordinarias más arraigadas fallan de manera estrepitosa. No estoy hablando ahora de los varios tipos de infinito que aparecen en matemáticas. Ni de la distinción entre infinito actual e infinito potencial (que no obstante subyace a la discusión que vamos a seguir). Sino del hecho de que tras las ‘sumas’ de muchas series, a pesar de esa apariencia inocente, se esconden unas cuantas sorpresas, algunas auténticamente llamativas. Como veremos, en este campo pueden darse ejemplos con enunciado que se comprende muy fácilmente, pero cuyos resultados son de intuición nada obvia. De las sorpresas con las series vamos a tratar en esta serie (serie 🙂 ) de posts.

El que gracias a Internet es el ejemplo más conocido de estas propiedades nada intuitivas es el de la serie 1+2+3+4+5+6+….  El sorprendente valor que en ciertas circunstancias (dependiendo del contexto) debe asignarse a esa serie —y a otras relacionadas— forma parte del kit de herramientas de los practicantes de la teoría cuántica de campos desde hace más de 60 años, cuando H.B.G Casimir empleó dichos valores en el cálculo de lo que hoy conocemos como efecto Casimir (que está verificado experimentalmente). Volviendo al ejemplo de la serie 1+2+3+4+5+6+…. , en un video publicado en Enero de 2014 en el canal ‘Numberphile’  y que ha tenido gran repercusión en Internet, Tony Padilla y Ed Copeland, dos físicos de la universidad de Nottingham,  ‘demuestran’ que la ‘suma’ de esa serie es igual a -1/12.

Este resultado aparentemente desafía a cualquier intento de entendimiento, y de hecho, el video tiene un cierto sentido provocador. Sospecho que algunas personas, tras haberlo visto, y tras reflexionar sobre las manipulaciones que se realizan sobre varias series para llegar a la conclusión, sienten que las preguntas se agolpan: ¿Es cierto que se trata de un resultado matemático serio? ¿No está claro que esa ‘suma’ debiera ser necesariamente ∞? Y si eso es así, ¿acaso que la ‘suma’ sea  ∞ es compatible de algún modo con que sea  -1/12? Procediendo de manera superficialmente análoga, parece posible obtener otros valores diferentes para las series que se discuten en el video, lo que lleva a la pregunta ¿están justificadas las  manipulaciones que para calcular dichas series se llevan a cabo en el video? O, siendo algo más benevolente y menos ambicioso, para las series concretas sobre las que esas manipulaciones se efectúan,  ¿son éstas justificables?

Y finalmente, ¿cómo entender todo esto, si es posible? Quizás debemos concluir que, aquí sí, estaría justificado pensar aquello de ‘it is very difficult, todo esto….’.

Hace tres cursos dediqué la última clase de la asignatura Mecánica Cuántica Avanzada (que también era la última clase de la carrera (!) para aquel grupo de estudiantes) a presentar, de manera informal y sobre todo para excitar la curiosidad, un breve resumen de este asunto, que aparece en Física en relación con el efecto Casimir. En aquel momento el video de Padilla y Copeland, que llevaba publicado poco tiempo había tenido dos millones de visitas; ahora mismo, se acerca a los 5 millones. Prometí escribir unas notas que desarrollaran lo que vimos en aquella última clase, de manera extensa y con justificaciones más detalladas y completas de las que conté entonces y que sirvieran para precisar los argumentos del video (que siendo correcto en sus resultados presenta algunos  pasos a medio cocinar). Y mi intención fué escribir en el blog sobre el tema en el que varios estudiantes estaban muy interesados.

Hace cosa de un año uno de aquellos estudiantes me preguntó por esas notas, cuya redacción había dejado aparcada estando ya bastante avanzada. Eso, unido al interés de otros colegas, que me convencieron que hay un desconocimiento bastante general sobre estos asuntos, me animó a acabarlas y desde hace algún tiempo están disponibles en el blog.

blog1701_notassumaspotenciasseriesdivergentesp1bEstas notas arrancan del cálculo de las sumas de potencias, el que es ‘quizás el problema más bello de toda la Aritmética’, Fermat dixit, exponiendo su larga historia, y exploran las muchas ramificaciones extremadamente interesantes de ese problema, como los números y los polinomios de Bernoulli y sobre todo la fórmula de Euler-MacLaurin, llegando hasta la discutir la sumación de series divergentes y, ¿cómo no? la función zeta de Riemann, que es el contexto riguroso en el que las afirmaciones como 1+2+3+4+5+6+… = -1/12  suelen presentarse. En total son 126 páginas, que, espero, puedan ser útiles a quienes tengan   interés tal en el problema que les lleve a sentir sed y hambre de detalles. (He pretendido al escribirlas que sean legibles para cualquier estudiante que haya cursado el análisis matemático real ordinario, sin necesidad de ninguna otra preparación específica. Sugerencias y comentarios bienvenidos).

La entrada en el blog ha tenido otra historia. En varias ocasiones he comenzado  borradores que he ido abandonando al no encontrar el tono ni el nivel adecuado. El enfoque más o menos histórico, que es el que siguen las notas, tiene algunas ventajas. Pero también tiene muchos inconvenientes, si de lo que se trata es de enunciar de manera breve y concreta el sentido que pueda darse a las ‘sumas’ de series divergentes, un asunto que a lo largo de casi dos siglos, digamos entre 1700 y 1900, estuvo marcado por bastante confusión (disipada por completo entre los matemáticos desde hace cosa de un siglo ya, hay que decir abiertamente).

Finalmente, he optado por fragmentar esta entrada en varias partes, con la intención de ir introduciendo uno a uno los detalles chocantes del problema, llegando por un camino pausado y relativamente corto —pero no infinitesimalmente corto, recuérdese que no hay camino real para la geometría— al entendimiento actual que puede darse a este tipo de resultados.

Para los impacientes, adelanto ya las principales respuestas en relación con la serie 1+2+3+4+5+6+…  y con el video de Numberphile. Sí, la relación 1+2+3+4+5+6+…  = -1/12 es un resultado matemático serio. Y aunque sea sorprendente, éste resultado no está en contradicción con la respuesta de sentido común 1+2+3+4+5+6 … = ∞. Imagino la incredulidad de los lectores. ¿Cómo que es posible (?) que las dos igualdades 1+2+3+4+5+6+ … = ∞ y 1+2+3+4+5+6+ … = -1/12 no estén en contradicción? Bueno, nadie dijo que todo esto fuera fácil.

Las exposiciones del asunto que uno encuentra en Internet —no hablo de las que son directamente lamentables— se encuadran en dos tipos.

Unas realizan ciertas manipulaciones que son  justificables, pero en su mayoría lo hacen sin entretenerse en decirlo siquiera, ni menos en dar ninguna justificación, lo que en buena parte es aplicable al video de Padilla y Copeland y desde mi punto de vista es una oportunidad perdida, pues no se alerta al lector sobre el hecho básico: hay muchas otras manipulaciones parecidas que sabemos decididamente que son no justificables.

Las otras plantean el asunto de manera que soporta cualquier crítica (no en vano se trata de un resultado matemático correcto), pero que para la mayoría de los posibles lectores es un salto en el vacío o un pase de manos de un truco de magia.  Resumo este salto en unas líneas, que a algunos lectores probablemente no les digan nada significativo, en cuyo caso pueden —ejem— saltarse el párrafo siguiente sin muchos reparos.

La serie 1+2+3+4+5+6+ … es, formalmente, el valor en s=-1 de una cierta función ζ(s), la famosa función zeta de Riemann, definida en todo el plano complejo por un proceso de prolongación analítica a partir de una función que originalmente está dada por la serie 1-s + 2-s + 3-s + 4-s + 5-s + 6-s+ … , serie que conduce a una función que solamente está definida en el semiplano Re(s)>1 del plano complejo.  Cuando se efectúa la prolongación analítica de esa función a todo el plano complejo y se evalúa esa prolongación ζ en el punto s=-1 (que está fuera de la región en la que la función estaba originalmente definida) se encuentra el valor ζ(-1)=-1/12. Pero como se indicó antes, formalmente ζ(-1) = 1+2+3+4+5+6+ … Demostración concluída, amigos.

Cuando el video original de Padilla y Copeland comenzó a recibir críticas (algunas ciertamente justificadas), publicaron una segunda parte en la que se desarrollan los puntos salientes  del esquema que he resumido en el párrafo anterior.

Teniendo en cuenta que la prolongación analítica es un proceso nada intuitivo, que forma parte de lo que podríamos llamar análisis complejo moderadamente avanzado, es inevitable preguntarse que es lo que ese pase de manos consigue realmente en la mayor parte de los casos. ¿Ayudar a quienes quieren entender el resultado pero carecen de la formación matemática necesaria para acercarse a la función zeta? O, por el contrario, ¿contribuir a la mistificación popular que presenta las matemáticas como ‘incomprensibles’, o incluso, lo que es mucho peor, como arbitrarias? Un rato leyendo los comentarios en casi cualquiera de los sitios de internet en que se presenta este problema resulta ser ilustrativo sobre esta alternativa.

Afortunadamente, es posible dar un enfoque de este problema que emplea solamente el análisis real, que puede ser comprendido y apreciado de manera bastante más elemental y que arroja luz sobre los valores sorprendentes que se pueden asignar como ‘suma’ a las series divergentes en general, no solo a la serie 1 + 2 + 3 + 4 + ….. Yo he aprendido este enfoque, que quizás no es aún muy conocido, en un magnífico post en el blog de Terence Tao. Mi objetivo en esta serie de posts es dar los detalles imprescindibles para poder apreciar esta cuestión desde ese punto de vista elemental, eludiendo el uso de las técnicas matemáticas avanzadas que se presuponen al usar la función zeta de Riemann. En las notas extensas este enfoque (basado en la idea de ‘suma suavizada’) está expuesto con bastante detalle, en paralelo con los elementos básicos del enfoque que usa la función zeta de Riemann.

Así que en los posts que formarán parte de esta serie (tiempo mediante)  me limitaré a enunciar y comentar, parafraseando a Bilbo Bolsón, “solo la mitad de los detalles con la mitad de la profundidad que los muy interesados merecerían, que seguramente será más de la mitad de lo que les gustaría leer a la mitad de quienes van a hacerlo”.

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