Errantes alrededor de los puntos de Lagrange: II

… sigue del post anterior de la serie

Un asteroide (o una nave espacial) situado en uno de los puntos de Lagrange, en reposo desde el punto de vista del sistema de coordenadas rotante, permanecerá en ese punto por siempre. Esa es la condición de equilibrio que determina los puntos de Lagrange. Un observador inercial exterior vería tal asteroide o nave siguiendo una órbita circular alrededor del centro de masas del sistema —aproximadamente el Sol si se trata de un sistema Sol-Planeta— con la misma velocidad angular que el primario y el secundario, lo que equivale a decir que desde el punto de vista del observador rotante, el asteroide permanece en reposo en el punto de Lagrange.

¿Seguro? Bueno…., sí, siempre que el asteroide esté situado exactamente en el punto de Lagrange, y su velocidad respecto de él sea exactamente nula. Mientras que enunciar la condición anterior es fácil, no es tan fácil asegurar el ‘exactamente‘. Y aunque el calificativo fuera aplicable en un instante dado, hay varios efectos que pueden perturbar esas condiciones: los más obvios, los gravitatorios de los restantes planetas. La pregunta realmente significativa entonces debe ser: si la posición del asteroide no es exactamente el punto de Lagrange y/o si la velocidad respecto de él no es exactamente nula, ¿como será su movimiento ulterior? Esa es la pregunta que discutimos ahora.

Hay aquí dos respuestas significativas.

La respuesta de ‘fuerza bruta’ requiere la integración (numérica) de las ecuaciones de Newton para ese sistema. La solución que así se obtiene, siendo numérica, no admite reducción a un nivel conceptual más simple.

Si aceptamos una respuesta que no sea completamente exacta,  lo que ocurre en las cercanías del punto de Lagrange se puede describir con una visión conceptual elegante, simple y nítida. Esta respuesta alternativa es solamente aproximada, tanto más cuanto más cerca estemos del punto. Se trata de la descripción del movimiento alrededor de un punto de equilibrio en la aproximación lineal, en términos de modos normales. Cualquier estudiante de física en el nivel más elemental tropieza con el ejemplo canónico de la aproximación lineal al estudiar el péndulo simple, cuando reemplaza sen(θ) por θ en el régimen de pequeñas amplitudes. Pero resulta que el rango de aplicabilidad de ese tipo de aproximación es muchísimo más amplio y es de presencia ubicua en muchos otros problemas de la física, no solamente clásica, sino también en física cuántica, y en general, en cualquier problema que pueda reformularse como un sistema dinámico.

Y es que implícito en ese enfoque aproximado está uno de los principios básicos de toda la Física Matemática, la linealidad de las respuestas a pequeñas perturbaciones. Este principio, bajo el nombre de coexistencia de las pequeñas oscilaciones fue enunciado y defendido por Daniel Bernoulli alrededor de 1750, y tardó en conseguir un status respetable hasta Fourier, tres cuartos de siglo después. Dos siglos más tarde se ha transformado en un principio básico, el principio de superposición de las pequeñas perturbaciones. Manin lo describe como:

La respuesta a las pequeñas perturbaciones depende linealmente de la perturbación —este es un principio de la ciencia natural que está en la base de un gran número de modelos matemáticos—. Un matemático transforma este principio en la definición de una función diferenciable y en el postulado de que la mayor parte de los procesos están descritos por tales funciones la mayor parte del tiempo. Un espacio lineal es la idealización de “pequeñas perturbaciones arbitrariamente grandes” [Yu. I. Manin, Mathematics and Physics]

Las matemáticas del principio de superposición en Mecánica Cuántica son en gran medida las mismas que se esconden tras la idea de coexistencia de pequeñas oscilaciones (aunque debe quedar claro que la interpretación conceptual de la superposición en Mecánica Cuántica es muy diferente).

Los movimientos alrededor de un punto de Lagrange, en la aproximación lineal.

En este post me limitaré a ver cómo son, dentro de esa aproximación, los movimientos de un objeto de masa despreciable (un asteroide, una nave) alrededor de los puntos de Lagrange. Entraré solo de manera descriptiva en las matemáticas (tampoco demasiado complicadas) que subyacen al problema. Una sola advertencia: el marco natural para esta descripción no es el espacio de configuración (en el cual la dinámica está regida por ecuaciones de Newton de segundo orden, que requieren como datos iniciales la posición y la velocidad), sino el del espacio de fases, de dimensión doble (en el que se emplean como coordenadas conjuntamente las posiciones y las velocidades y en donde las ecuaciones de movimiento son de primer orden en las derivadas con respecto al tiempo). La descripción de la que hablamos aquí resulta de proyectar de un espacio de fases de 4 dimensiones en otro de configuración, de 2 dimensiones, y como suele ocurrir, lo que es muy nítido y se puede enunciar de manera breve y clara en el espacio ‘mayor’ aparece mucho menos nítido y requiere algún circunloquio tras la proyección.

A partir de ahora, por ‘movimientos‘ entiéndase ‘movimientos en el espacio de configuración en la aproximación lineal‘ en las cercanías de los puntos de Lagrange. Resulta que, en todos los casos, para todos los puntos de Lagrange, el movimiento más general es una superposición de unos pocos movimientos particulares, que reciben el nombre de ‘modos normales‘ del movimiento. Cada uno de estos modos normales (que se comportan en cierto sentido como patrones del movimiento) está determinado de manera completa, tanto geométrica como dinámica, y tiene unas características precisas. Una parte de la descripción es espacial, y contiene la información sobre la forma de la trayectoria; la otra parte es temporal, y se refiere a un tiempo característico de evolución sobre la trayectoria.

Pasamos a describir, dando solamente los resultados pertinentes, cómo es el movimiento en torno a uno de los puntos de Lagrange L1, L2 o L3. En estos tres puntos los tipos de comportamiento de los movimientos asociados a los modos normales son cualitativamente semejantes, pero los tiempos característicos de evolución pueden ser cuantitativamente muy diferentes. Recordamos el contexto: se trata de un sistema de dos cuerpos primarios (por ejemplo, el Sol y la Tierra), de masa total M, en el cual el reparto de masas entre el primario y el secundario es m1=(1-α) M,  m2= α M. El sistema primario-secundario rota alrededor de su centro de masas con pulsación Ω (o con un periodo de rotación T = 2π/Ω). La distancia entre primario y secundario es d, y recordemos que la tercera ley de Kepler, la así llamada ley 123, establece la relación G M = Ω2 d3.

Por ejemplo, el satélite de observación solar SOHO está situado en (las cercanías de) el punto L1 del sistema Sol-Tierra, para el cual α= 0.000003, d = 1 U.A. = 150 · 106 Km, y T = 1 año. En el extremo opuesto, con dos primarios de masas comparables, tenemos el sistema al que se refería el post que me ha inducido a perpetrar el presente rollo, que modelaremos con α= 0.5, d = 6.9 · 109 Km y T = 127.55 años terráqueos (vea el enlace, apartado Pitch Black, si tiene curiosidad por el asunto).

Los detalles finos del movimiento dependen de qué punto de Lagrange consideremos y del valor del parámetro α que describe el reparto de masa entre los dos primarios. Los valores posibles de α van desde 0 (en un límite ideal), pasando desde valores pequeños si el primario es mucho más masivo que el secundario (por ejemplo α=0.000003 para el sistema Tierra-Sol) hasta el valor máximo posible α=0.5 que ocurre cuando los dos primarios son de igual masa.

Superposición ¿de movimientos?

La descripción de un movimiento como ‘superposición’ de otros tiene una larga y fecunda historia. La idea aparece en su forma totalmente moderna ya en la descripción galileana del movimiento de los proyectiles.

ProjectileMotion

Réplica en el museo Galileo de Florencia que ilustra la composición de movimientos en un proyectil.

Una bala de cañon lanzada horizontalmente desde una torre participa de un movimiento por inercia, horizontal y con velocidad constante, y otro de caída, vertical y uniformemente acelerado. El movimiento real, según una órbita parabólica, resulta de ‘superponer’ estos dos movimientos. Se visualiza esto muy bien con un aparato que ilustra la superposición, que está en el museo Galileo de Florencia.

Un movimiento circular uniforme puede verse también como una superposición de dos movimientos oscilatorios armónicos simples, en direcciones perpendiculares, con la misma frecuencia y una fase relativa de π/2.

En estos dos ejemplos, uno o los dos movimientos en la superposición son en cierto sentido ‘ficticios’ (lo que no obsta para que conceptualmente la superposición tenga un sentido perfectamente ‘real’). Se ve esto bien en la bala de cañón, que, soltada sin velocidad inicial seguiría precisamente la componente vertical (que por tanto es también un movimiento real de la bala), mientras que la otra componente, la trayectoria horizontal a velocidad constante, no es un movimiento real que siga la bala lanzada horizontalmente en ninguna circunstancia; para que lo fuera, tendríamos que hacer desaparecer el campo gravitatorio, que es el responsable de la caída.

En contraste, en el movimiento alrededor de los puntos de Lagrange, ‘superposición‘ se refiere a que el movimiento general (con condiciones iniciales de posición y velocidad arbitrarias) se puede expresar y describir como la coexistencia de unos pocos movimientos muy particulares, todos los cuales, tomados individualmente, también serían movimientos reales (aunque para otras condiciones iniciales). El que las matemáticas tras esta descripción sean las mismas que subyacen a la Mecánica Cuántica debiera tomarse como un incentivo más para conocerlas y enseñarlas lo antes posible.

En cada uno de los puntos de Lagrange L1, L2 y L3, estos movimientos particulares están completamente determinados. En el lenguaje del negocio, el carácter cualitativo del comportamiento en esos tres puntos se conoce como ‘silla × centro’; esto resulta ser así independientemente del valor de α que registra el reparto de masa del sistema total entre el primario y el secundario.  De cada uno de esos tres puntos se dice que es inestable, y hay medidas numéricas que permiten dar sentido a la comparación de la inestabilidad entre ellos. Aclaramos enseguida el sentido técnico de estos términos.

En general, un asteroide situado en las cercanías de uno cualquiera de estos tres puntos L1, L2, L3 acaba alejándose de él de manera (casi) inevitable. A esto se refiere el adjetivo ‘inestable‘. Pero no siempre: hay movimientos excepcionales, que rodean una y otra vez cada uno de esos puntos de Lagrange, con un comportamiento periódico. Para cada posición inicial, estos movimientos requieren un ajuste (infinitamente) preciso de la velocidad inicial y son inestables, lo que significa que salvo que nos ocupemos de efectuar maniobras correctoras de curso para corregirlas, cualquier pequeña perturbación sobre el asteroide o la nave conllevará que ésta acabe alejándose del punto de Lagrange. Lo que implica que solamente con dedicación por nuestra parte podremos mantener una nave en las cercanías de estos puntos; tanta más dedicación cuanto más inestable sea el punto. Un asteroide, que no puede efectuar corrección de curso, no puede mantenerse allí de ninguna manera: estos puntos deben estar limpios de asteroides (y lo están, claro).

Menciono ahora solo de paso lo que ocurre en los otros dos puntos de Lagrange triangulares, L4 y L5, donde la situación es bastante diferente: el comportamiento en ellos depende del valor de α. Para α < 0.03852… el comportamiento es ‘centro × centro‘, que es estable mientras que para 0.03852… < α < 0.5 el comportamiento es del tipo ‘silla espiral’, (que también puede describirse como ‘centro atractivo × centro repulsivo‘), que es inestable. Debido a que la masa del Sol es mucho mayor que la de cualquier planeta, en todos los casos relevantes en un sistema Sol-planeta α es siempre menor que el valor crítico mencionado, y resulta que los correspondientes  L4 y L5 son estables: en ellos se acumulan asteroides, que en el caso del sistema Sol-Júpiter se conocen colectivamente como asteroides troyanos (ver en El Tamiz una muy buena descripción de los puntos de Lagrange y de los troyanos con muchos más detalles sobre otras familias de asteroides, como las fascinantes Hildas).

En este post describo el comportamiento cualitativo de los movimientos en las cercanías de L1, L2 y L3. Para las representaciones gráficas he escogido el punto L1, pero he incluido los datos básicos para describir el movimiento en los tres puntos.  Me limito aquí a los movimientos que tienen lugar en el plano; lo que ocurre para los movimientos tridimensionales alrededor de los puntos de Lagrange, que será donde aparecen las órbitas interesantes de Lissajous y de Halo, lo veremos en un post siguiente. En algún otro post futuro daré una descripción paralela para los movimientos alrededor de L4 y L5.

En todas las gráficas se representa una pequeña región alrededor del punto de Lagrange escogido. Las coordenadas que se representan son las reducidas (a,b) definidas como a=x/d, b=y/d, con los primarios situados en el eje x y a distancia reducida 1; la amplitud de la ventana que se representa a cada lado del punto de Lagrange es de 0.001 veces la separación d entre los primarios. Para el punto L1 del sistema Sol-Tierra, que es al que se refieren todas las gráficas, con d=1 u.a., la amplitud de la ventana a cada lado del punto de Lagrange son unos 150.000 km, y el tamaño total de la ventana unos 300.000 Km, que está en el orden de magnitud de las órbitas de Lissajous y de Halo que aparecen en tres dimensiones. En la zona representada,  la aproximación lineal es muy aceptable.

Conviene pensar en el marco de cada gráfica como una ventanita, centrada en el punto de Lagrange en cuestión, que habrá que imaginar ampliando la zona correspondiente del diagrama global de los puntos de Lagrange. En el diagrama que corresponde numéricamente al sistema Sol-Tierra, L1 y L2 no se aprecian, pues están situados demasiado cerca del secundario, que es la Tierra, y el punto negro que denota el secundario tapa la posición de ambos puntos.

Blog1410_ContourPlotSTRepresentando una ventana centrada en el secundario (la Tierra) y con con ampliación aproximada por un factor del orden de 50, ya se aprecian L1 y L2.

Blog1410_ContourPlotST_LFinalmente, con más ampliación (un factor extra 20), se ve solamente L1. Los diagramas que se darán a partir de ahora corresponden a esta última ventana.

Blog1410_ContourPlotST_LLEn cada gráfica se representan una o varias órbitas, con colores ligeramente diferentes para permitir distinguirlas. Un punto negro sobre una órbita marca la posición inicial en el instante t=0; generalmente la evolución se representa a partir de ese momento, pero en algún caso se representa también la evolución anterior. Para facilitar la ubicación, cada gráfica tiene  flechas en gris, una hacia el primario (a la izquierda, de más cuerpo) y otra hacia el secundario (hacia la derecha, más ligera).

Los modos ‘centro’ y ‘silla’

Primero describimos las órbitas particulares que corresponden a los modos normales del movimiento en las cercanías de uno de los tres puntos L1, L2, L3. Hemos dicho antes que hay dos: un modo ‘centro’ y un modo ‘silla’. Conviene hacer un esfuerzo mental por despojar ambos términos de sus otros sentidos: aquí ‘centro’ y ‘silla’ son términos puramente técnicos que se refieren exclusivamente a dos posibles patrones de comportamiento de un asteroide que se mueve en las cercanías de uno de los tres puntos de Lagrange L1, L2, L3.

El modo ‘centro’

El modo ‘centro’ corresponde a una familia de órbitas elípticas y periódicas. Las elipses tienen centro geométrico en el punto de Lagrange y tienen todas la misma forma, que gráficamente se puede describir mediante un rectángulo que circunscribe una de ellas, con lados iguales a los ejes mayor y menor de esa elipse. La forma de estas órbitas (o el rectángulo que contiene la misma información) está determinada de manera única, pero el tamaño de la elipse es arbitrario, en el bien entendido de que la órbita real se aproxima tanto mejor por la elipse del modo ‘centro’ cuanto más pequeña sea la órbita; conforme aumentamos el tamaño, aumentan también las discrepancias entre la órbita exacta y la órbita aproximada del sistema linealizado que es de la que hablamos aquí.

Las órbitas de un modo centro y el rectángulo circunvalante.

Las órbitas de un modo centro y el rectángulo circunvalante.

En el aspecto temporal, e independientemente de su amplitud, todas estas órbitas elípticas son órbitas periódicas que se recorren en un solo sentido y con el mismo periodo, o la misma pulsación ω; la dependencia de cada componente de la posición o de la velocidad viene descrita por un factor de evolución temporal sen(ω t) ó cos(ω t). La inversa de la pulsación 1/ω, que será una cantidad con dimensiones de tiempo, debe verse como un tiempo característico de los movimientos del modo centro en las cercanías de punto de equilibrio: es el tiempo en el que la fase de este movimiento ha aumentado en 1 radián. El periodo es el tiempo en el que la fase ω t aumenta en 2π, de modo que el periodo es igual a 2π veces ese tiempo característico.

En resumen, los movimientos particulares del modo centro tienen órbitas con una forma elíptica precisa, gráficamente descrita por un rectángulo circunvalante, que se recorre en un solo sentido, y sobre esa órbita, el movimiento tiene un tiempo característico de evolución 1/ω. Estos dos elementos contienen toda la información necesaria para reconstruir los movimientos particulares que corresponden al modo centro. La pulsación ω determina el ritmo temporal de las órbitas periódicas alrededor del punto L1.

En vez de dar ω en unidades convencionales (segundo-1), es muchísimo más claro considerar el cociente adimensional ω/Ω, que da la pulsación del modo centro relativamente a la pulsación del sistema conjunto de los primarios. En general, y al igual que en vez de las unidades convencionales es mucho mejor tomar la separación entre los primarios como unidad de longitud adaptada al estudio del problema, es muchísimo mejor tomar 1/Ω como la unidad de tiempo adaptada.

Por ejemplo, en el punto L1 del sistema Sol-Tierra (α=0.000003), cálculos que aquí omito (en el último post de la serie enlazaré un cuaderno de Mathematica que contiene todos los cálculos) conducen a ω/Ω = 2.09, lo que significa que la pulsación del modo centro es 2.09 veces la pulsación del movimiento de rotación del sistema, y por tanto, que el periodo del modo centro es 1/2.09 veces el periodo (1 año) del sistema de los primarios, valor que resulta ser de 175.14 dias terráqueos, un poco menos de 6 meses.

En el extremo opuesto, en el modelo de un sistema estelar  binario con dos estrellas de la misma masa (α=0.5), con periodo del sistema de los primarios 127.55 años terráqueos, el cociente ω/Ω vale 2.88, y por tanto, el periodo del modo centro es 1/2.88 veces el periodo el sistema de los primarios, valor que resulta ser de 44.23 años terráqueos (valor cuyo cálculo dió origen a esta serie de posts, pero esto es otra historia….).

Así pues, la órbita del modo ‘centro’ en L1 tiene un periodo que es una cierta fracción del periodo del sistema de los primarios. Los valores deben llamar la atención: la fracción varía entre 1/2 cuando α es cercano a 0 y 1/2.88 para α= 0.5. en los dos extremos del rango de valores de α. Estos valores del cociente ω/Ω son bastante cercanos, o en otras palabras, el cociente ω/Ω es poco sensible a los cambios en el valor de α.

Por cada posición en las cercanías del punto de Lagrange pasa exactamente una de las órbitas del modo ‘centro’ y en cada punto esa órbita tiene una velocidad precisamente determinada, que es la que habrá que tomar como velocidad inicial si queremos que la evolución a partir de ese punto siga exactamente esta órbita.

Hay que notar que estas elipses no tienen nada que ver con las elipses keplerianas que describen el movimiento en el problema de dos cuerpos. Primero, aquí no hay ningún cuerpo central en L1 que produzca la fuerza necesaria para mantener al asteroide en esa órbita: se trata más bien de la resultante conjunta de las atracciones de los dos primarios y de las fuerzas centrífuga y de Coriolis que están presentes en el sistema rotante. Segundo, la elipse está centrada en el punto de Lagrange. Tercero, el periodo del movimiento es independiente de la amplitud de la elipse. Cuarto, el sentido de recorrido es único. Estas cuatro propiedades marcan claramente la diferencia.

En resumen: es posible moverse alrededor de L1 en una órbita periódica, siempre que estemos dispuestos a asegurar que en cada instante la velocidad sea precisamente (muy muy precisamente) la adecuada para ello. ¿Qué ocurre si la velocidad no es exactamente ésta? Lo veremos enseguida.

El modo ‘silla’

Pasamos a describir el modo ‘silla’. Este modo corresponde a una familia de órbitas hiperbólicas y no periódicas. Es posible dar de entrada una descripción que resalta el paralelismo con el modo centro, pero como también hay destacadas diferencias, es mejor presentarlo de otra manera ligeramente diferente. La pregunta ahora es: ¿hay algún movimiento cuya dependencia temporal esté completamente descrita por un factor exponencial real, en vez de por funciones trigonométricas? Resulta que tales movimientos se dan solamente sobre órbitas que son precisamente (semi)rectas a partir del punto de Lagrange, situadas sobre dos rectas distintas que pasan por el punto. Estas dos direcciones distinguidas, que tienen como origen el punto L1 (L2, L3) se llaman dirección estable y dirección inestable del punto de Lagrange. El conjunto de estas dos direcciones juega un papel análogo al del rectángulo circunvalante para el modo ‘centro’.

Las dos direcciones estable (flechas hacia adentro) e inestable (flechas hacia afuera) en un punto de Lagrange.

Las dos direcciones estable (flechas hacia adentro) e inestable (flechas hacia afuera) en un punto de Lagrange.

A lo largo de una de esas direcciones, la dirección inestable (representada con las flechas hacia afuera), la evolución temporal de la posición y de la velocidad está descrita por un factor exponencial con coeficiente positivo en el exponente, exp(σ t), lo que implica que la evolución irremisiblemente se aleja del punto de Lagrange a lo largo de esa semirecta; el ritmo de alejamiento queda descrito por la cantidad 1/σ, que tiene dimensiones de tiempo. En inglés este tiempo se denomina e-folding time, que se puede traducir como tiempo de e-plicación (neologismo acuñado sobre la marcha por analogía con du-plicación): tras ese tiempo el producto σ t ha aumentado en 1, y por ello la distancia al punto de Lagrange se ha multiplicado por un factor e = 2.71828…, por lo que esa distancia crece con el tiempo en progresión geométrica. Este movimiento se denomina ‘modo silla inestable’.

Evolución de un modo silla inestable puro.

Evolución de un modo silla inestable puro.

A lo largo de la otra recta distinguida, la dirección estable, la evolución temporal de la posición y de la velocidad está descrita por un factor exp(-σ t), ahora con el coeficiente del exponente negativo, lo que implica que sobre ella la evolución irremisiblemente acerca al punto de Lagrange; el ritmo de acercamiento es el mismo tiempo de e-plicación visto antes, pero en este caso, tras ese tiempo la distancia al punto de Lagrange se ha dividido por un factor e. Este movimiento se denomina ‘modo silla estable’.

Evolución de un modo silla estable puro.

Evolución de un modo silla estable puro.

Cada una de estas órbitas muy muy particulares están confinadas a su recta soporte. Con ellas, tomadas individualmente, no tenemos órbitas que pasen por cada punto de las cercanías, como ocurría con las órbitas del modo centro. Pero si consideramos superposiciones del modo silla estable y el modo silla inestable, entonces tenemos un panorama análogo al del modo centro, aunque hay diferencias muy marcadas en los aspectos cualitativos. Al considerar superposiciones de estos dos modos, lo que resulta es que por cada punto en las cercanías del punto de Lagrange pasa una (y precisamente una sola) de tales superposiciones, que debe tener en cada punto una velocidad perfectamente determinada. Geométricamente la órbita superposición es una rama de hipérbola, cuyas dos asíntotas son precisamente las dos direcciones estable e inestable. La órbita se recorre en un solo sentido, el que va de la asíntota estable a la asíntota inestable. Si retraemos la evolución hacia atrás en el tiempo, vemos que el movimiento viene desde la asíntota estable, y si la seguimos hacia adelante vemos que avanza aproximándose a la asíntota estable, lo que se refleja en el patrón de comportamiento de la figura, en la que pueden verse claramente las analogías y las notables diferencias con el modo ‘centro’.

Trayectorias de la superposición de un modo silla estable y otro inestable.

Trayectorias de la superposición de un modo silla estable y otro inestable.

En la figura anterior se ve que, excepto para aquellas órbitas situadas exactamente sobre la dirección estable (que no tienen componente inestable en la superposición), en todas las demás el destino temporal es alejarse del punto de Lagrange. La amplitud espacial del modo silla estable varía con el paso del tiempo por un factor exp(-σ t) (esto es, se reduce) y por el contrario la del modo silla inestable se amplifica por un factor exp(σ t); es claro que a la larga este último factor domina sobre el anterior, y el movimiento de la superposición se parece cada vez más al que tendría un modo silla inestable puro. Esto también se ve claramente en las figuras.

En resumen, los movimientos particulares del modo silla tienen una forma hiperbólica precisa, gráficamente descrita por las direcciones de su dos asíntotas. La evolución tiene también un tiempo característico de evolución 1/σ; este tiempo es el requerido para que la amplitud espacial del modo inestable se multiplique por e, (equivalentemente, para que la amplitud espacial del modo estable se divida por e). El tiempo 1/σ da una medida cuantitativa de cuan inestable es el punto de Lagrange en cuestión.

Al igual que hicimos en el modo centro, en vez de dar σ en las unidades convencionales (1/segundo), es muchísimo más claro considerar el cociente adimensional σ/Ω entre el tiempo característico del sistema conjunto de los primarios y el del modo silla.

En el punto L1 del sistema Sol-Tierra (α=0.000003), resulta σ/Ω = 2.56, lo que significa que el tiempo de e-plicación del modo silla es igual a 1/(2 π 2.56) veces el periodo (1 año) del sistema de los primarios, valor que resulta ser de 22.96 dias terráqueos.

En el extremo opuesto, cuando los dos primarios son de la misma masa, el cociente σ/Ω vale 3.84. En el ejemplo particular del sistema estelar doble descrito antes, el tiempo de e-plicación del modo silla es igual a 1/(2 π 3.84) veces el periodo (127.55 años terráqueos) del sistema de los primarios,  valor que resulta ser de 5.32 años terráqueos.

En vez de dar verbalmente los resultados, doy la gráfica completa que contiene la dependencia de ω/Ω y de σ/Ω frente a α en el punto de Lagrange L1, en donde se ve bien que esta dependencia es suave. Con esta gráfica, obtener el periodo del modo centro o el tiempo de e-plicación en el punto L1 de cualquier sistema es tan sencillo como repetir para ese sistema las estimaciones hechas en los párrafos precedentes.

Los cocientes adimensionales σ/Ω y ω/Ω como función de alpha en L1

Los cocientes adimensionales σ/Ω y ω/Ω como función de α en L1

En una última sección doy las gráficas análogas para los otros dos puntos L2 y L3, así como algunas estimaciones numéricas.

¿Hasta cuándo, Catilina…. ?

El lector crítico posiblemente esté perdiendo la paciencia: “Muy bien, —se dirá irónicamente—, ya hemos descrito unos pocos movimientos particulares. Pero me parece que encontrar soluciones particulares es el consuelo del pobre hombre. Lo necesario sería responder a la pregunta ¿que hay del movimiento general? Si yo tengo una nave con motores apagados, en una posición en las cercanías del punto de Lagrange, y con una velocidad arbitraria, que no sea ni la que corresponde al modo centro ni al modo silla, ¿cual es el movimiento posterior de la nave? Tras tanto rollo, aún no veo qué ocurre en esa situación, que a fin de cuentas es la interesante….”.

La observación final es correcta: lo interesante es conocer la evolución general. En cada punto, la velocidad inicial de un movimiento general tiene una libertad que podemos describir informalmente como ∞2 (hay dos componentes, cada una de las cuales puede tomar infinitos valores posibles). En contraste, en cada uno de los dos modos centro o silla la velocidad tiene que tener orientación y valor particular preciso.

Pero el resto de la crítica es …. impaciente y precipitada. El principio básico de superposición (en lenguaje antiguo, el principio de coexistencia de las pequeñas perturbaciones) asegura que mediante una superposición arbitraria de un modo centro y un modo silla se encuentra la solución general, que tiene una posición inicial y una velocidad inicial arbitraria requeridas. La evolución temporal a partir de este estado inicial se obtiene superponiendo la evolución temporal de los correspondientes modos. Esto es, una vez que hemos descrito los modos ‘silla’ y ‘centro’, el movimiento general aparece, a lo largo de toda su evolución temporal, como una superposición de ambos, sin requerir ya ningún trabajo adicional.

Esto es, el problema del movimiento en las cercanías del punto de Lagrange está completamente resuelto una vez que hemos descrito los modos ‘centro’ y ‘silla’. Lo único que falta es establecer el diccionario que nos permita pasar de las condiciones iniciales posición y velocidad a las amplitudes y fases de los modos centro y silla. Y este diccionario es un problema elemental de álgebra lineal: es el ejercicio rutinario de descomponer un vector arbitrario en el espacio de fases del problema en la base formada por los vectores propios de la matriz de linealización. Algo que puede hacer sin esfuerzo ni dificultad cualquier programa de cálculo simbólico.

Conviene no perder de vista que el movimiento que acabará teniendo el asteroide para casi todas las condiciones iniciales es a lo largo de un modo silla inestable, que aleja del punto de Lagrange. Como la aproximación lineal es tanto más válida cuanto más cerca estemos del punto de Lagrange, resulta que el movimiento real, exacto, está descrito cada vez con menos precisión por el del modo silla inestable según se va alejando, pero el mero hecho de alejarse, según esa dirección de alejamiento, es una consecuencia exacta e inevitable.

Cuando consideramos los movimientos generales, además de las dos cantidades adimensionales ω/Ω y σ/Ω que hemos discutido antes hay otra cantidad adimensional que resulta quizás la más significativa de cara a un entendimiento intuitivo del movimiento en torno a uno de los tres puntos L1, L2, L3. Si queremos situar una nave en esos puntos, habremos de hacerlo en una órbita del modo centro (o en alguna órbita asociada, tipo Lissajous o Halo, como veremos en el siguiente post). Una tal órbita es periódica, pero inestable: resultará imposible en la práctica asegurar que el movimiento no contenga ninguna amplitud, aunque sea mínima, del modo silla inestable. La pregunta ahora es: ¿cuánto habrá crecido tal amplitud indeseable, a lo largo de un periodo de la órbita del modo ‘centro’? Esta pregunta se reduce a ver cuantas veces cabe un intervalo igual al tiempo de e-plicación en cada periodo del modo centro, número que es igual al cociente adimensional ω/σ; el factor de amplificación de la amplitud del modo silla inestable correspondiente será eω/σ.

En el punto L1 del sistema Sol-Tierra resulta ω/σ = 7.62 y por tanto, en un periodo completo del centro estable transcurren 7.62 e-plicaciones del modo silla, tiempo durante el cual la amplitud del modo silla repulsivo se amplifica por un factor de e7.62 = 2052, valor que da cuenta de cuan necesarias serán las correcciones de curso si lo que pretendemos en mantener una nave en una órbita del modo centro.

Dos órbitas inicialmente parecidas, muestran evoluciones muy diferentes tras poco tiempo.

Dos órbitas inicialmente parecidas, muestran evoluciones muy diferentes tras poco tiempo.

En el punto L1 del sistema estelar binario que tomamos como modelo, en un periodo completo del centro estable transcurren unas 8.24 e-plicaciones del modo silla, tiempo durante el cual la amplitud del modo silla repulsivo se amplifica por un factor de 3806. La conclusión, claro está, es que el movimiento en ese modo ‘centro’ en L1 es muy inestable: aunque la amplitud inicial del modo silla inestable fuera un valor ridículamente pequeño, por ejemplo 10-16, tras solamente cuatro períodos del modo centro (cuatro órbitas completas del asteroide que orbita en las cercanías del punto de Lagrange L1 del sistema siguiendo un modo centro), la amplitud del modo inestable alcanza el valor 1 y pronto se hace dominante, conduciendo a que el asteroide (o los asteroides) que estaban (casi) en un modo centro al principio se alejen irremisiblemente, saliendo literalmente cada uno por Antequera. A no ser que Vin Diesel lo arregle, claro …. 🙂

Escape de tres asteroides en órbitas centro con muy pequeñas amplitudes del modo silla inestable.

Escape de tres asteroides en órbitas centro con muy pequeñas amplitudes del modo silla inestable.

Algunos movimientos curiosos en las cercanías de L1

Pasemos ahora a presentar alguna gráfica llamativa.

Incluso si los movimientos básicos de cada uno de los dos modos son simples y muy fáciles de visualizar, sorprende la multiplicidad de posibilidades que resultan de sus superposiciones. Por ejemplo, en la órbita representada en la siguiente gráfica, que cubre un intervalo temporal de 4.6 periodos del centro, el asteroide se acerca al punto de Lagrange, entrando en la elipse del modo centro, se mantiene en ella durante 3 vueltas y media y luego sale.

Una órbita de diseño.

Una órbita de diseño.

Por increíble que resulte, pueden ajustarse las condiciones iniciales para dirigirse hacia el punto de Lagrange entrando en una órbita de un modo centro y tras rodear un número prefijado de veces el punto de Lagrange, la órbita salga y eventualmente se dirija a otro punto de interés (por ejemplo, a orbitar la Tierra, que en el diagrama anterior queda a la derecha de la ventana). Lo notable es que se trata de movimiento sin ninguna intervención ni maniobra orbital. Esta trayectoria puede ser la de un asteroide, que sigue ciegamente los dictados de la gravedad.

El ejemplo anterior muestra que es posible acercarse a la órbita elíptica del modo centro, y permanecer en ella el tiempo que se desee, o estar en ella y salir ‘expulsado’ tras un cierto tiempo. La exploración de esta idea nos lleva a uno de los conceptos básicos de la teoría de sistemas dinámicos: el de variedades estable e inestable.

En nuestro caso, hablaremos de las variedades estable e inestable del modo centro. Estas variedades son realmente familias de movimientos con unas ciertas propiedades, que corresponden a dos preguntas.

La primera pregunta es: ¿qué movimientos, con el paso del tiempo, acaban en la órbita elíptica de un centro y permanecen en ella? La respuesta es clara: aquellos que en la superposición no tengan componente del modo silla inestable. En la gráfica se ven varios de tales movimientos, con diferentes condiciones iniciales: tras un cierto tiempo de evolución, el modo silla estable se atenúa exponencialmente y lo que permanece es tan solo el modo centro. El conjunto de estos movimientos constituye lo que se llama la ‘variedad estable’ de la órbita prefijada del modo centro.

La variedad inestable de una órbita centro particular.

La variedad estable de una órbita centro particular.

Esta idea, que en la gráfica se representa en la aproximación lineal y solo en dos dimensiones, tiene una versión exacta, más allá de la aproximación lineal, en tres dimensiones y con las ecuaciones exactas de Newton para el movimiento. Esta versión exacta resulta ser una herramienta importante en el diseño de órbitas en las misiones espaciales: si somos capaces de insertar una nave en una de estas órbitas de la variedad estable (aunque sea lejos o muy lejos del destino pretendido), la dinámica del problema acabará llevandola a una órbita elíptica de un modo centro alrededor del punto de Lagrange sin que sea necesaria ninguna intervención por nuestra parte, y sin maniobras de corrección de curso. Así dicho parece magia, pero es una magia que funciona.

La variedad inestable de una órbita centro particular.

La variedad inestable de una órbita centro particular.

La otra cuestion es: si un movimiento que inicialmente es un modo centro adquiere (por cualquier causa) una pequeñísima componente del modo silla inestable, tras un cierto tiempo de evolución, el modo silla inestable se amplifica exponencialmente y acaba dominando sobre el modo centro, cuya amplitud se mantiene constante a lo largo del tiempo. El conjunto de estos movimientos constituye lo que se llama la ‘variedad inestable’ de la órbita del modo centro: si una nave está situada (‘aparcada’) en una órbita elíptica de un modo centro y actúa alguna perturbación, el efecto resultante a largo plazo será alejarse de la órbita del centro, pero el alejamiento necesariamente ocurrirá siguiendo la variedad inestable. Lo cual parece muy malo pero tiene un regalo escondido: es posible que alguna de las órbitas de la variedad inestable (exacta) del centro acaben llegando a algún otro lugar que nos interese (por ejemplo, a otro punto de Lagrange). Y estas órbitas precisas constituyen una especie de autopista espacial, que permite a lo largo del sistema Solar viajes lentos pero con reducido consumo energético, pues la gravedad es quien hace todo el trabajo.

Resultados numéricos en L2 y en L3. Actualización añadida para responder debidamente al comentario de Albert.

La situación en las cercanías de los otros dos puntos L2, L3 es cualitativamente semejante, pero los valores numéricos cruciales, σ y ω, y los detalles de las direcciones estable, inestable y del rectángulo circunvalante son diferentes. Entre éstos elementos, los más importantes  son σ y ω. Las dos gráficas siguientes dan el comportamiento de ambas cantidades (en su forma adimensional, σ/Ω y ω/Ω) con α.

Los cocientes adimensionales σ/Ω y ω/Ω como función de α en L2

Los cocientes adimensionales σ/Ω y ω/Ω como función de α en L2

Los cocientes adimensionales σ/Ω y ω/Ω como función de α en L3

Los cocientes adimensionales σ/Ω y ω/Ω como función de α en L3

Con los datos que se pueden leer de estas gráficas se pueden obtener los periodos de las órbitas centro y los tiempos de e-plicación para los movimientos alrededor de L2 y L3.

Por ejemplo, en el punto L2 del sistema Sol-Tierra, en el que α = 0.000003,  el cálculo (o la lectura de la gráfica) conduce a ω/Ω = 2.05, lo que significa que la pulsación del modo centro es 2.05 veces la pulsación del movimiento de rotación del sistema, y por tanto, el periodo del modo centro es 1/2.05 veces el periodo (1 año) del sistema de los primarios, valor que resulta ser de 177.64 dias terráqueos, que es un par de días más que en el L1 y casi seis meses. Para el modo silla resulta σ/Ω = 2.48, lo que significa que el tiempo de e-plicación del modo silla en L2 es igual a 1/(2 π 2.48) veces el periodo (1 año) del sistema de los primarios, valor que resulta ser de 23.41 dias terráqueos.

En el punto L3 del mismo sistema Sol-Tierra, los números que resultan son bastante diferentes. Para ω se tiene ω/Ω = 1.00 (difiere de 1 en el cuarto decimal), valor que realmente podríamos haber intuido (¿porqué?). Por el contrario, σ es muy pequeño, σ/Ω = 0.00281, lo que implica que el tiempo de e-plicación del modo silla en el punto L3ST (del sistema Sol-Tierra) es del orden de 1/(2 π 0.00281) veces el periodo (1 año) del sistema de los primarios. Sin ir más allá de la aproximación lineal (lo que aquí seguramente sería necesario pues el potencial equivalente es extraordinariamente plano en L3) este valor resulta ser de 56.66 años terráqueos. Lo que quiere decir que la inestabilidad de L3ST es muy pequeña, y si estimamos el factor por el que se amplifica el modo silla inestable en L3 durante un periodo completo del centro estable (unos 57 años, en esta aproximación) resulta que tal factor vale solamente 1.0178, lo que significa en la práctica que ese punto, aunque técnicamente  sea inestable, para todos los propósitos prácticos es ‘casi’ estable.

Bastante por hoy …. ! Y si habeis llegado hasta aquí, que gran mérito tiene, seguid el ejemplo de los montañeros en las cumbres: dejad un comentario diciendo al menos “yo estuve aquí”.

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4 respuestas a Errantes alrededor de los puntos de Lagrange: II

  1. Albert dijo:

    Gracias Mariano por tan interesante post, vaya curro te has dado,… He realizado una 1ª lectura que me ha hecho disfrutar, pero que no me ha sido suficiente para saborear plenamente todos los ingredientes del post, lo releeré varias veces con más detenimiento para ir exprimiéndolo.
    Una primera cosa que me ha sorprendido, pues va contra mi intuición previa: que el punto L3 sea tan inestable como L1 y L2. Mi (por lo que veo equivocada) intuición me hacía suponer que, por ejemplo para el sistema Sol-Tierra y otro objeto muy pequeño en L3, al estar este último tan alejado de la Tierra y siempre a 180º respecto del Sol, la “influencia” de la Tierra sería tan pequeña que no sería capaz de desestabilizar la órbita, vamos que sería prácticamente como si la Tierra “no estuviese” y el objeto “copiase” la órbita de la Tierra sin prácticamente enterarse de la presencia de ésta.
    En fin, gracias por divulgar Ciencia y esperaremos con impaciencia la 3ª parte sobre las Órbitas de Halo y de Lissajous, saludos.

  2. Albert, tu intuición previa es completamente acertada. He corregido la redacción del post para que no induzca a ese malentendido.

    Al decir que en L2 y L3 la situación es cualitativamente igual que en L1, se refiere a que para cualquier valor de α, en L2 y L3 el comportamiento es también de tipo ‘silla x centro’; esto sí que es así. Pero los valores de σ y ω en L3, que marcan los ritmos temporales de las evoluciones en las cercanías, pueden ser muy diferentes a los análogos en L1 (y a diferencia de los valores en L1, el σ de L3 sí que cambia sustancialmente al variar α, sobre todo cuando α se hace muy pequeño). Y esto, ciertamente, que no quedaba claro en la redacción anterior ya está corregido. En el sistema Sol-Tierra L3 es inestable, pero muchísimo menos inestable que L1 o L2, pues en L3 el tiempo 1/σ es muchísimo mayor (el orden de magnitud es 100 años), y en casos con un primario mucho más masivo que el secundario, como ese, el movimiento en L3 es muy cercano, como bien indicas, al de un problema de dos cuerpos, pues la influencia del secundario es muy pequeña (aparte de las perturbaciones de otros planetas, en ese caso prinipalmente Venus)

    El post ya es desmesuradamente largo, así que no creo que haya pasado nada por alargarlo un poco más incluyendo un Anexo con las gráficas de como varian σ y ω con α en L2 y en L3 y comentar un poco sobre ello. En cualquier caso muchas gracias por la observación: se aprende mucho de reconocer que lo que se ha escrito no está tan claro como debería.

  3. PhysMath dijo:

    Una duda: he leido en un .pdf de Neil Cornish encontrado en la red que resume esto de los puntos Lagrange y da los calculos que el tiempo de e-folding del L3 Sol-Tierra es 150 años (en los que los alienigenas tendrian tiempo de aparcar sus naves para preparar la invasion a la Tierra, hmmmm), pero aqui se da 56 años y luego en el comentario anterior se habla de 100 años, a quien hago caso?

  4. PhysMath, supongo que te refieres a este documento. Si comparas los resultados que Neil Cornish da en ese buen resumen con los que yo he comentado aquí, para L1 y L2 (del sistema Sol-Tierra) ciertamente los resultados son los mismos, con un tiempo de e-plicación (e-folding time) de unos 23 días. Para L3, en todo caso, el orden de magnitud es el mismo (100 años, a ese valor del orden de magnitud me refería en el comentario). Creo que mi resultado de unos 56 años es el correcto en la aproximación lineal; otra cosa es que en L3 del sistema Sol-Tierra la aproximación lineal sea mala y sea necesario ir a un orden más, lo que podria conducir a un valor sustancialmente diferente (como 150 años). Sin embargo, no me parece que Neil Cornish vaya más allá de la aproximación lineal. La verdad es que no sé con seguridad cual es el origen de la discrepancia. Si lo aclaro, ya lo contaré.

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