Sorpresas en las sumas infinitas (III) ¿Qué sentido tiene una suma infinita?

How many times must a man look up
Before he can see the sky?

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Blowin’ in the Wind, Bob Dylan 1962

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Juntar palabras en sucesión no es difícil. Pero, si se trata de matemáticas, es esencial saber qué significan. Es fácil decir ‘suma infinita’. Pero ¿qué significa suma infinita realmente? ¿Tiene un solo significado o hay varios posibles?

Comencemos por el principio. La suma de números reales es una operación binaria, que a dos números a y b les asocia un único número denotado a+b. La suma (de dos sumandos) tiene dos propiedades básicas: conmutativa, a+b=b+a y asociativa (a+b)+c=a+(b+c). Cuando escribimos una suma de tres sumandos, como a+b+c, realmente nos estamos refiriendo a una adición repetida de parejas de números, que podríamos hacer de varias maneras diferentes —por ejemplo (a+b)+c,  (b+c)+a, (c+a)+b , a+(b+c), b+(c+a)+ ó c+(a+b)—, y  las propiedades conmutativa y asociativa de la suma de dos sumandos aseguran que se obtiene el mismo valor empleando cualquiera de dichas alternativas.

Conviene apreciar que con esa elección realmente estamos definiendo el símbolo a+b+c, como a+b+c: = (a+b)+c, por mucho que las apariencias (y la costumbre) sugieran que el sentido de tal símbolo estaba ya unívocamente determinado por el propio símbolo, sin necesidad de ninguna intervención por nuestra parte. Desde luego, esa definición es completamente natural y seguramente es la única razonable, y por ello, autoengañándonos,  tendemos a pensar que el propio símbolo ‘transportaba’ su significado, y que no habría sido necesaria ninguna definición de a+b+c.

La idea se aplica naturalmente a cualquier número finito de sumandos, de manera que a1+a2+a3+….+aN debe definirse como el resultado de N-1 adiciones binarias, por ejemplo ((….((a1+a2)+a3)+….)+aN-1)+aN. Con esta definición se puede demostrar —sin gran dificultad— que estas sumas de N sumandos heredan todas las propiedades de las sumas binarias: el resultado es independiente del orden en que los términos se sumen, y de las agrupaciones que puedan efectuarse entre el conjunto de sumandos. Además resulta distributiva con respecto a la multiplicación, etc. Todo esto es elemental, pero conviene recordarlo, y tener en mente que para la definición hemos escogido un orden y una agrupación, pero podríamos igualmente haber escogido otros sin producir ningún cambio.

Cuando los matemáticos de la antigüedad o de la edad media trataban con una suma infinita, probablemente pensaran, quizás de manera implícita, en un proceso que, partiendo de una secuencia potencialmente infinita de números, consiste en iterar las sumas binarias de manera que afecten a un número finito, aunque potencialmente creciente de términos de la secuencia y luego comprobar si tal suma binaria  finitamente iterada se acerca o no a un cierto valor fijo cuando el número de sumandos crece indefinidamente.

En una carta escrita a su profesor Holmboe en 1826, Niels Hendrick Abel le cuenta que se está interesando en el problema de la suma de series, en el que

Niels Hendrick Abel (1802-1829)

… à l’exception des cas les plus simples, par exemple les séries géométriques, il ne se trouve dans les mathématiques presque aucune série infinie dont la somme soit determinée d’une maniére rigoureuse, c’est-à-dire que la partie la plus essentielle des mathématiques est sans fondement. Pour la plus grande partie les résultats sont justes il est vrai, mais c’est là une chose bien étrange. Je m’occupe à en chercher la raison, problème très intéressant.

Niels Hendrick Abel, carta a Holmboe, 1826

El primer paso para avanzar consiste en reconocer que aunque decir o escribir ‘suma infinita’ sea muy fácil de hacer, el símbolo a1+a2+a3+…., que consta de un número potencialmente infinito de sumandos, no viene automáticamente provisto de significado. El significado habremos de dárselo nosotros, mediante una definición. Realmente, ya tuvimos que hacer esto en el primer párrafo para una suma de tres o de N sumandos, pero en aquel caso la necesidad de una definición queda difuminada tras una apariencia de obviedad y por el hecho de que ese significado es el único razonable para un símbolo como a1+a2+a3+….+aN. Siendo ingenuos y atrevidos, podríamos confiar en que algo semejante ocurriera con el símbolo de ‘suma infinita’  a1+a2+a3+…., —esto es, que hubiera un único significado matemáticamente aceptable para el símbolo a1+a2+a3+…..— pero tal cosa no ocurre. Antes de proceder necesitamos definir que se entiende por tal símbolo, que de entrada carece de significado.

 

Esta necesidad (en general, para cualquier concepto matemático, no sólo para las sumas de las series infinitas) se hace prevalente en las matemáticas a lo largo del siglo XIX y hoy día es un lugar común, pero incluso en el siglo XVIII no se planteaba ni siquiera entre los mejores matemáticos. Demos la palabra a Hardy en su libro sobre Series Divergentes:

Godfrey Harold Hardy (1877-1947)

… it does not occur to a modern mathematician that a collection of mathematical symbols should have a meaning until one has been asigned to it by definition. It was not a triviality even to the greatest mathematicians of the eighteen century. They had not the habit of definition: it was not natural to them to say, in so many words: ‘by X we mean Y’ …. It is broadly true to say that mathematicians before Cauchy asked not How shall we define 1-1+1-1+….?’, but ‘What is 1-1+1-1+….?’, and this habit of mind led them into unnecesary perplexities and controversies which were often really verbal.

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G. Hardy, Divergent Series, 1948

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Creer que cada serie a1+a2+a3+…. debería tener un ‘valor’ resultante es una idea que hoy vemos como demasiado ingenua, pero que se rastrea sistemáticamente en el propio Euler en quien esa creencia coexistía con otros aspectos que al contrario eran impresionantemente avanzados para su tiempo. Hay que decir que muchas de las arriesgadas manipulaciones que Euler llevó a cabo con series divergentes, casi siempre al borde del abismo, le guiaron, de una manera que hoy parece casi incomprensible, hasta llegar a resultados correctos y profundos que más tarde se formularon con precisión y rigor. Un destacado ejemplo de tal proceder es cómo Euler obtuvo (realmente no debemos ni podemos decir demostró) la ecuación funcional para la función zeta (un resumen en estas notas, sección ‘La ecuación de reflexión para la función zeta, à la Euler’).

Pero también hay que decir que Euler fue demasiado optimista: aparte de confiar en que a cualquier serie podría asignársele una ‘suma’ mediante algún procedimiento adecuado, confiaba también en que todos los procedimientos de sumación, cuando fueran aplicables, deberían conducir al mismo valor como ‘suma’ de la serie. Veamos lo que dice en su artículo de 1760 sobre series divergentes:

Leonhard Euler (1707-1783)

 

…. Yo creo que a cualquier serie se le debería poder asignar un cierto valor. Sin embargo, teniendo en cuenta todas las dificultades que se han señalado en esta relación, a ese valor no se le debería llamar ‘suma’, pues habitualmente esta palabra está conectada con las sumas obtenidas mediante un proceso de sumación real: esta idea no es aplicable sin embargo a las series divergentes.

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Leonhard. Euler, 1760

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Hoy, con el beneficio de dos siglos y medio transcurridos, sabemos que la situación completa, tal cual la describe la actual teoría de series divergentes, es mucho más complicada y sutil que la esperanza ‘ingenua’ que expresaba Euler. Y también sabemos que no prosperó, desafortunadamente, la sugerencia de Euler de evitar el nombre de suma para el ‘valor’ asignado a las series divergentes mediante algún procedimiento de sumación diferente de la ‘sumación real’.

Lo que posiblemente nos da una de las claves —los nombres son mucho más importantes de lo que puedan parecer, por la carga semántica que de entrada y de manera implícita ya transportan— para entender porqué aún hoy muchos de los resultados matemáticos sobre las ‘sumas’ de series divergentes siguen rodeados para los no iniciados de un aura de perplejidad, que en buena medida se debe a que el mero uso del término ‘suma’ y de la notación a1+a2+a3+…. para tales objetos nos conduce subliminalmente a asumir dos ideas que a la postre resultan ser profundamente incorrectas:

  • I) El símbolo de ‘suma infinita’ a1+a2+a3+…. tiene un significado unívoco y bien definido, derivado directamente del sentido que tiene la suma ordinaria de un número finito de sumandos.
  • II) Una tal ‘suma infinita’ heredará las propiedades que tienen las sumas ordinarias.

Naturalmente, como comentamos antes, la versión finita de la propiedad I) es correcta, y en ese caso II) resulta ser también correcta, pues las sumas de N sumandos tienen todas las propiedades heredadas de las sumas binarias. Pero el paso de un número finito de sumandos a un número ‘infinito’ es cualquier cosa menos inocente. Y resulta que I) y II), en sus versiones ‘infinitas’, son incorrectas. Apreciar el sentido en el que ambas son profundamente incorrectas es necesario para comprender lo que realmente ocurre y aclara el enfoque necesario para evitar esas perplejidades.

Augustin Louis Cauchy (1789-1857)

El paso para reemplazar el uso despreocupado del símbolo a1+a2+a3+…. por una definición precisa y formulada rigurosamente —cuya necesidad sentía Abel en la cita que vimos antes—, lo había dado ya Augustin L. Cauchy en su Cours d’Analyse de 1821 (un resumen detallado del contenido, aquí). En pocas palabras: en el sentido ‘tradicional’ de Cauchy, se llama suma de la serie a1+a2+a3+…. al límite cuando N tiende a infinito de la sucesión de las sumas parciales σN: = a1+a2+a3+….+aN, cada una de las cuales es una suma finita y por ello está definida sin ambigüedad.

Si el límite existe (y por tanto es un número real, lo que excluye a los dos símbolos +∞ ó -∞), la serie se dice convergente, y se define la suma de la serie como el límite de la sucesión de sumas parciales.

Si el límite no existe (o si el ‘límite’ es +∞ ó -∞, que no son números reales), la serie se dice divergente y no tiene suma. Como vemos, ésta definición es una formalización de la idea que mencionamos al comienzo de este post. Solo que, ahora, formulada de manera precisa, sin dejar nada sobreentendido, y delimitando el sentido de la ‘suma’; conviene insistir en que Cauchy rehúsa hablar de suma de una serie excepto si la serie en cuestión es convergente.

Es fundamental comprender que esta ‘suma’ es el resultado de un proceso que al final no se reduce de ningún modo a una iteración infinita de sumas binarias, sino que es algo más; es otra cosa, ya que para definirla necesitamos combinar una noción algebraica, la de suma, con una noción analítica, la de límite, que es ajena a la aritmética. Realmente, y en modo tuit, podríamos resumirlo como:

Literalmente y estrictamente hablando, ninguna serie (a.k.a. suma infinita) es una suma de un número infinito de sumandos.

y su consecuencia:

Con cualquier definición de suma de una serie (como ya lo es la de Cauchy), deberemos volver a analizar que propiedades de las sumas finitas se mantienen y cuales no.

En las manos de las generaciones siguientes a la de Cauchy, esta formulación resultó ser una de las primeras situaciones en las que se muestra necesario el lenguaje de ε y δ que hoy se conoce informalmente como epsilóntica. Parece claro que la definición de Cauchy probablemente transcribe la esencia de la idea intuitiva que pudieron tener los mejores matemáticos anteriores sobre las sumas de series.

El primer precio que pagamos es que, a diferencia de una suma finita, que está bien definida para cualquier conjunto de sumandos a1,a2,a3,….,aN, la suma de Cauchy de una serie a1+a2+a3+…. no está definida para cualquier sucesión a1,a2,a3,….. Aquí aparece la primera distinción nítida entre dos grandes tipos de series que ya las exploraciones anteriores habían desvelado y de las que ya hemos hablado.

Por un lado están las denominadas convergentes (cuyo nombre que se había introducido ya en el S. XVII, bastante antes de la rigorización de Cauchy), que son aquellas para las que la sucesión de las sumas parciales tiene límite. Estas series son las que tienen suma en el sentido de Cauchy. En ellas las sumas parciales se acercan indefinidamente a un valor finito al tomar más y más términos, como ocurre con la serie 1+1/2+1/4+1/8+…., cuyas sumas parciales se aproximan indefinidamente a 2.

Por otro lado, están aquellas en las que tal cosa no ocurre, que son todas las demás, a las que se adjudica la etiqueta común ‘divergentes’. Conviene recordar que la variedad de comportamientos que pueden tener las sumas parciales de una serie divergente es inmensa: lo resumimos diciendo que mientras que las series convergentes se parecen entre sí, las divergentes pueden serlo cada una a su manera e incluyen situaciones muy variadas. Hay series divergentes cuyas sumas parciales llegan a sobrepasar cualquier valor finito (en algunas ésto ocurre de manera ‘evidente’ como en 1+2+3+4+…. ó en 1+1+1+1+1+….; también ocurre en otras, como 1+1/2+1/3+1/4+… , según vimos en el post anterior, aunque para esta serie la divergencia no sea inmediatamente evidente). Hay otras series divergentes para las que las sumas parciales no tienden a ningún límite; ejemplos sencillos de tales situaciones son 1-1+1-1+1-1+…, ó 1-2+3-4+…..

Aquellos lectores que hayan seguido un curso de Análisis Matemático posiblemente habrán visto en sus estudios solamente las series convergentes, que son muy pocas comparativamente al conjunto de todas las series posibles. Como en otras muchas situaciones que delimitan lo que figura en los cursos básicos frente a lo que se deja fuera, conviene no perder de vista que hablar solamente de las series convergentes es una autolimitación de corte puramente pragmático, que no debe interpretarse como que sea imposible asignar ‘suma’ a las series divergentes, que son la mayor parte de las series posibles. Lo que sí queda claro es que a las series divergentes no se les puede asignar una suma con el procedimiento de Cauchy.

Circunscribir la atención a las series convergentes sirvió históricamente para zanjar muchas discusiones asociadas a las contradicciones en las que aparentemente se incurría al tratar de asignar una ‘suma’ a ciertas series divergentes, pero, insisto, ésto no significa que matemáticamente sea imposible asignar a dichas series una ‘suma’; al contrario, debemos ver esa posibilidad como un terreno abierto por explorar. Y, naturalmente, con cada nuevo procedimiento de sumación que podamos definir, deberemos estudiar si las propiedades de las sumas finitas se mantienen o no, y distinguir claramente, si es el caso, entre aquellas propiedades que se mantengan y las que no.

Es interesante apreciar que la necesidad de un estudio semejante ya se plantea con las series convergentes, y que cuando se lleva a cabo sus resultados no están exentos de sorpresa: hay series convergentes cuya suma puede cambiar al reordenar los sumandos.

Si pasamos a las series divergentes, en el primer post de la serie aparecieron algunas afirmaciones chocantes, como la sorprendente

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + …. = -1/12

que desde luego no tiene ningún sentido dentro del enfoque tradicional de Cauchy. Lo mismo puede decirse de otras afirmaciones que se encuentran en la literatura, como por ejemplo

1  – 1 + 1  – 1 + 1  – 1 + …. = 1/2

1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + …. = -1/4

1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + … = -1/2

que en su momento ya mencionamos y sobre las que habremos de volver.

Esas cuatro series son divergentes, dos de ellas porque sus sumas parciales evidentemente acaban sobrepasando cualquier valor finito (así que su ‘suma’ ordinaria sería, en todo caso, igual a ∞) y las otras dos porque las sumas parciales no tienden a ningún límite. Por ello, acechará a quien haya seguido un curso estandar de Análisis Matemático la tentación de decir que las ‘igualdades’ del párrafo anterior  son absurdas.

Pero ¿debemos reaccionar así ante aquellas afirmaciones? Sí y no. En tanto que nos limitemos exclusivamente al sentido de Cauchy para la suma de la serie, y que tal autolimitación quede claramente enunciada, la reacción de afirmar que esos valores son absurdos es justificable y correcta; nada que objetar, pues aquellas series, siendo divergentes, simplemente no tienen ‘suma’. Pero solo dentro de ese contexto.

Pero en tanto queramos elevar lo que es solamente una autolimitación conveniente (hablar solamente del sentido de suma de Cauchy) al nivel de limitación absoluta, entonces la reacción no es aceptable. Elevar la calificación de absurdo hasta llevarla al de absurdo ‘absoluto’, independientemente del contexto, solamente sería aceptable si el sentido de Cauchy fuera el único que puede tener la suma de una serie. Y ya mencionamos que esta idea, que antes hemos denominado I), es profundamente incorrecta. Así que esta postura extrema no es aceptable.

La dificultad no está solamente en la propiedad I); incluso si nos limitamos a las series convergentes, tampoco la propiedad II) se verifica. Pues resulta que con la definición de suma de Cauchy, no todas las propiedades de las sumas finitas valen. En cualquier serie convergente la agrupación de términos sucesivos no modifica la suma, pero hay series convergentes (las denominadas condicionalmente convergentes) cuya suma se puede modificar con una reordenación de los términos de la serie. Esto es  algo que por supuesto es inimaginable en una suma finita, y por tanto no es fácil de visualizar. Lo que a su vez lleva a distinguir dos grandes clases de series convergentes: las absolutamente convergentes, que no cambian bajo ninguna reordenación y que sí heredan todas las propiedades de las sumas finitas, y las condicionalmente convergentes, que son un poco más exóticas, ya que para ellas una reordenación puede cambiar el valor de la suma a cualquier valor real prefijado (de hecho la situación es incluso peor: una reordenación puede transformar una serie condicionalmente convergente en otra divergente). De manera que incluso sin salirnos del contexto de las series convergentes, tampoco la propiedad II) es correcta: como colectivo, ni siquiera las series convergentes heredan todas las propiedades de las sumas de un número finito de sumandos.

Así que bien mirado, queda abierta la posibilidad de que existan otras posibles definiciones de ‘suma’ de una serie, que puedan asignar una ‘suma’ a series divergentes, y en las que afirmaciones como 1-1+1-1+1-1+…. = 1/2  ó  1-2+3-4+5-6+…. = -1/4  ó  1+1+1+1+… = -1/2, pudieran tener sentido. Algún sentido, otro sentido, no el sentido tradicional, claro está. Y que tengan otras propiedades, que visto lo visto con las series condicionalmente convergentes, podemos conjeturar aún más alejadas de las propiedades de las sumas finitas.

Y es que, parafraseando a Bob Dylan, antes de ver el cielo de las ‘sumas infinitas‘, deberemos mirar no una sino muchas (¿cuántas?) veces hacia arriba.

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