Pi y los números primos

Este misterioso π=3.141592······, que asoma tras cada puerta y cada ventana, y que desciende por cada chimenea.

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Augustus De Morgan, A Budget of Paradoxes

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¿Hay alguna relación entre π y la secuencia de los números primos? Las hay, de hecho varias. Hoy presento una que es poco conocida.

Hay infinitos números primos (esto se sabe desde Euclides, quien dió una demostración auténticamente genial). La secuencia de estos números comienza por 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, · · · · · ·

Excluyamos el 2, el único primo par, y quedémosnos con los demás: 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, · · · · · ·,  todos los cuales son impares. Cada uno de estos números primos está flanqueado, en la secuencia de todos los números naturales, por dos números, ambos pares. De estos dos números vecinos del primo, uno será necesariamente múltiplo de 4 y el otro no. Por ejemplo, 7 está flanqueado por el 6 y por el 8; el 6 no es múltiplo de 4 pero el 8 sí lo es.

Escribamos para cada número primo una fracción, construida tomando como numerador el número primo p en cuestión, y como denominador, de entre los dos números adyacentes a p, aquel que no sea múltiplo de 4. Por ejemplo, para p=3, la fracción asociada será 3/2. Para p=13, la fracción será 13/14. …. Y ahora tomemos el producto (infinito) de todas estas fracciones, esto es, consideremos:

\displaystyle A := \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{7}{6} \cdot \frac{11}{10} \cdot \frac{13}{14} \cdot \frac{17}{18} \cdot \frac{19}{18} \cdot \frac{23}{22} \cdot \, \cdot \, \cdot

Se sabe que la secuencia de los primos es muy irregular a pequeña escala. Y en los denominadores, unas veces hay un número una unidad menor y otras una unidad mayor que el numerador, de una manera en la que no parece haber ninguna regularidad visible. ¿Converge este producto? ¿Y si lo hace, cual es su “valor”, esto es, cuanto vale A?

Leonhard Euler. Crédito: Wikipedia

Leonhard Euler. Crédito: Wikipedia

Cada fracción individual tiende a 1 al crecer p, lo que es una condición necesaria pero no suficiente para la convergencia del producto. Pero en este caso resulta que el producto converge. La sorprendente respuesta para el valor de A requirió el genio de Euler, quien entre miles de otras cosas, nos regaló esta preciosa y desconocida fórmula, en la que literalmente, π parece descender por la chimenea:

\displaystyle \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{7}{6} \cdot \frac{11}{10} \cdot \frac{13}{14} \cdot \frac{17}{18} \cdot \frac{19}{18} \cdot \frac{23}{22} \cdot \, \cdot \, \cdot = \frac{\pi}{2}

¿Demostración? Euler la dió, pero no es fácil de encontrar, ni siquiera rastreando Internet. Si, mientras estamos en una isla desierta, nos piden demostrarla (cosas más raras ocurrían en Lost), probablemente solo lleguemos a la perplejidad. ¿Acaso sabríamos siquiera de donde partir para tratar de acabar llegando a esta fórmula?

Una última cuestión. Si en el producto anterior reemplazamos los denominadores por el otro vecino de cada numerador, el que es múltiplo de 4, tendríamos un nuevo producto infinito (que también converge):

\displaystyle B := \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{7}{8} \cdot \frac{11}{12} \cdot \frac{13}{12} \cdot \frac{17}{16} \cdot \frac{19}{20} \cdot \frac{23}{24} \cdot \, \cdot \, \cdot

¿Alguna idea o argumento para saber el valor de B? Calcular B aisladamente tiene dificultad comparable a la del cálculo de A, pero si damos por demostrado el resultado anterior A=\frac{\pi}{2}, lo ponemos al lado de otro curioso y famoso resultado debido también a Euler y no renegamos de la concepción babilónica de las matemáticas de la que hablaba Feynman, entonces ..

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11 respuestas a Pi y los números primos

  1. Cucumis dijo:

    Fascinante. Descubriendo este tipo de cosas es cuando me pregunto cómo es posible que la corriente mainstream de los matemáticos no sea algún tipo de holismo pseudo…

    “Y así, mi señor, es como sabemos que la Tierra tiene forma de plátano.”
    – Sir Bedevere

    Por cierto, está muy bien el vídeo de Feynman. Hay un buen momento sobre el segundo 9:40, cuando dice: “some day, when Physics is complete”.

  2. lcb dijo:

    Al leer esta historia de números primos y el número pi, en primer lugar he estado jugando un poco con los números A (=Pi/2) y B, para intentar deducir el valor de B. He visto pronto que el producto AB es el producto de los cocientes pxp/(pxp -1) para todos los números primos p. Y alguna cosa más, pero me he cansado pronto. Veremos otro día.

    Sin embargo, he recordado una historia sobre estados de tres bosones que he leído hace poco aquí: http://link.aps.org/doi/10.1103/Physics.3.9 . Se trata de lo siguiente. El número e elevado al número pi (e^π), con una pequeña corrección, es un factor de escala importante en el problema de tres bosones idénticos que interaccionan con un potencial de dos cuerpos resonante (caracterizado por su longitud de scattering a), cuyos detalles no son importantes salvo una cantidad adicional llamada el parámetro de tres cuerpos. En el estudio de este problema, Efimov encontró en 1970 una serie de estados para los trímeros (conjunto de tres cuerpos, tres átomos por ejemplo) que conecta desde el límite de trímeros ligados (a menor que 0) con el límite del sistema dímero-átomo para a mayor que 0. Lo sorprendente es que también obtuvo un factor de escala geométrico F tal que al aumentar la longitud en ese factor se obtiene otro estado cuyo tamaño es F veces más grande y cuya energía es F veces más pequeña. El factor F es esencialmente el número e elevado a pi.

    Los estados ligados de tres cuerpos, también llamados estados Borromeos porque al quitar uno de los tres componentes se destruye todo el conjunto (como en los anillos Borromeos), existen para longitud de scattering a menor que cero incluso si no existen estados ligados de dos cuerpos. Además, para a mayor que cero, los estados de trímero desaparecen cuando la intensidad de la fuerza de dos cuerpos aumenta. Así pues, el papel del parámetro de tres cuerpos es determinar donde comienza exactamente la serie de estados ligados de trímeros.

  3. Cucumis, Bienvenido. No permitan Euler ni Riemann que el mainstream de las matemáticas se desvanezca en un holismo pseudo, habiendo como hay tantísimos rincones apenas conocidos y tan fascinantes como este.

    lcb, ay, qué pronto te has cansado yendo por tan buen camino.

    Y, por lo que dices, π, aparte de en la Física más elemental, en donde aparece por doquier por motivos que se entienden, resulta descender de manera inesperada no solo por las chimeneas de las Matemáticas, sino también en cuestiones tan aparentemente alejadas como estos estados ligados de tres cuerpos en Mecánica Cuántica, cuya misma existencia requiere que haya tres, análogo a lo que ocurre con el enlace de los anillos borromeos. Muy curioso.

  4. Ah!, Cucumis, por cierto, en el mundo de Sir Bedevere, no solo la Tierra tiene forma de plátano, sino que hasta su π, al ser de una mesa cuadrada, vale exactamente 4. “Tanto conocimiento me asombra, Sir Bedevere”: Pero, para conseguir tanto conocimiento, ¿habrían visto estos caballeros muchos videos de Feynman? 🙂

  5. Cucumis dijo:

    Vaya, y yo pensando que lo que iba a misa era que valía exactamente 3! (I Reyes 7:23)

    Tirando un poquito del hilo de lcb, B vale 1/2? Descomponiendo el resultado de lcb en p/(p-1) x p/(p+1), no estoy seguro del todo, pero creo que vale pi/4.

  6. Cucumis, sigues por muy buen camino. Un poco más de detalle en la justificación del resultado B=π/4 y para tí uno de los prometidos títulos de Doctor Circulorum otorgados por este blog que se anunciaron hace tiempo. Es correcto cuando dices “creo que (B) vale π/4”, y supongo que en la linea anterior lo que quieres decir es “B vale A/2”, que es lo consistente con la ultima afirmación.

    Mas allá del valor π=3 que es lo que se concluye interpretando la Biblia a lo obispo Usher, hay una historia bastante increíble, pero al parecer completamente cierta, de un intento de legislar un valor exacto para π, la House Bill no 246, Indiana State Legislature (EEUU).

  7. Cucumis dijo:

    Disculpadme por mi anterior post, que hasta yo he pensado que parecía escrito más bien por un lemur borracho. Gracias, Mariano, por ponerle algo de cordura. He vuelto a echarle otro ojo a esto, y ya lo tengo algo más claro. Mi campo de trabajo queda algo lejos de estos temas, pero la ignorancia es atrevida, así que aquí va (espero que se vea bien lo de \LaTeX):

    La pista de Mariano del famoso resultado de Euler tiene toda la pinta… de ser el producto de Euler, que se relaciona con la función zeta de Riemann de la siguiente manera, con s > 1: \zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^s} = \prod_{p} \frac{1}{1-p^{-s}}, siendo p los números primos, comenzando en 2. Se ve de un golpe de vista que si se desarrolla un poco y se sustituye con s = 2, queda muy parecido a lo que decía lcb: A B = \prod_{p} \frac{p^2}{p^2-1}, con la salvedad de que aquí p comienza en 3. Si dejamos multiplicando fuera el caso de p = 2, queda \zeta(2) = \frac{4}{3} A B. Wolfram Alpha dice que \zeta(2) = \frac{\pi^2}{6} (plas! no viene mal un ad autoritas de vez en cuando). Por lo tanto, teniendo A = \frac{\pi}{2}, obtenemos B = \frac{\pi}{4}.

    Por otro lado, si aceptamos argumentos ad autoritas, en la página de la Wikipedia en inglés sobre Euler product, pone “…where each numerator is a prime number and each denominator is the nearest multiple of four”, que es nuestro B. Pero está argumentado de otra forma que se me escapa.

    Como veis, he hecho alguna parte desde la simbología más que desde la comprensión real, pero al menos me ha servido para leer cosas interesantes que probablemente no hubiese leído de otra manera. Ya me diréis si el argumento es correcto, y si era el esperado.

  8. Chapeau. Exactamente esa relación era en la que estaba pensando. De manera que Cucumis, te has ganado merecidamente uno de los títulos circulares. Habrá que ver como les desvirtualizamos …..

    Si adoptas una concepción babilónica de las matemáticas, tendrás que usar cosas que sabes de aquí y allá, y por tanto en ella me parece inevitable aceptar cierto nivel de argumentos de autoridad. Una vez vista la relación del producto sobre los primos que define la función zeta de Euler con los dos valores A, B, lo único que necesitas realmente es el valor de \zeta(2), valor que puedes preguntar a un libro, a un humano, a Mathematica o a Wolfram Alfa. Si confias en su autoridad, y ellos merecen tu confianza, todos te deberán dar el mismo valor.

    Es curioso que años antes de establecer la relación \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^s} = \prod_{p} \frac{1}{1-p^{-s}} entre la suma de (potencias de) los inversos de los naturales y ese producto sobre números primos p = 2, 3, 5, ..., (que es la puerta de entrada hacia el estudio de la relación entre la función zeta y la distribución de los números primos, visionariamente hecha por Riemann extendiendo la zeta de Euler al plano complejo), Euler había dado un argumento no totalmente riguroso pero precioso para calcular el límite de la serie \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2} resultando en el hoy famoso valor \frac{\pi^2}{6}. Así Euler resolvió el llamado problema de Basilea, que había resistido a los intentos de los mejores matemáticos durante todo el siglo anterior.

  9. Solanum dijo:

    Así que aquí tenemos un Cucumis Doctorado. ¿Qué diria el Capitán Haddock?

    Troll mode off. This one was easy…

  10. Cucumis dijo:

    Me alegro de haber llegado a buen puerto. La verdad es que al principio casi ni me planteé intentarlo, pero la respuesta de lcb me picó/animó.

    Sí, está claro que es necesario usar argumentos de autoridad para cosas que parecen bien asentadas, aunque sólo sea desde un punto de vista práctico. Y por cierto, gracias por el sutil recordatorio de que los primos comienzan en 2.

    Hombre, Solanum, fácil fácil… relacionar primero cucumis con ese género de las plantas en vez de con el género de ir pidiendo el título de Doctor Ridiculum (declinado a lo Python “Romanes eunt Domus”), concretar luego eso en el calabacín y finalmente relacionarlo con el calabacín diplomado del Capitán Haddock… diría yo que eso sí que es tener una concepción babilónica de la Naturaleza 😉

  11. Yo también me alegro de que hayas llegado :-). Bueno, la verdad es que no sé muy bien que más decir respondiendo a Solanum y a Cucumis cuando han dado inesperadamente esta deriva haddockiana a una discusión tan genuinamente numérica. Pero estoy de acuerdo con Cucumis que para relacionar todo esto hay que tener una concepción muy babilónica, en general. Que soy reconocido tintinófilo no es nada oculto. El estilo hiper-realista de los dibujos de Hergé hacía que cada lectura fuera casi un viaje real alrededor del mundo. ¿Quien no recuerda —en plan babilónico, por cierto— al capitán Haddock dirigiendo insultos improbables —y bastante divertidos, como el de calabacín diplomado— a quien se cruzara en su camino, o reaccionando con un ceño inconfundible a los gorgoritos de la Castafiore “Ah, me río de verme tan bella en este espejo”?

    Hace tiempo, creo, mencioné muy de pasada una historia curiosa, que prometí contar, y que conecta con este universo de Tintín. Doy ahora algún detalle más. El profesor Tornasol, en algún momento de su carrera, escribió un trabajo sobre una nueva derivación simple de la relación E = mc^2. Para quienes no lo crean, aquí está la cabecera del artículo original.
    Blog1402_CabeceraArticuloTornasol¿Cómo acabó este artículo siendo evaluado por los estudiantes del curso de Relatividad hace unos cuantos años? y ¿Cuál fue el resultado de esta evaluación? Lo describiré en algún próximo post.

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