De imposibilidades: El teorema de Arrow

Kenneth Arrow 1996, Crédito de la fotografía: LA Cicero

Hace unas semanas ha fallecido Kenneth Arrow, considerado como uno de los tres o cuatro economistas más importantes del S. XX. Tenía 95 años y había recibido el Premio Nobel de Economía en 1975.

Al nivel no especializado,  el resultado por el que Arrow es más conocido es su teorema de imposibilidad, que dió la mayoría de edad a un campo de investigación a caballo entre las Matemáticas y la Economía: la teoría de la elección social, desarrollada a partir de su libro de 1951 “Social Choice and Individual Values”.

Aquí un comentario de un economista sobre el teorema de Arrow, y aquí una charla sobre las contribuciones de Arrow.

Ilustres predecesores de Arrow en ese campo son los nombres de Ramón Llull (S. XIV), los franceses Nicolas de Condorcet y Jean Charles Borda (a finales del S. XVIII) y, en la misma época, de manera independiente y mucho menos conocido, el ilustrado español José Isidoro Morales (cuya contribución al asunto ha sido descubierta en tiempos relativamente recientes por miembros del grupo de investigación en elección Social de la Universidad de Valladolid; aquí una breve biografía de Morales).

Hace unos años dí una charla en un ciclo sobre los Límites del Conocimiento. Entre otros ejemplos de cómo las matemáticas y la física establecen de manera natural e inevitable límites absolutos, que son literalmente imposibles de transgredir, aparecía el teorema de Arrow. Se trata de un resultado matemático, y por tanto inescapable. Al leer la noticia del fallecimiento de su autor he recordado aquella charla y ya que se trata de un resultado realmente fundamental, he pensado en publicar la parte de las transparencias de la charla que trataban de éste resultado. Aunque en ausencia de los comentarios realizados durante la charla sobre la base del texto de las transparencias éstas queden seguramente demasiado esquemáticas, espero que al menos sirvan para despertar el apetito de los lectores que no conozcan este teorema ni su contexto.

El teorema de imposibilidad de Arrow se refiere al problema general de agregación de preferencias, esto es, a los métodos por los cuales las preferencias sobre una opción de un conjunto de miembros de una colectividad (electores) se traducen en una sola preferencia global , que juega el papel de preferencia colectiva. El ejemplo más obvio es el de elegir a un representante de la colectividad entre varios candidatos, sobre cada uno de los cuales los electores pueden expresar sus preferencias individuales. Pero el campo de aplicación de la idea de agregación de preferencias es muchísimo más amplio.

El significado fundamental del resultado de Arrow es que sean cuales sean los detalles precisos del mecanismo de agregación (trátese de una votación uninominal en el que cada elector propone únicamente a ‘su’ candidato, o trátese de un sistema preferencial en el que cada elector ordena a todos los candidatos según su propio orden de preferencia, o trátese cualquier otro método), es imposible que el procedimiento satisfaga simultáneamente ciertas condiciones que individualmente parecen inocuas y que ingenuamente parecerían exigencias irrenunciables en un mecanismo de agregación `razonable’.

Se trata de una imposibilidad matemática, y por tanto inevitable. Simplemente, no existe ningún sistema de agregación de preferencias que no pueda llevar en ciertas circunstancias a resultados que nadie dudaría en calificar de indeseables al ser abiertamente contrarios a lo que el diseño del sistema de agregación ingenuamente pretendía. Estas consecuencias `indeseables’ pueden aparecer en ciertas situaciones, y  podremos evitarlas solamente al precio de una modificación en el sistema de agregación en el cual las consecuencias que queríamos evitar podrán quizás haber desaparecido, aunque inevitablemente habrán aparecido otras consecuencias indeseables.

Les dejo con las transparencias.

PS. Este post aparece intercalado en una serie sobre las sumas infinitas. En parte esto es casual, ya que se trata de recordar un resultado importante de Kenneth Arrow en ocasión de su fallecimiento. Pero hay también una componente nada casual: no quiero dejar de mencionar que conceptualmente, el teorema de Arrow tiene bastantes analogías con lo que ocurre con la idea de `suma infinita’, analogías que espero comentar en los siguientes posts de la serie. Si queremos asignar una suma a una sucesión infinita de sumandos, y enunciamos unas cuantas propiedades que individualmente parecen inocuas y que ingenuamente parecerían exigencias irrenunciables en cualquier concepto de ‘suma’, lo que las matemáticas nos dicen, simplemente, es que en general no existe ningún concepto de `suma’ que tenga todas estas propiedades para una serie arbitraria.

De manera que si insistimos en asignar un valor como `suma’ a una tal serie, nos veremos obligados a renunciar a alguna de las propiedades que ignorantemente tildábamos de irrenunciables, viéndonos pues obligados literalmente a tragarnos nuestras palabras  (lo que, según Churchill, es una dieta muy nutritiva). La práctica totalidad de las dificultades y de las aparentes paradojas que se presentan al analizar las `sumas’ de series divergentes surgen como consecuencia de suponer (ingenua y equivocadamente) que tal suma tiene tales o cuales propiedades (por ejemplo, que no cambia al reordenar los sumandos, o al agruparles, o al introducir ceros en la serie), que realmente las `sumas’ de series arbitrarias no pueden tener. Desarrollaré esta analogía en los posts siguientes sobre sumas infinitas.

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