Los puntos de Lagrange I: ¿Qué son?

‘Sitúense en el Sol’ —había dicho un día Mendoza a una clase de estudiantes ligeramente desconcertados, poco después del anuncio de su Premio Nobel — ‘y dirijan la vista a Júpiter, a 750 millones de kilómetros. Entonces abran sus brazos, sesenta grados a cada lado …… ¿Saben hacia donde están apuntando?’

No esperaba respuesta, ni tampoco hizo una pausa para que la hubiera.

‘No podrán ver nada allí, pero estarán apuntando a dos de los lugares más fascinantes en el sistema Solar ….’

A. C. Clarke, en “El martillo de Dios”

 

Basta leer sobre muchas de las interesantes misiones espaciales realizadas en los últimos cuarenta años (en concreto, ISEE-3, Genesis, WMAP, Herschel, Planck), sobre la misión astrométrica Gaia, lanzada hace menos de un año, o sobre el magnífico proyecto de telescopio espacial en curso de ejecución (James Webb Space Telescope), para encontrar menciones a los puntos de Lagrange y a diferentes órbitas (de Lissajous o de Halo) alrededor de estos puntos. Y es que todos esos satélites se encuentran (se encontraron, se encontrarán) en órbitas de estos tipos alrededor de los puntos de Lagrange SEL1 y SEL2 del sistema Sol-Tierra. No es accidental que estén allí. Todas estas misiones se aprovechan del carácter de estas ubicaciones distinguidas en el sistema Sol-Tierra,  sus puntos de Lagrange. ¿Qué son esos puntos? ¿Porqué son distinguidos? Y, ¿cómo emplear esa distinción para nuestros propósitos?

Como suele ocurrir en muchas otras circunstancias, la respuesta exhibe un entrelazamiento notable entre desarrollo teórico y aplicaciones prácticas: la urgencia de las segundas hace revivir teorías que dormían un apacible sueño, y que una vez fueron producto de la simple curiosidad, sin ninguna previsión de posibles aplicaciones. Pero que las tienen, ¡vaya si las tienen!

Y a la vez, aparece aquí una armoniosa relación entre ideas, técnicas y modelos, tanto en un aspecto sincrónico como en otro diacrónico.  La mecánica newtoniana (versión S. XVIII) es todo lo necesario para encontrar los puntos de Lagrange de un sistema de dos cuerpos primarios (Sol-Júpiter, Sol-Tierra, Tierra-Luna, ….). El estudio de los movimientos alrededor de estos puntos es un ejemplo (de libro pero no trivial) de la teoría de sistemas dinámicos, que transforma la pregunta sobre la estabilidad de tales movimientos en un problema de autovalores y autovectores, esto es, en uno de los conceptos  básicos del álgebra lineal (S. XIX). Así se predice la existencia de movimientos alrededor de esos puntos, que en el plano de los dos primarios (dos dimensiones) son periódicos (órbitas de Lyapunov)  y que al considerar la tercera dimensión son en general biperiódicos, con dos frecuencias cercanas (llamadas órbitas de Lissajous con trayectorias que son análogas en 3D a las figuras de Lissajous obtenidas superponiendo movimientos armónicos de frecuencias diferentes).

Finalmente, el uso juicioso del principio 0 de la física —nunca hagas un cálculo antes de saber el resultado, Wheeler dixit— nos llevará en el último de los posts de esta serie desde la física elemental del péndulo hasta poder intuir la existencia de unas interesantísimas órbitas tridimensionales y periódicas alrededor de estos puntos, las órbitas de Halo. Estas órbitas fueron encontradas y bautizadas por Robert Farquhar en plena segunda mitad del S.  XX, ya con el propósito definido de emplearlas para efectuar misiones espaciales en los puntos de Lagrange.  Y sí, se trata de un nombre muy bien puesto: estas órbitas trazan más o menos un halo alrededor del punto de Lagrange, como el que tienen alrededor de la cabeza los santos en las estampas.

Los precedentes: Euler y Lagrange

Se suele comenzar esta historia con Euler y Lagrange, en el último tercio del S. XVIII. Pero ni Euler ni Lagrange discutieron el problema particular al que hoy día se asocian los puntos de Lagrange. Como ocurre a veces, —y especialmente ocurrió con Lagrange— el problema realmente abordado por este matemático franco-italiano fué mucho más ambicioso y sus conclusiones más generales; la situación a la que en la actualidad asociamos los llamados ‘puntos de Lagrange’ es tan solo un ejemplo o caso muy especial del resultado de Lagrange.

Euler

Leonhard Euler (1707-1783).
Crédito: Wikipeda

Lagrange

Joseph-Louis de Lagrange (1736-1813)
Crédito: Wikipedia

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Visto con perspectiva, lo que Euler y Lagrange iniciaron fue el estudio ‘moderno’ del problema de los tres cuerpos (‘moderno’ o clásico, por oposición a ‘contemporáneo’, que podríamos datar a partir de Poincaré). Se trata del estudio del movimiento de tres masas, que se mueven bajo el efecto de sus interacciones gravitatorias, en el contexto de la teoría newtoniana de la gravitación.

Euler

Primera página del  trabajo de Euler “De Motu Rectilineo ….”

Cuando hay solamente dos cuerpos en juego, el problema análogo admite una solución completa y exacta, debida a Newton, que transmuta las leyes empíricas de Kepler en resultados de una teoría consistente. Si los movimientos se refieren a un marco de referencia no rotante en el que el centro de masas del sistema está en reposo (lo que a finales del S. XIX, pero no antes, comenzó a llamarse sistema inercial), los dos cuerpos ejecutan movimientos semejantes alrededor del centro de masas común y las trayectorias que siguen ambos cuerpos son cónicas con un foco en el centro de masas. La ley horaria del movimiento, que es la expresión que nos dice en qué punto de la órbita se encuentra el cuerpo en cada instante de tiempo, es el aspecto más difícil del problema, que no obstante puede resolverse exactamente (por ejemplo, mediante el uso de un parámetro de evolución adecuado —la llamada anomalía excéntrica—).

Si la masa de uno de los cuerpos es mucho mayor que la del otro (éste es el caso si el sistema de dos cuerpos es un conjunto Sol-planeta en el sistema Solar), podemos considerar despreciable la masa del planeta frente a la del Sol. El planeta entonces se mueve alrededor de un Sol ‘inmóvil’, y ejecuta una elipse, con un foco en el Sol. La mayor parte de los planetas tienen órbitas de excentricidad pequeña, que en buena aproximación podemos ver como círculos.  Si despreciamos así la excentricidad, conseguimos la ley horaria sea la más simple posible: el planeta se mueve sobre su órbita circular con velocidad lineal uniforme, y por tanto con velocidad angular uniforme. Tras el tiempo empleado en completar una revolución con respecto al resto del Universo (llamado precisamente periodo sidéreo) la configuración del movimiento del planeta se repite. Para órbitas circulares alrededor de un Sol de masa M, considerando despreciable la masa del planeta, entre el radio de la órbita L y la frecuencia angular del movimiento Ω existe la relación llamada ‘ley 123 de Kepler’: G M = Ω2 L3 (que se suele formular diciendo que los cuadrados de los periodos son proporcionales a los cubos de los semiejes, pero que resulta mucho más fácil de recordar y apreciar en la forma 123)

Naturalmente, es fácil ver que el modelo anterior tiene, además de las aproximaciones explícitas indicadas, bastantes otras que se dan implícitamente. Por ejemplo, los restantes planetas también afectarán, vía la interacción gravitatoria, al movimiento del planeta escogido (especialmente si uno de esos otros planetas es Júpiter). Encontrar una buena descripción de cómo los restantes afectan al movimiento de cada planeta es un problema nada inmediato, pero esa no es nuestra historia de hoy.

Antes de que se llegara a saber lo que hoy sabemos sin asomo de duda, que no se puede encontrar una ‘solución general exacta’ al problema de tres cuerpos al modo en que se puede hacer para el de dos,  hubo una época que hoy podemos ver como ‘ingenua’ en la que existía cierta esperanza de encontrar una tal solución. Es en estas investigaciones en las que se colocan las aportaciones de Euler y de Lagrange.

Lo que Lagrange hizo fué plantear las ecuaciones del problema de tres cuerpos, limitándose a la evolución de las distancias entre los cuerpos, pero despreocupándose de los restantes aspectos del movimiento que esos cuerpos pudieran tener en el espacio. El planteamiento de Lagrange es por un lado completamente general (pues trata del movimiento de tres cuerpos de masas arbitrarias bajo sus acciones gravitatorias mutuas) pero por otro lado es solamente parcial, pues al limitarse a las distancias mutuas se deja de lado una gran parte de la información sobre el movimiento en tres dimensiones que la solución completa requeriría.

Tras haber planteado las ecuaciones, Lagrange pasa a estudiar si existe alguna solución en la cual los tres cuerpos se mantengan siempre exactamente a las mismas distancias, o si existe alguna solución en la cual las tres partículas cambien sus distancias mutuas pero manteniendo las mismas proporciones entre ellas.

En el problema de dos cuerpos y en el caso de órbita circular, que es la solución ‘más sencilla’, ocurre precisamente el primero de esos fenómenos: las dos partículas se mantienen permanentemente a la misma distancia; por ello podemos encuadrar la investigación de Lagrange como la búsqueda, en el caso del problema de tres cuerpos, de la solución ‘más sencilla’ análoga a la del movimiento circular en el de dos.

Pues bien, lo que Lagrange encontró en 1772 es que solamente hay dos maneras posibles en las que los tres cuerpos se muevan bajo sus acciones gravitatorias mutuas manteniendo la misma forma de su disposición relativa.

Animacion

Tres cuerpos, de masas distintas, en una configuración de Euler: los tres se mantienen alineados.  Crédito: R. Moeckel

En la primera posibilidad los tres cuerpos están inicialmente alineados, y según se mueven se mantienen alineados, entre sí y  con su centro de masas, que permanece inmóvil, mientras la línea que une los tres cuerpos rota.  Los cocientes de las distancias entre los tres cuerpos dependen de los valores de las tres masas. En cuanto a las propias distancias,  o bien se mantienen constantes a lo largo del tiempo, como en el ejemplo ilustrado en la animación, o bien cambian a lo largo del tiempo por el mismo factor común, manteniendo por tanto constantes los cocientes de distancias, o lo que es lo mismo, su forma. Resulta que esta configuración ya había sido estudiada por Euler unos pocos años antes, en 1765. Las órbitas de cada partícula resultan ser rectas o secciones cónicas, y las tres partículas recorren estas curvas mientras se mantienen permanentemente alineadas.

En la segunda posibilidad, los tres cuerpos forman un triángulo exactamente equilátero, que puede o no rotar alrededor del centro de masas inmóvil, con un tamaño que puede  también, o no, cambiar con el tiempo. En este caso, en cada instante las distancias entre las parejas de los tres cuerpos son iguales entre sí , independientemente de los valores de las masas, y pueden aumentar o disminuir a lo largo del tiempo, aunque lo harán con un mismo factor para mantener en todo momento la igualdad entre las tres distancias.

En ambos casos, el movimiento individual de cada cuerpo será según una órbita curva, como se ve en las siguientes animaciones (tomadas de la página Three body problem de Scholarpedia, crédito de las animaciones R. Moeckel). En estos casos (que, recordemos, son soluciones muy particulares del problema de tres cuerpos), falta caracterizar las órbitas individuales, estudio que completó Lagrange encontrando que también resultan ser rectas, círculos o secciones cónicas (exactamente como ocurre en el problema de dos cuerpos, y en la configuración de tres cuerpos de Euler).

Animacion

Tres cuerpos, de masas distintas, en una configuración triangular de Lagrange. Crédito: R. Moeckel

Animacion

Tres cuerpos, de masas distintas, en una configuración triangular de Lagrange. Crédito: R. Moeckel

Animacion

Tres cuerpos, de masas distintas, en una configuración triangular de Lagrange. Crédito: R. Moeckel

Lagrange, consciente de que un movimiento de uno de estos dos tipos requiere un ajuste preciso de las condiciones iniciales (no basta con disponer las tres partículas según un triángulo equilátero; las velocidades tienen que tener una orientación y unos valores únicos y precisos para que la evolución mantenga la forma triangular), pensó que ésta solución triangular era tan solo una curiosidad, sin ninguna relevancia práctica. Y así lo escribe en el Prólogo de su ‘Essai sur le problème des trois corps‘, Oeuvres de Lagrange, Vol. 6, p 229, accesible completo en Gallica, y del que reproduzco el párrafo pertinente:

Lagrange

El párrafo de la introducción del “Essai sur le problème des trois corps” en el que Lagrange describe la solución triangular

Estos son los precedentes. Resumiendo: solo existen dos configuraciones en las que tres partículas de masas arbitrarias, bajo la acción de su gravitación recíproca, pueden moverse de manera que las distancias mutuas (y al centro de masas fijo) se mantengan en las mismas proporciones constantes: una configuración lineal y otra triangular equilátera. Como vemos, en ese trabajo (impresionante por otra parte) Lagrange nunca habló de ‘puntos’. Tampoco Euler. Y es que los puntos de Lagrange, tal cual hoy los conocemos,  aparecen históricamente 130 años más tarde, en el contexto de un problema mucho más concreto. La denominación de ‘puntos de Lagrange’, aunque imprecisa históricamente, no es sin embargo inadecuada, pues como veremos enseguida, se refieren a una situación que resulta ser un caso particular del problema general abordado por Lagrange.

Durante 130 años, pareció estar en vigor la previsión de Lagrange de que sus soluciones eran una simple curiosidad: antes de 1906 no se conocía ningún ejemplo en la naturaleza de tres cuerpos moviéndose en órbitas como las predichas por Lagrange. En 1906 se descubre un asteroide, Aquiles, y cuando se determina su órbita resulta que es la misma que la de Júpiter, pero ocupando sobre ella una posición a 60° con respecto a Júpiter. Se trata del primer ejemplo descubierto en la Naturaleza de la configuración de tres cuerpos (El Sol, Júpiter y este asteroide) que se mueven manteniendo la forma de un triángulo equilátero. Este descubrimiento saca el resultado de Lagrange del letargo en el que permanecía, ahora en el contexto del sistema Solar. De manera anónima, o al menos sin que yo haya encontrado constancia fiable de quien y cuando lo hizo, se introduce entonces la idea de los puntos de Lagrange en el sistema formado por el Sol y un planeta (Júpiter). Y a partir de entonces la historia se acelera: se empiezan a encontrar más y más asteroides en los puntos de Lagrange L4 y L5 del sistema Sol-Júpiter, y luego en muchos otros sistemas. Pero de esto hablaremos en otro post; seguimos con la pregunta que aun no hemos respondido ¿qué son los puntos de Lagrange?

El  problema circular restringido de tres cuerpos.

Imaginemos ahora que nos interesa estudiar el movimiento de un objeto (diremos un asteroide; podríamos igual pensar en una de las naves de las misiones COBE, WMAP, Herschel, Planck, JWST mientras viajan sin propulsión propia) en el campo gravitatorio conjunto del Sol y la Tierra.

Supondremos que la masa del asteroide es totalmente despreciable frente a la de los otros dos cuerpos (lo es), de manera que podemos ignorar el efecto gravitatorio causado por el asteroide sobre el Sol y la Tierra.

El problema se reduce entonces al estudio del movimiento de un cuerpo de masa despreciable en un campo gravitatorio creado exclusivamente por los otros dos. El movimiento de estos dos cuerpos es conocido y podemos simplificar la discusión suponiendo que siguen órbitas circulares alrededor de su centro de masas común. Para el sistema Sol-Tierra esta es una buena aproximación, con distancia mutua 1 UA (unos 150 millones de Km) y período sidéreo de un año. Ya indicamos antes que esta situación admite una solución completa muy simple: los dos cuerpos, con masa conjunta total M, rotan alrededor del centro de masas común, a distancia L, y con una pulsación (velocidad angular) Ω que están ligadas entre sí por la ‘ley 123 de Kepler’: G M = Ω2 L3

La pregunta es ahora ¿cómo se mueve el asteroide en ese campo gravitatorio, variable con el tiempo, creado por los dos cuerpos primarios?

Comencemos por explorar si existe alguna posibilidad en la que el movimiento del asteroide sea según una trayectoria circular alrededor del centro de masas, con precisamente la misma velocidad angular que los dos primarios. De ser posible, esto significaría que relativamente a los dos primarios, el asteroide está en reposo; mejor diríamos reposo relativo. Por supuesto esto implica que las distancias a los dos primarios y al centro de masas se mantienen constantes a lo largo de la evolución. Y mediante esa cadena de argumentos vemos que nuestro problema actual es un ejemplo muy especial de las configuraciones estudiadas por Lagrange. Como Lagrange demostró en general (esto es, para valores arbitrarios de las tres masas m1, m2, m3) que esta situación solo puede darse con los tres cuerpos alineados o formando un triángulo equilátero, en nuestro caso concreto la cosa no puede ser diferente: las únicas posibilidades que existen para que el asteroide permanezca en reposo relativamente a los primarios son que forme un triángulo exactamente equilátero con respecto a los primarios (independientemente de cuales sean las masas de los primarios) o que el asteroide y los primarios estén alineados, con distancias relativas entre el asteroide y los dos primarios que en este caso dependerán de las masas m1, m2 y que habrá que calcular.

En la terminología moderna, estos puntos proporcionan lo que se llaman equilibrios relativos del sistema. Un asteroide situado en uno de estos puntos, y con movimiento inicial según un círculo alrededor del centro de masas con la misma frecuencia angular del sistema de los primarios se mantiene, a lo largo de su movimiento, en la misma disposición relativa con respecto a ellos.

Los puntos de Lagrange del sistema

Cuando se plantea el problema y se calculan los posibles equilibrios relativos, lo que resulta es que hay en total cinco posiciones del asteroide en los que se da esta condición. Las cinco están situadas en el plano de la órbita de los primarios. Tres posiciones están alineadas con ambos: son los tres primeros puntos de Lagrange, del sistema de los dos primarios, denotados  L1, L2, L3. Si convenimos en llamar primario al primario de masa mayor (por ejemplo el Sol) y secundario al primario de masa menor (por ejemplo la Tierra), las posiciones de estos puntos, todos ellos sobre la línea recta que une los primarios, se describen cualitativamente como:

L1, en cierta posición intermedia entre el primario y el secundario
L2, desde el primario, en la misma dirección que el secundario, pero más lejos que él
L3, desde el primario, en la dirección opuesta al secundario, aproximadamente a la misma distancia que el secundario.

La posiciones precisas dependen de la fracción de la masa total que corresponda al primario y al secundario. Por ejemplo, para el sistema Sol-Tierra, la distancia entre L1 y la Tierra es aproximadamente 0.01 UA, esto es, 1.5 millones de Km, con L1 situado en la dirección de la Tierra al Sol. El punto L2 se encuentra al otro lado, aproximadamente a la misma distancia. En un sistema estelar binario en órbita circular, con dos estrellas de igual masa, el punto de Lagrange L1 está situado exactamente en el punto medio de la línea que une las dos estrellas.

Los otros dos puntos de Lagrange son los puntos triangulares: en ellos el asteroide ocupa el tercer vértice de un triángulo equilátero cuyos otros dos vértices son los dos primarios. Hay dos tales triángulos, y los puntos correspondientes se llaman L4 y L5. Cuando haya posibilidad de confusión, se coloca un prefijo para indicar a qué sistema nos referimos. Así SEL2 es el punto L2 del sistema Sol-Tierra, EML1 el L1 del sistema Tierra-Luna, SJL5 el L5 del sistema Sol-Júpiter (el hábitat de los asteroides conocidos como Troyanos)

Queda claro que los puntos de Lagrange se mueven, girando alrededor del centro de masas del sistema a la misma velocidad angular que el sistema de los primarios. Por ejemplo, la animación del caso colineal que he colocado arriba puede leerse como un ejemplo de equilibrio relativo en el problema de los tres cuerpos circular restringido; los dos primarios serían el Azul y el Verde, y el negro, supuesto de masa despreciable, corresponde a la posición del punto de Lagrange L2.

Análogamente, la tercera animación del caso triangular puede leerse de manera análoga: supuesto el negro de masa despreciable, el Rojo sería el primario y el Azul el secundario; ambos rotan alrededor de su centro de masas. La posición del negro corresponde al punto de Lagrange L4. Tanto aquí como en el caso anterior se ve que los tres cuerpos rotan a la misma velocidad angular.

Pero si adoptamos un sistema de referencia rotante, con esa misma velocidad angular, entonces tanto las posiciones de los primarios como de los cinco puntos de Lagrange son posiciones fijas en este sistema, al que se refieren las gráficas que siguen. Conviene tener esto presente; a partir de este momento todo el estudio de los puntos de Lagrange se realiza en este sistema de coordenadas.

Las dos figuras representan la situación y la ubicación de los puntos de Lagrange para dos sistemas de primarios, cuya separación se toma como unidad de distancia. La primera figura corresponde al sistema Tierra-Luna (de manera numéricamente precisa), con la Tierra (en negro) en el centro y la Luna (en negro) a su derecha; se ven los dos puntos triangulares L4 arriba, L5 abajo y los tres colineales en la misma linea que los primarios, de izquierda a derecha L3, L1, L2.

Blog1409_DiagramaPuntosLagrange

Diagrama con la posición de los cinco puntos de Lagrange (en rojo) en el sistema Tierra-Luna. La Tierra (en el centro) y la Luna marcados en negro.

Lagrange

Diagrama con la posición de los cinco puntos de Lagrange (en rojo) en el un sistema estelar doble con masas iguales. Las dos estrellas marcadas en negro.

La segunda figura corresponde a un sistema de dos masas primarias iguales (también de manera numéricamente precisa),  los dos puntos triangulares L4 arriba, L5 abajo forman triángulos equiláteros con los primarios, y los tres colineales están en la misma linea que los primarios, de izquierda a derecha L3, L1, L2. Nótese que en este caso hay una simetría completa en el intercambio de las dos masas, lo que se refleja en la simetría con respecto a un eje vertical del diagrama, algo que no ocurre cuando las masas de los primarios son diferentes.

Se encuentran ocasionalmente descripciones de los puntos de Lagrange que los presentan como los lugares en los que las atracciones gravitatorias de los dos primarios se compensan. Esta descripción, si se toma literalmente, es incorrecta. Está claro que existirá un lugar en la línea entre los dos primarios en el cual las atracciones de los dos primarios se cancelen exactamente, pero resulta que este punto no es el punto L1. Por otra parte, es muy fácil ver que en puntos situados en las posiciones que hemos descrito cualitativamente para L2, L3, L4 y L5 no se puede dar la cancelación exacta de las fuerzas gravitatorias causadas por los primarios sobre el asteroide.

La manera correcta de formular la condición que conduce a encontrar los puntos de Lagrange requiere apreciar que el sistema de coordenadas en el cual los primarios y los puntos de Lagrange están fijos no es inercial, sino que es puramente rotante. Para trabajar correctamente en este sistema hay que considerar, además de las fuerzas gravitatorias, las fuerzas de inercia correspondientes: centrífuga, Coriolis y Euler. Si la velocidad angular es constante, no hay fuerza de Euler, y solo subsisten la centrífuga y la de Coriolis. Sobre una partícula cuya velocidad respecto al sistema rotante sea nula (una partícula situada en uno de los pretendidos puntos de Lagrange) la fuerza de Coriolis que actúa es también nula, de manera que la única fuerza inercial que debemos considerar es la centrífuga. Esta fuerza es radial desde el centro de rotación, dirigida hacia afuera y de módulo Ω2 r, donde r es la distancia al centro de rotación.

Así que la condición que realmente determina los puntos de Lagrange será que se anule la resultante de las tres fuerzas que actúan sobre una partícula situada en ‘reposo’ en ese punto, las dos gravitatorias de atracción hacia los primarios y la centrífuga.

Como tanto las fuerzas gravitatorias de los dos primarios como la centrífuga derivan de un potencial, la determinación de los puntos de Lagrange es equivalente a encontrar los puntos críticos del potencial efectivo U total del sistema (en el marco rotante), o lo que es lo mismo, los puntos en los que se anulan las primeras derivadas de U con respecto a las coordenadas, o, lo que es lo mismo, los puntos en los que la gráfica del potencial tiene un máximo, mínimo o punto silla con plano tangente horizontal. Una vez planteado, el problema queda reducido a resolver ecuaciones, lo que puede hacerse de forma ciega. O, alternativamente, a buscar los puntos críticos viendo la gráfica del potencial.

Potencial

Gráfica del potencial efectivo en el problema de dos cuerpos (gravitatorio de los dos primarios y centrífugo). El diagrama anterior de posición de los puntos de Lagrange es el diagrama de curvas de nivel de esta función. Valores numéricos para el sistema Tierra-Luna.

La imagen anterior da la forma del potencial como función de la posición en el plano de los primarios, con la distancia entre ambos como unidad. La gráfica que dimos antes es la de curvas de nivel de esta superficie. Los cinco puntos críticos están en la ‘rodaja’ superior de la gráfica. En la primera de las dos imágenes siguientes se ven claramente L4 y L5 como máximos, y L3 como un punto silla, gracias a que representamos solamente esta ‘rodaja’, con la escala vertical muy exagerada.

ffff

Gráfico del potencial efectivo, limitada a la zona en la que están los cinco puntos críticos. L4 y L5 son los dos máximos visibles sobre la ‘linea de cumbre’ del gráfico; L3 es el punto silla sobre la linea de cumbre.

En la otra imagen, que contempla la misma región en vista cenital, se ven claramente L1 y L2; los otros tres están en la ‘línea de cumbres’, aunque el hecho de que esta linea de cumbres sea bastante plana no permite distinguir claramente, en esta vista, ninguno de los puntos L3, L4 o L5

ffff

Vista cenital de la misma zona, en la que se aprecian L1 y L2, situados bordeando el pozo del secundario. Estos puntos no se aprecian en la imagen anterior; por el contrario, en ésta no se distinguen bien L4, L5, L3.

Pero como siempre, merece la pena intentar entender el resultado, antes de o en vez de hacer los cálculos. Pensando en como varía cada una de las tres contribuciones al potencial, la del primario (-G m1/r1), del secundario (-G m2/r2) y de la fuerza centrífuga (-½ Ω2 r2), se aprecia inmediatamente que deberá haber tres lugares particulares sobre la línea que une a los primarios en los que el potencial tenga derivada nula (alcance un máximo), aunque éste argumento es solo cualitativo y no permite encontrar las posiciones exactas. Por el contrario, para los puntos L4 y L5 es fácil de ver, usando exclusivamente geometría y física elemental (nada pues de cálculo diferencial), que en los terceros vértices de los dos triángulos equiláteros determinados por los otros dos primarios (L4 y L5) se da la cancelación exacta de las tres fuerzas. Esto es un precioso ejercicio que dejo propuesto, para disfrute de los interesados …..

….. sigue aquí

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19 respuestas a Los puntos de Lagrange I: ¿Qué son?

  1. lcb dijo:

    Me parece que la solución, usando el programa ‘mathematica’ está en el libro Sistemas Mecánicos de Antoni Amengual (UIB, Palma 2001), en el capítulo 12: ‘Los asteroides troyanos’. Es un tema muy atractivo, y algún día tendrías que ampliarlo, te lo agradeceríamos mucho.

  2. Albert dijo:

    Muy interesante, quedamos a la espera de “Los puntos de Lagrange II”

  3. Albert, bienvenido al blog; la parte siguiente esta en camino, casi llegando. Y lcb, que con el tocho precedente me sugieras que habría que ampliarlo, es muy de agradecer 🙂 (en serio). He dado un vistazo al libro que indicas, que no conocía; tengo que comparar con mi programa de Mathematica (así no lo acabo nunca).

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