Notas de Mecánica Teórica

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AcrobatIcon40x40 Bibliografía sobre Mecánica Teórica Esta Bibliografía es muy amplia. En clase comentaremos sobre algunos textos especialmente adecuados o aconsejables.


Notas varias sobre Mecánica Teórica

AcrobatIcon40x40Notas de Mecánica Clásica de Manolo Gadella, que cubren una gran parte del curso.


AcrobatIcon40x40Notas El Principio de acción estacionaria con una primera introducción muy básica a las matemáticas del cálculo variacional. Se centran en analizar el ejemplo que discute Feynman, una partícula en movimiento unidimensional en un potencial dado, viendo en detalle cómo llegar desde la exigencia de que la acción sea estacionaria a las ecuaciones de Newton [155kB, v170909].


AcrobatIcon40x40El problema de Kepler: Solución ‘a la Levi-Civita’, expone los detalles del estudio del problema de Kepler usando como parámetro de evolución el parámetro de Levi-Civita en vez del tiempo. El contexto general es que el uso de un parámetro de evolución que no es el tiempo puede simplificar las ecuaciones y la resolución de un problema. En estas notas breves se desarrolla esa idea en el caso particular del problema de Kepler, empleando el llamado parámetro de Levi-Civita.
En este ejemplo, el uso de ese parámetro permite la integración completa del problema con matemáticas completamente elementales, y en el estudio aparece de manera natural el parámetro ‘anomalía excéntrica’ ξ que en los enfoques convencionales sirve para resolver el problema en forma paramétrica (recordemos que lo que ocurre es que no es posible encontrar las funciones x(t), y(t) ó r(t) explícitamente, pero sí que se pueden encontrar expresiones paramétricas para r(ξ) y para t(ξ) en términos del parámetro anomalía excéntrica ξ).
Para quien quiera tener al menos un feeling de lo que hay más allá, en ésta manera de abordar el asunto encontrará indicios de la relación entre el problema de Kepler, el oscilador armónico y el movimiento libre en una hiperesfera. He querido mantener la exposición al margen de esos aspectos avanzados, sin siquiera entrar en esos terrenos, que al nivel de este curso son ignotos. La redacción está hecha algo apresuradamente, así que pueden subsistir erratas o errores. Si alguien detecta alguno, le agradeceré me lo comunique [122kB, v171023].


Excursus sobre Mecánica Teórica

AcrobatIcon40x40¿Donde aparecieron los corchetes de Poisson?: Lagrange y Poisson en el nacimiento de la Mecánica Simpléctica, detalla lo que Lagrange y Poisson hicieron en ese bienio prodigioso 1808-1810 en el que, en el contexto del estudio del movimiento del sistema solar y del desarrollo de técnicas para abordar el problema de su estabilidad a largo plazo, apareció por vez primera la estructura de los corchetes de Poisson. Actualmente estos objetos se encuadran en la Mecánica Hamiltoniana, pero curiosamente, su ‘invención’ por parte de Lagrange y de Poisson se llevó a cabo 25 años antes de la creación de la mecánica Hamiltoniana.
Vistos desde el S. XXI, los corchetes de Poisson son la ‘sombra’ clásica de la no conmutatividad de los operadores que describen las variables dinámicas en Mecánica Cuántica. Fué P.A.M. Dirac quien primero descubrió esa relación; desde entonces el reconocimiento del papel importante que tienen los corchetes de Poisson en la estructura de la mecánica moderna no ha hecho sino crecer, hasta el punto de que constituyen el corazón, por así decir, de la Mecánica Simpléctica, que es la formulación moderna de la Mecánica Analítica, desarrollada en la segunda mitad del S. XX. Estas notas cubren la historia del nacimiento de esta teoría, en el que lo que se investigaba era la estabilidad del sistema solar a largo plazo usando hábilmente la mecánica Lagrangiana que Lagrange había puesto a punto unos años antes; las herramientas básicas en esa investigación son precisamente los corchetes de Poisson, cuyo origen histórico es un tópico que curiosamente es muy poco conocido, y las notas están escritas con finalidad de extender el conocimiento de esos detalles. Si algún lector conoce alguna otra fuente en la que se presente de manera comprensiva ésta historia (yo me he apoyado en J.M.Souriau, C.M.Marle y P. Iglesias-Zemmour) agradeceré sobremanera cualquier información sobre el particular [271kB, v171030].


Cuadernos de Mathematica sobre Mecánica Teórica

mathematicaiconnew40x40EcuacionesDeLagrange.nb. Este cuaderno de Mathematica lleva a cabo de manera automatizada todos los cálculos necesarios para encontrar las ecuaciones de Lagrange de un sistema de cualquier numero de grados de libertad. El dato de partida es simplemente el lagrangiano, expresado en funcion de las coordenadas y las velocidades generalizadas que se escojan para estudiar el problema. El cuaderno incluye cinco ejemplos, de 1, 2 y 3 grados de libertad, que son suficientes para apreciar perfectamente el funcionamiento del programa. Está muy documentado con comentarios sobre el uso y estructura que deben permitir adaptar este programa a cualquier otro Lagrangiano. Está hecho en Mathematica11, pero debería correr sin dificultad en versiones anteriores, al menos creo hasta Mathematica7 [.nb, 113Kb, v171015]


mathematicaiconnew40x40PenduloDoble.nb. Cuaderno de Mathematica11 que estudia de manera numérica y gráfica el péndulo doble, un sistema aparentemente muy sencillo, de dos grados de libertad, que merece un lugar destacado en el panteón de los modelos, al lado del oscilador armónico y el péndulo simple. A diferencia del oscilador armónico, que solamente tiene una cara `lineal’ (es el sistema lineal por excelencia) y del péndulo simple, que tiene una cara ‘lineal’ y otra ‘no lineal’, el péndulo doble tiene tres caras, ya que además de un régimen de pequeñas oscilaciones y un régimen de oscilaciones no lineales, el péndulo doble presenta también un régimen caótico. A cada elección de condiciones iniciales le corresponde una evolución que el cuaderno permite calcular numéricamente con precisión, y que facilita la visualización mental y gráfica de lo que está ocurriendo. El cuaderno contiene definiciones de comandos para resolver numéricamente las ecuaciones de Euler-Lagrange del péndulo simple y del doble. Está muy documentado con comentarios sobre el uso y estructura que deben permitir adaptar este programa a cualquier otro sistema de uno o dos grados de libertad, y con adaptaciones un poco más extensas, a cualquier sistema con tres o más grados de libertad. Está hecho en Mathematica11, pero debería correr sin dificultad en versiones anteriores, al menos creo hasta Mathematica7 [.nb, 5.6Mb, v171010]

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