Notas de Física Matemática


AcrobatIcon40x40 Sumas de Potencias y Series divergentes
[Nuevo 29 Septiembre 2016] Se trata de un texto de unas 120 páginas sobre sumas de potencias, series divergentes, sumas suavizadas, la fórmula de Euler-Maclaurin, los números y polinomios de Bernoulli y la función zeta de Riemann, que está organizado en tres grandes bloques autocontenidos, que permiten en buena medida una lectura independiente, de unas 40 páginas cada uno. Como una gran parte de lo que aquí se cuenta no figura en los programas de los actuales planes de estudio (aquí y ahora), me he molestado en escribirlo de manera lo más explícita y clara que he podido. Confío así que estas notas puedan ser útiles a los interesados en la cuestión. Agradeceré cualquier indicación sobre las muy posibles erratas o incluso errores (que espero sean menos numerosos) que puedan permanecer, así como, especialmente, cualquier feedback sobre el contenido.

El primer bloque presenta el problema de encontrar fórmulas para las sumas de potencias, rastreando su historia desde la antigüedad hasta su solución completa y satisfactoria por Jacob Bernoulli a principios del S. XVIII, que sirve como punto de partida para introducir los números de Bernoulli, los polinomios de Bernoulli y, sobre todo, la fórmula de Euler-Maclaurin, un auténtico e intrigante puente entre el cálculo continuo y el discreto.

El segundo bloque trata la cuestión de dar sentido a la ‘suma’ de una serie divergente, con una discusión muy detallada del sentido que tienen las sumas de algunas series divergentes clásicas y de las perplejidades que a lo largo de su historia estas series han originado, dejando nítidamente delimitadas las propiedades que dichas sumas pueden tener y las que definitivamente no tienen, asunto cuya omisión es la fuente de las (aparentes) paradojas que se suelen atribuir a estas series. Para ilustrar y desarrollar cierta intuición en esas propiedades, se presentan multitud de ejemplos, incluyendo varias derivaciones elementales pero justificablemente correctas de algunos resultados curiosos, como 1-1+1-1+1-1+\dots = \tfrac12 ó 1-2+3-4+5-6+\dots=\tfrac14. En paralelo se dan otras derivaciones superficialmente análogas de algunos otros resultados más chocantes, como 1+1+1+1+1+1+\dots = -\tfrac12 o del sorprendente valor -\tfrac1{12} para la serie 1+2+3+4+5+6+\cdots, y se explican los motivos por los que en estos ejemplos, en marcado contraste con las anteriores, esas derivaciones resultan carecer strictu sensu de justificación. Este resultado negativo deja abierto el problema de buscar un método de sumación de series divergentes que sea capaz de asignar suma a esas series y otras análogas, problema que se resolverá en el tercer bloque y que resulta en dos métodos que pueden asignar suma a esas dos series, que resultan ser precisamente las sumas mencionadas -\tfrac12  y -\tfrac1{12}. Es fundamental entender que esos resultados correctos en contextos más amplios que los discutidos en este bloque no otorgan ninguna justificabilidad adicional (que es inexistente) a las manipulaciones elementales hechas para estas series en este bloque.

En la tercera parte, intitulada Ensalada asintótica, sumas suavizadas y la función zeta de Riemann, se profundiza en la idea de sumas suavizadas. Esta idea, en conjunción con la idea de desarrollo asintótico proporciona una justificación matemáticamente impecable para la serie 1+2+3+4+5+\cdots=-\tfrac1{12}.  Se presentan también las propiedades básicas de la función zeta de Riemann, que proporciona de manera natural otro método de sumación de series divergentes, la regularización zeta; este método de sumación conduce también a los mismos resultados para las series mencionadas antes y resulta ser fundamental en varias situaciones de interés físico en teoría cuántica de campos. En el enfoque escogido la herramienta esencial para cubrir ambos objetivos es la fórmula de Euler-Maclaurin, introducida y discutida con extensión en el primer bloque, que se aplica a diversas series divergentes que eludieron ser sumadas en el segundo bloque [3,2Mb, v160929].


Notas varias de Física Matemática

Estas notas corresponden a material elaborado para el curso de Física Matemática 2011-2012 en 3º de licenciatura de Físicas. Las notas cubren una buena parte de los tópicos que discutimos en el curso, pero no deben tomarse de ningún modo como un contenido completo de un tal curso.

AcrobatIcon40x40Los siete ficheros a continuación, agrupados en un solo .pdf. Para quien prefiera disponer de todo el material en un solo fichero he agrupado el conjunto de las notas en un solo bloque NotasCursoFisMat.pdf [3,7Mb, 106 páginas] (51 descargas hasta 15 Feb 2016).

Aparte están los ficheros individuales, cada uno con uno de los temas. Al lado de cada fichero, que se descarga pulsando el icono .pdf, incluyo indicación de su tamaño.

AcrobatIcon40x40Cálculo Variacional
[1,2Mb, v170529] (99 descargas hasta 15 Feb 2016).

AcrobatIcon40x40Superficies Mínimas
[209Kb, v140211] (18 descargas hasta 15 Feb 2016).

AcrobatIcon40x40Pequeñas Oscilaciones
[340Kb, v120213] (21 descargas hasta 15 Feb 2016).

AcrobatIcon40x40La Cuerda Vibrante
[528Kb, v120316] (9 descargas hasta 15 Feb 2016).

AcrobatIcon40x40Sistemas dinámicos lineales en 2D
[2.2Mb, v120329] (28 descargas hasta 15 Feb 2016).

AcrobatIcon40x40Dinámica de Poblaciones
[176Kb, v120327] (25 descargas hasta 15 Feb 2016).

AcrobatIcon40x40Fotones Polarizados
[340Kb, v120426] (36 descargas hasta 15 Feb 2016).

En una próxima tacada espero poner también varios cuadernos de Mathematica que desarrollan aspectos particulares de alguno de estos temas. Muchos de estos cuadernos fueron también una parte esencial del curso.