Mecánica Teórica 17-18 Q1

Esta es la página de la asignatura ‘Mecánica Teórica’, obligatoria de 3er curso de Grado de Física, impartida durante el primer cuatrimestre del curso académico 2017-2018. Las clases serán en el Aula 13 de la Escuela Superior de Ingenieros de Telecomunicaciones de 11:00 a 12:00 de lunes a jueves, comenzando el 4 de Septiembre de 2017.

Las entradas en esta página seguirán el orden temporal estratigráfico: las adiciones más modernas figurarán al principio y las más antiguas irán quedando enterradas bajo los niveles más modernos. Para facilitar el seguimiento, en cada adición indicaré la fecha.

Los contenidos que se van a colgar aquí serán enlaces a documentos de consulta aconsejada, comentarios complementarios a lo visto en clase, enunciados de problemas y de tareas para casa, etc. Aconsejo revisar esta página con cierta regularidad, aunque avisaré en clase si hay alguna adición importante.


9 de Noviembre

Y aquí tenéis la tarea para casa 5. Esta tarea es para que la hagáis por vuestra cuenta. No hay que entregarla, ni tendrá ninguna influencia en la calificación. Pero tendrá influencia en vuestra práctica a la hora de hacer cuentas.


2 de Noviembre

Aquí teneis la solución detallada de la tarea para casa 3.

Y aquí teneis la tarea para casa 4. Entrega hasta el lunes 4 de Diciembre.


31 de Octubre

AcrobatIcon40x40Descripción lagrangiana del movimiento en un marco de referencia no inercial. Notas con las expresiones del lagrangiano y la derivación de las ecuaciones de movimiento para una partícula, desde un marco de referencia no inercial. Se refieren al sistema que vimos en clase hace unos días, y llevar a cabo la derivación de las ecuaciones es un buen ejercicio para practicar la gimnasia de índices (aparte de que las ideas que aparecen aquí también son el punto de partida de uno de los caminos conceptuales que conducen desde la teoría de Newton de la gravedad a la de Einstein; este aspecto no se discute aquí). [93kB, v171101].

Y pasando a un detalle menos sustancial, cuando hoy he mencionado en clase la famosa respuesta dada a un rey por un matemático de la antiguedad: “Majestad, no hay camino real para la geometría”, he vacilado entre Euclides y Arquímedes como el protagonista matemático. La había citado en el blog una vez, atribuyéndosela a Euclides, por lo que me he sorprendido a mí mismo dudando. ¿Acaso también se atribuye la respuesta a Arquímedes? Diez segundos en Google me han conducido a esta entrada de blog en la que se recogen las atribuciones de autoría de esa frase que aparecen en cerca de veinte textos, con varias combinaciones ‘matemático-rey’ (los tres matemáticos a los que diferentes autores se la atribuyen son Mecnemo, Euclides, Arquímedes). El autor del blog concluye mencionando un texto de Proclo (S. V) en el Proclo la atribuye a Euclides y al rey Ptolomeo Soter, y sugiere que seguramente esta atribución es la más fiable que las variadas que se encuentran en los libros recientes, aunque no sea la más frecuente. Concuerdo con él. Así que lo dejamos en que fue Euclides quien le indicó al rey Ptolomeo Soter una gran verdad: que aprender y entender cualquier cosa, en suma, saber, requiere inevitablemente esfuerzo: el saber no se puede comprar.


30 de Octubre

AcrobatIcon40x40¿Donde aparecieron los corchetes de Poisson?: Lagrange y Poisson en el nacimiento de la Mecánica Simpléctica, detalla lo que Lagrange y Poisson hicieron en ese bienio prodigioso 1808-1810 en el que, en el contexto del estudio del movimiento del sistema solar y del desarrollo de técnicas para abordar el problema de su estabilidad a largo plazo, apareció por vez primera la estructura de los corchetes de Poisson. Actualmente estos objetos se encuadran en la Mecánica Hamiltoniana, pero curiosamente, su ‘invención’ por parte de Lagrange y de Poisson se llevó a cabo 25 años antes de la creación de la mecánica Hamiltoniana.
Vistos desde el S. XXI, los corchetes de Poisson son la ‘sombra’ clásica de la no conmutatividad de los operadores que describen las variables dinámicas en Mecánica Cuántica. Fué P.A.M. Dirac quien primero descubrió esa relación; desde entonces el reconocimiento del papel importante que tienen los corchetes de Poisson en la estructura de la mecánica moderna no ha hecho sino crecer, hasta el punto de que constituyen el corazón, por así decir, de la Mecánica Simpléctica, que es la formulación moderna de la Mecánica Analítica, desarrollada en la segunda mitad del S. XX. Estas notas cubren la historia del nacimiento de esta teoría, en el que lo que se investigaba era la estabilidad del sistema solar a largo plazo usando hábilmente la mecánica Lagrangiana que Lagrange había puesto a punto unos años antes; las herramientas básicas en esa investigación son precisamente los corchetes de Poisson, cuyo origen histórico es un tópico que curiosamente es muy poco conocido, y las notas están escritas con finalidad de extender el conocimiento de esos detalles. Si algún lector conoce alguna otra fuente en la que se presente de manera comprensiva ésta historia (yo me he apoyado en J.M.Souriau, C.M.Marle y P. Iglesias-Zemmour) agradeceré sobremanera cualquier información sobre el particular [271kB, v171030].


23 de Octubre

AcrobatIcon40x40El problema de Kepler: Solución ‘a la Levi-Civita’, expone los detalles de lo que hemos visto en la clase de hoy. El contexto general es que el uso de un parámetro de evolución que no es el tiempo puede simplificar las ecuaciones y la resolución de un problema. En estas notas breves se desarrolla esa idea en el caso particular del problema de Kepler, empleando el llamado parámetro de Levi-Civita.
En este ejemplo, el uso de ese parámetro permite la integración completa del problema con matemáticas completamente elementales, y en el estudio aparece de manera  natural el parámetro ‘anomalía excéntrica’ ξ que en los enfoques convencionales sirve para resolver el problema en forma paramétrica (recordemos que lo que ocurre es que no es posible encontrar las funciones x(t), y(t) ó r(t) explícitamente, pero sí que se pueden encontrar expresiones paramétricas para r(ξ) y para t(ξ) en términos del parámetro anomalía excéntrica ξ).
Para quien quiera tener al menos un feeling de lo que hay más allá, en ésta manera de abordar el asunto  encontrará indicios de la relación entre el problema de Kepler, el oscilador armónico y el movimiento libre en una hiperesfera. He querido mantener la exposición al margen de esos aspectos avanzados, sin siquiera entrar en esos terrenos, que al nivel de este curso son ignotos. La redacción está hecha algo apresuradamente, así que pueden subsistir erratas o errores. Si alguien detecta alguno, le agradeceré me lo comunique [122kB, v171023].


21 Octubre

Aquí teneis la tarea para casa 3. Fecha tope de entrega: martes 31 de Octubre


15 Octubre

El cuaderno de Mathematica enlazado a continuación efectua todos los cálculos necesarios para encontrar las ecuaciones de Lagrange de un sistema de cualquier numero de grados de libertad. El dato de partida es simplemente el lagrangiano, expresado en funcion de las coordenadas y las velocidades generalizadas que se escojan para estudiar el problema.

mathematicaiconnew40x40EcuacionesDeLagrange.nb Cuaderno de Mathematica11 que define las instrucciones para obtener de manera automatizada las ecuaciones de Lagrange de cualquier sistema mecánico, del cual se debe dar simplemente el Lagrangiano en un sistema de coordenadas generalizadas. El cuaderno incluye cinco ejemplos, de 1, 2 y 3 grados de libertad, que son suficientes para apreciar perfectamente el funcionamiento del programa. Está muy documentado con comentarios sobre el uso y estructura que deben permitir adaptar este programa a cualquier otro Lagrangiano. Está hecho en Mathematica11, pero debería correr sin dificultad en versiones anteriores, al menos creo hasta Mathematica7 [.nb, 113Kb, v171015]


12 Octubre

Aquí teneis la tarea para casa 2. Fecha tope de entrega: lunes 23 de Octubre


10 Octubre

El cuaderno de Mathematica enlazado a continuación estudia de manera numérica y gráfica el péndulo doble, un sistema aparentemente muy sencillo, de dos grados de libertad, y en el que coexiste un régimen lineal, descrito por la aproximación de pequeñas oscilaciones, un régimen no lineal ‘suave’ y un régimen caótico.

mathematicaiconnew40x40PenduloDoble.nb Cuaderno de Mathematica11 que estudia de manera numérica y gráfica el péndulo doble, un sistema aparentemente muy sencillo, de dos grados de libertad, que merece un lugar destacado en el panteón de los modelos, al lado del oscilador armónico y el péndulo simple. A diferencia del oscilador armónico, que solamente tiene una cara `lineal’ (es el sistema lineal por excelencia) y del péndulo simple, que tiene una cara ‘lineal’ y otra ‘no lineal’, el péndulo doble tiene tres caras, ya que además de un régimen de pequeñas oscilaciones y un régimen de oscilaciones no lineales, el péndulo doble presenta también un régimen caótico. A cada elección de condiciones iniciales le corresponde una evolución que el cuaderno permite calcular numéricamente con precisión, y que facilita la visualización mental y gráfica de lo que está ocurriendo. El cuaderno contiene definiciones de comandos para resolver numéricamente las ecuaciones de Euler-Lagrange del péndulo simple y del doble. Está muy documentado con comentarios sobre el uso y estructura que deben permitir adaptar este programa a cualquier otro sistema de uno o dos grados de libertad, y con adaptaciones un poco más extensas, a cualquier sistema con tres o más grados de libertad. Está hecho en Mathematica11, pero debería correr sin dificultad en versiones anteriores, al menos creo hasta Mathematica7 [.nb, 5.6Mb, v171010]


21 de Septiembre

Un entretenimiento para el fin de semana: Se considera el Lagrangiano L = q \, \dot q. Encontrar las ecuaciones de Euler Lagrange correspondientes. ¿Qué ocurre? Compliquemoslo un poco, y consideremos otro lagrangiano, construído a partir de una función f(q) de las coordenadas, pero no de las velocidades, de la manera siguiente: L_f := \frac{d f}{dq}\, \dot q. Encontrar las ecuaciones de Euler Lagrange correspondientes a L_f. ¿Qué ocurre aquí? ¿Lo que ocurría con el lagrangiano L es un caso particular de lo que ocurre con L_f? Tras este entretenimiento hay una idea importante, de la que hablaremos el próximo lunes.

Coloco aquí enlaces a varios conjuntos de notas sobre Mecánica Lagrangiana y Hamiltoniana, todos los cuales son muy aconsejables en mi opinión. Todos incluyen, con mayor o menor extensión, la mayor parte del contenido que veremos en esta asignatura, y en algunos tópicos son más extensos de lo que veremos. Es interesante apreciar que mientras que el contenido esencial es el mismo, en los detalles de presentación, el enfoque, notación, etc. hay bastante diversidad a la que conviene acostumbrarse si uno pretende conseguir una cierta visión de la Mecánica Analítica. En todos los casos se trata de documentos que están en dominio público y/o que se enlazan aquí con permiso del autor.

AcrobatIcon40x40Notas Mecánica Lagrangiana de Manuel F. Rañada, (Universidad de Zaragoza) versión Dic2015.

AcrobatIcon40x40Notas Mecánica Hamiltoniana de Manuel F. Rañada, (Universidad de Zaragoza) versión Dic2015.

AcrobatIcon40x40Notas An Introduction to Lagrangian and Hamiltonian Dynamics de A. J. Brizard. Se trata de la versión previa a un libro, publicado por el autor en 2015.

AcrobatIcon40x40Notas Classical Dynamics de D. Tong (Cambridge).


12 de Septiembre

Aquí teneis la tarea para casa 1. Entrega antes de la clase del lunes 18 de Septiembre


11 de Septiembre

Tras un primer contacto con el principio de acción estacionaria, creo que se debe dedicar un poco de tiempo (poco, no excesivo) a entender el proceso histórico que en el S. XVIII llevó por vez primera a las ecuaciones de Lagrange. En general, en un sistema de partículas puede estar sujeto a ciertas ligaduras, que impiden ciertos movimientos particulares. En un sistema de partículas con ligaduras, sobre el que actúan ciertas fuerzas ‘externas’ dadas (en muchos casos, aunque no siempre, fuerzas conservativas, esto es derivadas de un potencial), resulta necesario considerar, además de las fuerzas ‘externas’, dadas, otras fuerzas auxiliares, pero igualmente reales, las ‘fuerzas de ligadura’. A diferencia de las fuerzas externas, las de ligadura no están determinadas de antemano sino que resultan depender de las posiciones y de las velocidades de las partículas del sistema de una forma complicada que solamente se puede conocer una vez se ha resuelto el problema completo.

La visión de d’Alembert consistió en transformar las ecuaciones de Newton para un sistema con ligaduras (en las que intervienen las fuerzas de ligadura, que son a priori desconocidas) en otras ecuaciones diferentes en las cuales las fuerzas de ligadura se han hecho desaparecer (desaparecer de las ecuaciones, claro, pues las fuerzas de ligadura siguen ahí). Un precio a pagar es usar coordenadas qa que no son en general las coordenadas cartesianas. Al joven Lagrange le quedó la tarea de completar el trabajo de d’Alembert, re-escribiendo las ecuaciones exclusivamente en términos de las coordenadas qa. Al hacerlo se puede comprobar que no se trata realmente de un precio a pagar sino de un enorme beneficio a obtener: basta resolver un par de problemas para comprobar las ventajas iniciales del formalismo lagrangiano, que lleva de manera casi automática a las ecuaciones correctas del movimiento, con muchos menos cálculos y menos posibilidad de error que el formalismo newtoniano puro. Y aunque esta formulación inicialmente trataba de facilitar el análisis del movimiento cuando hubiera ligaduras, como bonus adicional resulta que el formalismo lagrangiano tiene perfecto sentido y se plantea exactamente igual haya ligaduras o no. Sin ningún trabajo adicional por nuestra parte obtenemos así una reformulación de largo alcance de las ecuaciones de Newton, que formalmente se expresa siempre por las `mismas’ ecuaciones de Lagrange, independientemente de la elección de las coordenadas. Se obtiene así la primera formulación de la mecánica que no requiere el uso de coordenadas particulares, ni tampoco requiere que el marco de referencia sea inercial, etc etc.

No tengo una versión TeX-pulida completa de lo que vamos a ver en clase en este tema, pero dado que el objetivo es que entendáis el proceso y este es un asunto interesante al que no vamos a dedicar demasiado tiempo (en consonancia con la mayor parte de los textos modernos), lo que si he hecho es escanear y dejar aquí unas notas de preparación de la única ocasión anterior en que he explicado este asunto. Con ellas podréis centrar vuestra atención en clase en entender la lógica de la cuestión y preguntar las cosas que no veáis claras. Aunque esta vez seguramente intentaré pulir la notación y la exposición, de manera que probablemente habrá alguna diferencia de detalle entre lo que veamos en clase y estas notas.

AcrobatIcon40x40Notas Lagrange equations and D’Alembert’s principle de la Queen University, London, que presentan la derivación de las ecuaciones de Lagrange a partir de las de D’Alembert en el caso de que no haya ligaduras, que como vereis es casi literalmente idéntica que en el caso de que las haya.

En cuanto a libros, todos los de Mecánica clásica discuten esta cuestión. Unos lo presentan como la primera aparición de las ecuaciones de Lagrange; otros, como un complemento necesario a la obtención de las ecuaciones de Euler-Lagrange vía el principio de menor acción. Ejemplos del primer enfoque: Goldstein y del segundo, Fernández Rañada. Desarrollaremos en clase a fondo la formulación Lagrangiana en los cuatro temas siguientes del programa. En este tema, dedicado a la prehistoria del asunto, me limito a presentar el primer enfoque describiendo en lenguaje actual el proceso que llevó por vez primera a las ecuaciones de Lagrange, al margen de su interpretación variacional. El planteamiento que veremos en clase sigue bastante el de José and Saletan, en el Capítulo 2, Secciones 2.1.1, 2.1.2 y 2.2.1. También sigue las notas de Manolo Gadella enlazadas más abajo, en cuyo Capitulo I (p. 1 a 19) está contada la derivación anterior; es obvio que me he inspirado también en estas notas.

Quien quiera una exposición magistral del asunto, en el texto de Lanczos.

AcrobatIcon40x40Notas de Mecánica Clásica de Manolo Gadella, que cubren una gran parte del curso.


7 de Septiembre

AcrobatIcon40x40Notas El Principio de acción estacionaria con una primera introducción muy básica a las matemáticas del cálculo variacional, que se centran en analizar el ejemplo que discute Feynman, una partícula en movimiento unidimensional en un potencial dado, y analiza en detalle cómo llegar desde la exigencia de que la acción sea estacionaria a las ecuaciones de Newton. La versión anterior de estas notas empleaba la idea de extremal del funcional acción de la manera habitual en este tema en los textos de física, que puede ser algo confusa; esto se debe sobre todo a la historia, como atestigua el propio nombre de ‘principio de mínima acción’, que también conservaba en la versión anterior. El contenido esencial del principio se refiere a que la acción sea estacionaria, no a que sea extremal (máximo o mínimo), ni tampoco a que sea precisamente mínimo. Un apreciado colega me ha convencido (sin él pretenderlo) de que es preferible ser debidamente cuidadoso con esa terminología, por lo que, sin modificación importante del contenido efectivo, he revisado y corregido la terminología en estas notas, comenzando por nombrar el principio como debiera ser nombrado, y precisando debidamente el texto. Quienes hayais descargado una versión anterior, reemplazadla por favor por la nueva [155kB, v170909].


5 de Septiembre

AcrobatIcon40x40El capítulo “The principle of least action” de las Lectures de Feynman (capítulo 19 del Vol. II) donde se transcribe, literalmente, la clase de Feynman sobre este principio. Como todo lo de Feynman es una referencia inmejorable; merece una lectura reposada y cuidadosa y unos cuantos ratos de reflexión. Las Lectures de Feynman están disponibles online, con una calidad mejor y las eventuales erratas corregidas; esta lección en concreto, aquí.

AcrobatIcon40x40Otra referencia breve y elemental que también está accesible en internet es el primer capítulo “Principle of least action” de las notas de un curso introductorio de Daniel D. Baumann.


4 de Septiembre

Aquí podéis descargar la documentación general sobre el curso. Son los documentos que se entregarán en clase el primer día.

AcrobatIcon40x40El programa de la asignatura.

 

AcrobatIcon40x40Bibliografía sobre Mecánica Clásica, versión extensa.

 

AcrobatIcon40x40Documento de organización del curso.


4 de Septiembre.

Una Timeline de la Historia de la Mecánica, en dos partes, que proporcionarán el soporte de autores y fechas sobre las que veremos un panorama general de los conceptos de la Mecánica Teórica Lagrangiana y Hamiltoniana y de la teoría de Sistemas dinámicos en las primeras clases. Se trata de la versión v170902, que tiene una revisión importante sobre la versión anterior (disponible aquí)

Pinchando en cada una de las dos miniaturas de las dos partes (Parte a, entre S. IV A.C. y 1550, Parte b, entre 1500 y 2015), se descargará en su ordenador el fichero .pdf que una vez abierto mostrará la timeline completa. Allí se debe ampliar la escala de visión hasta que verticalmente el fichero ocupe la pantalla completa. Luego hay que navegar por él lateralmente: el fichero está construido para verse exactamente así. Representa horizontalmente la diacronía, y verticalmente la sincronía. Cada científico está representado por su línea de vida, con su nombre y con una imagen colocada cuando el científico andaba por la treintena.

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