Consultas / dudas

Destinado a recoger consultas y dudas específicas relativas a la asignatura. Estoy abierto a recibir aquí sugerencias sobre temas a discutir en los posts.

7 respuestas a Consultas / dudas

  1. 1221 dijo:

    Puesto que creo que aún no se han comentado dudas en el blog, asumiré que esta es la mejor sección para hacerlo.

    Buscando una deducción de la aberración relativista he encontrado este pdf http://www.triangulum.nl/Werkgroepen/documentatie%20werkgroepen/Astrofysica/aberration%20essay.pdf

    Me he puesto a hacer las cuentas para ver si entendía bien el proceso y he encontrado dificultades al calcular las ecuaciones que relacionan la cuadrivelocidad medida por los dos observadores. El caso es que, partiendo de la transformación de la cuadriposición y tomando la cuadrivelocidad como la derivada respecto del tiempo coordenado (no del propio); es decir, calculando esto: ux’=(dx’/dt’)=(dx/dt)(dt/dt’) llego a esas ecuaciones. Pero para hallar la cuadrivelocidad se debe derivar respecto del tiempo propio, con lo parece que falta un factor (dt’/d[tau]): ux’=(dx’/d[tau])=(dx/dt)(dt/dt’)(dt’/d[tau]).

    Por otro lado, también me gustaría ver una forma de derivar la transformación de velocidades aplicando directamente la transformación de lorentz a la cuadrivelocidad, que es lo primero que he pensado, pero el hecho de que al aplicar la transformación a {u0,u1,u2,u3} me iba a dar u2’=u2 cuando en las ecuaciones anteriores son distintos, me ha dejado desconcertado.

  2. 1221 dijo:

    Pensaba que al comentar aquí iba a poder dejar de pensar en ello y estudiar alguna otra asignatura. Me equivocaba. Pero bueno, no hay mal que por bien no venga: creo que he resuelto mi duda.

    El problema simplemente es que aquí llama u a la 3-velocidad “newtoniana” en vez de a la cuadrivelocidad. Las fórmulas de transformación son las de la 3-velocidad. Supongo que la utiliza porque es lo que miden los observadores y por lo tanto lo relevante para hablar de aberración.

  3. En efecto, creo que lo que has visto tras un rato de dejar a la mente hacer su trabajo es la explicación correcta. Las componentes espaciales de la cuadrivelocidad (derivadas con respecto al tiempo propio) difieren de la velocidad newtoniana (derivadas con respecto al tiempo coordenado) por el factor que corresponde al cambio de parámetro, \frac{dt}{d\tau}, y como ese factor es el mismo para las tres componentes espaciales, a efectos de relacionar ángulos entre 3-vectores espaciales desde el punto de vista de un observador, tanto da usar las componentes espaciales de la cuadrivelocidad o las de la velocidad ordinaria newtoniana. Me parece que dar por sobreentendido esto es el punto de partida de la derivación del trabajo que enlazas, al que quizas le falta aclarar que sus u son las componentes de la velocidad ordinaria. Un lugar donde esa cuestión está analizada directamente en términos de transformaciones de Lorentz es el Landau-Lifshitz II, apartado 5 o 6 más o menos, desde luego en el Cap I (no le tengo ahora a mano).
    Hay otra manera de hacer este tipo de cálculos que para otros casos más complicados resulta ser preferible, que no hemos visto en clase y que consiste en trabajar de manera sistemática con la descomposición de un cuadrivector u^\mu cualquiera en sus partes “temporal” y “espacial” relativamente a un observador dado, descrito a su vez por su cuadrivelocidad \xi^\nu. Este formalismo se llama a veces formalismo covariante 3+1 o de Ellis-Ehlers y permite describir las descomposiciones de vectores, tensores, etc desde el punto de vista “tiempo + espacio” propio de cada observador, y realiza tales descomposiciones de manera formalmente covariante.
    Por cierto, se puede escribir latex en los comentarios, aqui indican como.

  4. Relatividad dijo:

    Hola,
    Yo tengo una breve duda. En un movimiento acelerado relativista, dentro de la relatividad especial, en el que la aceleración del sistema propio es w0 en la dirección x. Imponiendo la constancia del producto escalar cuadrimensional w(super i )·w(sub i) = -(w0^2)/c^4 y desarrollando queda que la derivada con respecto al tiempo (t, tiempo medido en el sistema fijo) de (v / sqrt (1 – (v/c)^2)) es igual a w0 (último problema del primer capítulo del libro de Landau “Teoría clásica de los campos”) ¿Como se llega a esto ?
    Gracias.

  5. Hola,

    En el Cap.3 sobre Dinámica Relativista de las notas que están colgadas (enlace aquí), hay un apartado (paginas 61 a 67) dedicado al estudio del movimiento acelerado relativista (m.a.r), en el que espero que puedas aclarar tu duda. Este apartado esta construido precisamente tomando como base el problema del Landau Vol II que mencionas, pero con bastantes detalles adicionales. El asunto queda mucho más claro si se trabaja desde el principio empleando la rapidez \chi del movimiento, en vez de la velocidad, pues entonces la ecuación del m.a.r. [ec 140 en las notas] simplemente dice que la derivada de la rapidez \chi con respecto al tiempo propio \tau es la aceleración constante (tu w0, que en las notas se denota g). Si esta ecuación la traduces reemplazando la rapidez por la velocidad y la derivada con respecto al tiempo propio por la derivada con respecto al tiempo coordenado, resulta precisamente la ecuación que tu mencionas.

    Si quieres ver en detalle como se llegaria a esa ecuación, sin pasar por el empleo de la rapidez (que en todo caso es el mejor metodo) lo podrias hacer repitiendo el proceso entre las ecs 135 a 140 pero expresando todo en términos de la velocidad ordinaria (en vez de hacerlo con la rapidez como se hace en las notas). De hecho, eso es lo que hace Landau y lo que se propone hacer en el ejercicio 3.38 de las notas (en la p.66) en donde se advierte que la derivación empleando las velocidades es mucho menos clara y requiere cálculos algo mas feos.

    En todo caso, puedes llegar tambien a la relación que buscas de una manera inversa, partiendo de la formula que da la velocidad ordinaria en términos del tiempo coordenado (eq. 146); si ahora calculas {v}/{\sqrt{1-\tfrac{v^2}{c^2}}} reemplazando v(t) mediante la eq. 146, encontraras que esto se simplifica mucho y vale precisamente g t, de manera que al derivar con respecto a t queda g, Q.E.D.

  6. Relatividad dijo:

    Vale, muchas gracias. Ya he visto los apuntes y quedan un poco fuera de nuestro nivel, pero se intentará. Por otro lado, dos preguntas breves. En el Landau volumen II los pasos intermedios desde la constancia del cuadrivector hasta la derivada con respecto al tiempo… igual a w0, ¿no incluye los pasos porque existe un camino trivial para llegar hasta ahí(sin un analisis detallado como en las notas) o porque la demostración es extensa? Y también, ¿no se podría justificar que d(v / sqrt (1 – (v/c)^2))/dt es la fuerza entre la masa en reposo, y eso sería w0?
    Gracias.

  7. Sobre lo que preguntas en el Landau II, me temo que Landau no incluye los pasos intermedios porque para él serían evidentes. En general,
    Landau se caracteriza por decir en muy pocas palabras lo que quiere decir, que siempre es bastante más de lo que parece. De manera que no es que haya un camino trivial para llegar hasta allí, el camino es el mismo esencialmente que en las notas (salvo por la diferencia menor de usar la rapidez en vez de la velocidad, que no afecta a la linea del argumento.) Sobre tu segunda pregunta, ¿no se podría justificar que la derivada \frac{d}{dt} \frac{v}{\sqrt{1-\tfrac{v^2}{c^2}}} debe ser igual a la fuerza (por unidad de masa), que debe coincidir con la aceleración propia w_0? resulta que esta idea lleva al resultado correcto, pero en este caso eso se debe a algunas coincidencias afortunadas, que se dan cuando la fuerza provoca una aceleración propia constante (por ejemplo, esto lo hace un campo eléctrico actuando sobre una partícula cuyo movimiento tiene la misma dirección que la del campo) pero que en otras circunstancias no se dan; en general en relatividad usar la idea de 3-fuerza, ligada al cambio de momento por la ecuación original de Newton \frac{d {\bf p}}{dt} = {\bf F}, con el tiempo coordenado del observador no es el mejor camino y tiene riesgos: es muy fácil llegar así a conclusiones equivocadas.

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