Hamiltoniano, ¿con H de Huygens?

En Mecánica Teórica es universal denotar por L el lagrangiano y por H el hamiltoniano. Con frecuencia se dice en clase (y seguramente yo lo he dicho en alguna ocasión) o en los libros de texto, explícita o implícitamente, que la elección de esas letras hace una referencia intencionada a sus respectivos inventores, Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) y William Rowan Hamilton (1805-1865). Esa interpretación parece tan natural y simétrica que no se discute y se asimila de inmediato. Supongo que es casi inevitable pensar: “Pues claro, ¡qué poca imaginación! Y una vez visto esto, pasemos a otra cosa.

Joseph-Louis Lagrange (1736-1813)

William Rowan Hamilton (1805-1865)

Así que es un lugar común pensar que es H por Hamilton. ¿Correcto? Pues no.

Hay que recordar que el propio concepto de energía, y la aceptación del principio de su conservación, que hoy vemos como una de las leyes auténticamente básicas de la física, no estaba aún consolidado en la época en que Joseph-Louis Lagrange publica la última edición de su Mécanique Analytique, la primera Mecánica moderna, en la que se expone la hoy llamada formulación Lagrangiana.

Con esa cautela, es un hecho (que no admite discusión) que en esa obra, publicada en 1811, cuando Hamilton tenía cinco años, se utiliza la letra H para denotar la energía total de un sistema de partículas. En esquema, lo que Lagrange hace es ver que en un sistema de partículas en el que las fuerzas derivan de un potencial V (y tanto ellas como las eventuales ligaduras no dependan  del tiempo, lo que es “proprement le cas de la nature”, escribe Lagrange, teniendo presente seguramente el movimiento del sistema solar bajo la acción de la gravedad mutua del Sol y los planetas), las ecuaciones de Lagrange que se derivan del lagrangiano L = T – V tienen una integral primera, que  Lagrange denota H y que resulta valer H: = T + V. Actualmente vemos de inmediato que esta integral primera es la energía total, la suma de la energía cinética T y la energía potencial V.

Surge aquí la pregunta: ¿Porqué la elección de la letra H?

Es posible, realmente razonable, e incluso bastante probable, que el empleo de esa letra sea un homenaje de Lagrange a Christiaan Huygens (1629-1695), quien en su Horologium Oscillatorium (1673) formuló el llamado principio de conservación de las fuerzas vivas, que es históricamente la primera aparición (casi) correcta de nuestro actual principio de conservación de la energía. Al introducir H como nombre de la integral primera, Lagrange no menciona la razón por la que ha escogido esa letra, pero Lagrange, en otro lugar del libro, atribuye explícitamente el descubrimiento de la constancia de esa cantidad a Huygens, quien la había denominado como la constante de las fuerzas vivas. El nombre arcaico de fuerza viva se refiere a la cantidad que hoy llamamos energía. Así que la inferencia de que realmente fue H por Huygens no parece descaminada.

Christiaan Huygens (1629-1695)

El uso de la letra H para designar a la energía total, que cuando se expresa en términos de coordenadas y momentos es el Hamiltoniano, tenía ya una historia de uso de un cuarto de siglo cuando Hamilton en 1834 y 1835 publicó su método general en dinámica, lo que hoy llamamos la formulación Hamiltoniana. Al parecer la notación de Lagrange para designar a esa cantidad fue conservada por sus continuadores inmediatos, como Cauchy o Hamilton, y se ha mantenido así desde entonces. Se concluye que H por Hamilton no puede ser la interpretación correcta; como mucho es otra leyenda urbana.

Me he encontrado con esta curiosa historia, que desconocía pero que tiene el peso incontrovertible de la realidad, a consecuencia de una interesante pregunta que me hizo al final de la clase un estudiante —¿Cómo se abordaron los resultados de estabilidad del sistema Solar que obtuvieron Laplace, Lagrange y Poisson?—.  Recordé que tenía un borrador  sobre el origen histórico preciso de los corchetes de Poisson, un asunto sorprendentemente ignorado en la práctica totalidad de los libros de texto, que se limitan a dar la definición, y dediqué algo de tiempo a acabar de documentarme sobre la cuestión y a completar el borrador [Actualización: aquí está la versión completa de ese borrador]. Entre el material que he leído destacan unos trabajos de Jean-Marie Souriau y de Patrick Iglesias-Zemmour, que, en el contexto del nacimiento de la mecánica simpléctica a manos de Lagrange y de Poisson, discuten esa cuestión, y mencionan que decididamente H no puede ser por Hamilton, dando las referencias precisas a los pasajes de la obra de Lagrange que he mencionado antes.

Posiblemente parezca al lector que este asunto carece de suficiente sustancia, y que a fin de cuentas la letra que se emplee para designar un objeto es algo muy poco relevante y que el asunto no tiene más recorrido (el propio Lagrange designaba con Z a lo que hoy llamamos lagrangiano y denotamos L, aquí sí, por Lagrange). Estando básicamente de acuerdo con el planteamiento, disiento de la conclusión implícita. Lo que me parece más instructivo de esta curiosidad es que se trata de un ejemplo menor de un hecho que es en sí relevante y del que conviene ser consciente: lo fácil que es caer en reinterpretaciones de lo que conocemos que parecen razonables y que nos convencen, pero que tienen poco o nada que ver con lo que fue la historia. Lo que en otras situaciones, como en las reinterpretaciones de la Historia (con mayúsculas) puede ser realmente peligroso.

A otro nivel, un hecho en cierto sentido análogo es lo que se ha llamado el ‘teorema cero de la historia de la ciencia‘: enunciado por Ernst Peter Fischer, conocido en la comunidad matemática como el principio de Arnol’d y en una forma ligeramente diferente en la física como principio de Berry, afirma (medio en broma, pero todo en serio) que cuando un descubrimiento, regla, regularidad o visión perceptiva está asociada a un nombre propio, probablemente su origen real está en otra persona.

Con certeza, H no es por Hamilton. Quizás lo es por Huygens.

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