Sorpresas en las sumas infinitas (II): Arquímedes, Oresme, Madhava.

Todas las familias felices se parecen; las familias infelices lo son cada una a su manera

.

Lev Tolstói, en Anna Karénina

Fue en el S. XVII, con la gestación y el nacimiento del análisis  infinitesimal, el actual cálculo diferencial e integral, cuando las series, —de potencias, que se reducen a series numéricas cuando se da un valor numérico a la variable— comenzaron a ser un objeto ubicuo en las matemáticas occidentales. Pero antes de esas fechas habían sido varios los matemáticos preocupados por las sumas infinitas. Resumimos en este post lo que hasta entonces se aprendió. Que consiste esencialmente en reconocer lo equivocado de algunas ideas ingenuas sobre esta cuestión.

Una primera idea errónea, —que unida a la confusión entre el infinito actual y el infinito potencial conduce a las varias paradojas de Zenón—, consiste en creer que si una suma consta de un número infinito de sumandos, su valor no puede ser finito. Esto es cierto en muchos casos. Parece claro que la serie 1+1+1+1+1+1+… no tiene un valor finito como suma. Tampoco lo tiene la 1+2+3+4+5+6+ … (aunque sobre ambos ejemplos volveremos en otros posts).

Pero hay algunas series infinitas en las que esa afirmación no es cierta. Con seguridad Arquímedes (y probablemente otros) ya habían visto claro durante la antigüedad que  un número infinito de sumandos es compatible con un valor finito para la suma. En otras palabras, la presencia de infinitos sumandos no implica como consecuencia inevitable que la suma tenga que tener un valor infinito.

Un poco al margen, conviene apreciar que en el párrafo anterior los dos usos de infinito se refieren a contextos sutilmente diferentes. En ‘infinitos sumandos’ el infinito es el de los números naturales, cada uno de los cuales, por grande que sea, tiene un único sucesor bien definido: 2 sucede a 1, 5231 sucede a 523o, 47345234 sucede a 47345233 y así ad infinitum. En ‘valor infinito’ el infinito se refiere a los números reales. Cada número real tiene números mayores que él, pero no un sucesor único. En ambos casos infinito puede verse como una abreviatura de ‘mayor que cualquier numero natural o real prefijado, por grande que éste sea’; este infinito es un símbolo, no un número natural ni un número real.

Esa idea es la primera que se debe asimilar sobre las series. En menos de la mitad de 140 caracteres:

‘es posible que una suma de infinitos sumandos tenga un valor finito’.

Por ejemplo, la serie 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + …, en la que cada término es la mitad del anterior, tiene un número infinito de sumandos pero la suma total es finita y vale 2.

Veamos una demostración ‘geométrica’ de dicho resultado que no sería anacrónica en la época clásica. Tómese un intervalo de una recta de longitud 2 y divídase en dos mitades iguales (de la misma longitud), que denominaremos izquierda y derecha. Se mantiene la mitad izquierda y la mitad derecha se subdivide en dos mitades iguales. Se mantiene la mitad izquierda y la mitad derecha se subdivide en dos mitades iguales …..  y se procede así indefinidamente. El intervalo original queda dividido en infinitos intervalos disjuntos, las que fueron las mitades izquierdas de cada etapa, cuyas longitudes son respectivamente 1, 1/2,  1/4,  1/8,  1/16, … . Como la longitud del intervalo inicial era 2, la suma de todas estas longitudes debe ser igual a la longitud del intervalo completo, lo que acaba la demostración. (Se trata de una progresión geométrica y su suma puede obtenerse usando álgebra de la manera habitual, llegando desde luego al mismo resultado).

Esta serie pertenece a la clase de las llamadas series geométricas, en las que cada término se obtiene del anterior multiplicando por una constante, llamada razón de la progresión; tales series tienen suma finita cuando la razón es (en valor absoluto) menor que 1; ésto ocurre en el ejemplo que nos ocupa, donde esa constante vale 1/2. Arquímedes usó estas series en su famosa determinación del área de un segmento de parábola, igual a 4/3 del área del triángulo que tiene la misma ‘base’ y ‘altura’ que el segmento de parábola, resultado que Arquímedes obtuvo aplicando su método de exhausción (o de agotamiento) que constituye un precedente histórico de la integración.

Desde luego, la posibilidad de que una suma de infinitos sumandos tenga un valor finito solo puede ocurrir si a la larga los sumandos son (en valor absoluto) decrecientes hacia 0. Por ejemplo, cualquier suma de infinitos términos positivos y que a la larga no sean decrecientes solo puede conducir a un valor infinito (esto es, mayor que cualquier valor prefijado), como ocurre en los dos ejemplos  1+1+1+1+1+1+ … ó 1+2+3+4+5+6+ … .

Pasemos a la segunda idea importante. En la serie geométrica, que sabemos tiene suma finita, los términos son efectivamente decrecientes. Sin embargo, el mero hecho de que los términos sean decrecientes no basta para que la suma sea finita. En el S. XIV Nicolas de Oresme, un auténtico polímata  y uno de los pensadores más originales de ese siglo en Europa: filósofo, matemático, astrónomo militantemente opuesto a la astrología, economista, traductor, y obispo al final de su vida, demostró por primera vez de manera rigurosa (para los cánones de la época) que

‘una suma de infinitos términos positivos y decrecientes hacia 0 puede tener un valor infinito’.

El ejemplo estudiado por Oresme es la suma 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + …. de los inversos de los números naturales, que actualmente se conoce como serie armónica. Oresme dió alrededor de 1350 un precioso argumento que muestra que las sumas parciales (las que resultan tomando un número finito de términos, desde 1 hasta 1/N) de esa serie, cuando se toman más y más términos pueden exceder cualquier valor prefijado de antemano, por enorme que éste sea. Lo que significa que cuando se considera la suma de infinitos términos 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + …. el resultado tiene que ser mayor que cualquier valor finito. Con el símbolo ∞ (que, recordemos, no es un número, y que en el S. XIV aún no estaba disponible), se resume el resultado de Oresme en el lenguaje actual diciendo

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + …. = ∞

Este hecho sigue sorprendiendo a los estudiantes de análisis matemático la primera vez que se encuentran con él: acumulando cantidades que son cada vez más y más pequeñas, se puede sobrepasar cualquier valor prefijado, aunque sea arbitrariamente grande. Yo, desde luego, aun recuerdo la sorpresa que me produjo. Para los matemáticos profesionales es fácil olvidar aquella sorpresa, sepultada tras la familiaridad con el resultado.

La demostración que dio Oresme se considera una de las joyas de la matemática medieval occidental.  Está basada en la idea de que si en una suma un sumando se reemplaza por un valor menor, la suma total disminuye. Si en la serie armónica reemplazamos 1/3 por 1/4, cada uno de los sumandos 1/5, 1/6, 1/7  por 1/8, cada uno de 1/9, 1/10, …. 1/15  por 1/16 y así sucesivamente usando los inversos de las potencias de 2 como jalones en la sustitución, todos los reemplazos son por un valor menor que el original, con lo cual la suma total de la serie reemplazada debe también ser menor que la de la original. Pero tras el reemplazo la suma contiene un grupo de dos sumandos 1/4, que conjuntamente valen 1/2, un grupo de cuatro sumandos 1/8, que conjuntamente valen 1/2, un grupo de ocho sumandos 1/16 que conjuntamente también valen 1/2 y así sucesivamente. Con ello resulta evidente que la suma de la serie reemplazada vale 1 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + …., y ahora es manifiesto que al tomar suficiente número de términos dicha suma acaba superando cualquier valor prefijado. En cuanto a la serie armónica, que era objeto de nuestro interés, debe tener una suma mayor que la de la reemplazada, que a su vez acabamos de demostrar que es mayor que cualquier valor dado.  Por lo tanto la ‘suma’ de la serie armónica sobrepasa cualquier valor prefijado  de antemano, por grande que éste sea.

Esta auténtica joya permaneció ignorada hasta que trescientos años más tarde, a mediados del  S. XVII, Pietro Mengoli y Johann y Jacob Bernoulli redescubrieron esta propiedad de la serie armónica, demostrando de otras maneras el resultado al que ya Oresme había llegado (creo que independientemente del texto de Oresme, que por entonces era desconocido, aunque no he encontrado ninguna información concreta sobre este punto).

Un tercer ejemplo intrigante y bastante menos conocido es el de la serie de Madhava. Madhava of Sangamagrama (c. 1350 – c. 1425), fue el fundador de la escuela de astronomía y matemáticas de Kerala, en la India. A juzgar por los escritos conservados de los miembros de la escuela, parece claro que a finales del S. XIV estos matemáticos indios se enfrentaban con el infinito de manera mucho más desinhibida que los occidentales, y que su conocimiento de las ideas básicas sobre las sumas infinitas y sobre los ritmos de variación era mucho más profundo que en Europa, en donde desde Oresme hubieron de pasar otros trescientos años hasta que ese conocimiento comenzó a abrirse paso. Pero esto nos llevaría a hablar de ciertas resistencias subterráneas que en Europa encontró el advenimiento del cálculo infinitesimal por motivos religiosos y políticos, otra historia interesante de la que habrá que hablar en otra ocasión.

Entre otros resultados notables, esencialmente equivalentes a las series de potencias para las funciones trigonométricas seno y coseno (que en Occidente se deben a Gregory y a Newton, en la segunda mitad del S. XVII), Madhava dió (en torno a 1400 !!) la siguiente serie numérica

1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + 1/9 – 1/11 + …. = π/4

En muchos libros de texto esa serie aún se atribuye a Gregory y a Leibniz, en la década de los 1670. Pero es incuestionable la evidencia de que bastante antes algún miembro de la escuela de Kerala, posiblemente el propio Madhava, ya la había encontrado.

Si olvidamos el origen de esa relación, y la vemos como una serie numérica aislada de su contexto (la serie de potencias del arco tangente), la aparición de π en la suma es sin duda sorprendente, ya que los términos dependen solo de los números naturales. Es el primer ejemplo que encontramos en nuestro viaje virtual de una serie alternada, en la que los términos son alternativamente positivos y negativos. Y puede comprobarse que al tomar más y más términos en las sumas parciales, éstas se aproximan indefinidamente a un cierto valor ‘límite’. Basta notar que en valor absoluto los términos son decrecientes de manera monótona hacia 0, y usando un esquema de visualización con segmentos como el de la serie geométrica, el segmento que corresponde a cada nuevo término es de menor longitud que el anterior y debido a los signos alternados está completamente contenido en el anterior las sumas parciales . Así las sumas parciales se representan por los extremos de una sucesión de intervalos encajonados y de amplitud decreciente, lo que (rigurosamente, para la época) demuestra ‘geométricamente’ que estas sumas parciales se aproximan indefinidamente a un cierto valor.

Por supuesto, en nuestro lenguaje moderno diríamos que la sucesión de sumas parciales tienden a cierto límite y el argumento geométrico anterior es simplemente el criterio de convergencia de Leibniz para las series alternadas, que aparentemente ya habían comprendido en la escuela de Kerala.

Estos tres ejemplos, que uno debe tener en mente al explorar este campo, pueden verse como los ejemplos prototípicos que exhiben una primera dicotomía fundamental, clasificándo las series en convergentes y divergentes. Me limito aquí a una descripción básicamente verbal (inevitablemente algo imprecisa), en beneficio de los lectores ajenos a la epsilóntica, el lenguaje preciso del análisis matemático actual, con su artillería de ε y δ.

Las series en las que las sumas parciales de los primeros N sumandos (que son sumas finitas) se aproximan a un valor límite cuando N se hace más y más grande,  se denominan series convergentes. Ejemplos: la serie geométrica 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + … y  la serie de Madhava 1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + 1/9 – 1/11 + …. .

Naturalmente, hay muchas series en las cuales al tomar más y más sumandos, el valor resultante de las sumas parciales crece indefinidamente con N y no se aproxima a ningún valor numérico límite. Esto es lo que, según hemos visto antes, ocurre en la serie armónica. También en la serie 1 + 1+ 1+ 1+ 1+ 1 + … cuyas sumas parciales forman la sucesión 1, 2, 3, 4, 5, 6, …. . También puede ocurrir que las sumas parciales tengan caracter oscilante (como en la serie 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + …, cuyas sumas parciales son 1, 0, 1, 0, 1, 0, …). Hay otras maneras en las que puede ocurrir que al tomar más y más sumandos en consideración las sumas parciales no se aproximen a ningún límite. Genéricamente y en conjunto a todas las series no convergentes se las califica como divergentes. La serie armónica, la serie 1 + 1+ 1+ 1+ 1+ 1 + … y la serie 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + … son las tres divergentes.

¿Sabría el lector concluir cual es el carácter de las dos series que damos a continuación?:

A) La serie de los inversos de los números impares, 1 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/9 + 1/11 + …. que resulta de tomar  los términos de la serie de Madhava con el mismo signo positivo, en vez de con signos alternados.

B) La serie ‘armónica alternada’, 1 – 1/2 + 1/3 – 1/4 + 1/5 – 1/6 + 1/7 – 1/8 + …. que resulta tomando los términos de la armónica con signos alternados.

El actual nombre de serie convergente se debe a Gregory, en 1668, y el de serie divergente es (al parecer) de N. Bernoulli en 1713. Arquímedes, Oresme, Madhava, …, entendían con indudable seguridad lo que era una serie convergente y una serie no convergente, aunque no dispusieran aún del nombre.

Con vistas a los siguientes posts, conviene tener en mente que

‘las series convergentes son un subconjunto bastante pequeño del conjunto de todas las posibles series’.

En los cursos ordinarios de análisis matemático se suelen tratar solamente las series convergentes, cuyas propiedades son más cercanas a nuestras intuiciones ordinarias sobre las sumas, aunque no están exentas tampoco de ciertas sorpresas como veremos en el post siguiente. Pero en el horizonte quedan todas las series que no son convergentes, que son la gran mayoría y que en general se eluden en los cursos introductorios. Lo que no significa que no se puedan estudiar, ni que de su estudio surjan nuevas ideas. Y es que como siempre ocurre, el mundo no se acaba en lo que se cuenta en las clases. Al contrario: casi siempre allí es donde empieza. Y ese más allá siempre es interesante; no debemos perderlo de vista.

Ayudará a estudiar las series en general tener muy presente que la denominación de serie divergente es un auténtico cajón de sastre en el que caben series completamente heterogéneas. Y que al estudiarlas la esperanza de encontrar propiedades que sean válidas para todas ellas es, quizás, demasiado ingenua.  Parafraseando ahora a Tolstói, podríamos resumir esta idea como:

‘mientras que todas las series convergentes se comportan de manera parecida, las divergentes lo hacen cada una a su manera’.

PS. Debo a MAFS el conocimiento de la escuela de Kerala, a través de su recomendación del excelente libro The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics,  de George Gheverghese Joseph. 
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