Alrededor de los puntos de Lagrange en 3D: Las órbitas de Halo (y IV)

You can’t connect the dots looking forward; you can only connect them looking backwards. So you have to trust that the dots will somehow connect in your future.

Steve Jobs, en la 2005 Stanford Commencement Address

sigue del post anterior de la serie…

A vista de pájaro, la historia narrada en los tres posts anteriores aparece como el proceso de ir poniendo ‘dots’: quienes ponen cada uno de ellos pueden no sospechar para qué se añadirá el siguiente. Primero Euler y Lagrange, hace dos siglos y medio, en el transcurso del estudio de un problema mucho más amplio, encuentran ciertas configuraciones de movimiento en el problema de tres cuerpos, las configuraciones que hoy llamamos de ‘equilibrio relativo’. Desde mediados del S. XIX, de la mano de Maxwell y de otros se van abriendo paso las ideas del estudio de la estabilidad de tales movimientos en problemas semejantes. Hace poco más de un siglo se comienzan a descubrir asteroides en las posiciones predichas por Lagrange, y se acuña la actual denominación de estos puntos.

En ese momento ya tenemos el conjunto de conexiones necesarias entre todos estos ‘dots’ para seguir los tres posts anteriores, en los cuales nos hemos aventurado llegando hasta donde se puede alcanzar usando la aproximación lineal o de pequeñas oscilaciones para estudiar el movimiento tridimensional en las cercanías de los puntos de Lagrange.

Pero si ponemos aquí el punto final, nos perderíamos un interesantísimo pasadizo que nos conduce a un mundo nuevo de órbitas. La entrada a ese al Siq, que hay que buscar deliberadamente, está sugerida por un comentario que hicimos sobre la marcha en el post anterior (con la debida intencionalidad, claro), y que debidamente explorado nos conduce a la existencia de otro tipo completamente nuevo de órbitas, las órbitas de Halo. Si quiere descubrirlo por sí mismo, relea los dos últimos apartados del post anterior y trate de añadir ‘looking backwards’, un nuevo ‘connect’ entre estos ‘dots’.

Exploremos pues en esa dirección. Para hacerlo significativamente es necesaria otra pequeña digresión elemental sobre el período del péndulo.

Digresión sobre el péndulo

Un péndulo es una masa m colgada verticalmente de un punto fijo por una varilla rígida, inextensible, de masa despreciable y longitud l, en un campo gravitatorio homogéneo de intensidad g.
Cualquier estudiante de física general lo sabe: el período del péndulo es independiente de la amplitud de sus oscilaciones. El periodo del péndulo está dada por la fórmula T = \frac{2\pi}{\omega} = 2 \pi \sqrt{l/g}, en la que la amplitud, que se mide por el ángulo máximo de desviación de la varilla respecto a la vertical, no interviene. Se trata del ejemplo más elemental del principio general del isocronismo de las pequeñas oscilaciones, enunciado en el caso del péndulo de forma algo visionaria por Galileo, y que afirma que en ese régimen, los periodos de los movimientos oscilatorios básicos (los modos normales) están determinados únicamente por las características físicas del sistema (en el péndulo la longitud y la intensidad del campo gravitatorio) pero no dependen de la amplitud de los movimientos.
Pero ¿es así exactamente? ¿Es cierto exactamente que el período de oscilación de un péndulo es independiente de la amplitud? La respuesta es “no”: el período real del péndulo depende de la amplitud de sus oscilaciones. El isocronismo no es una propiedad exacta del péndulo, sino una característica de los movimientos en el régimen de la aproximación lineal, que reemplaza \sin\theta por \theta en la ecuación de Newton: por lo tanto se trata de una propiedad que solamente ocurre en el límite de amplitudes pequeñas (el rango en el que la aproximación \sin\theta \approx \theta es aceptable). En el caso del péndulo, la solución de la ecuación sin ninguna aproximación se puede escribir de una manera exacta que muestra que el periodo del movimiento depende de la amplitud. Tan sólo en el límite de pequeñas oscilaciones, en el que la amplitud es muy pequeña, el periodo parece independiente de la amplitud. Pero realmente no lo es.
Se puede dar una fórmula exacta que muestre el comportamiento del periodo en función de la amplitud, medida por el ángulo máximo \theta_0 en que el péndulo se desvía de la vertical. La fórmula involucra la integral elíptica completa de primera especie, pero si no se tiene familiaridad con estas funciones resulta mucho más claro dar el desarrollo de la expresión anterior en serie de potencias de la amplitud \theta_0, cuyo primer término ya había calculado uno de los Bernoulli. Los dos primeros términos de corrección al isocronismo exacto resultan ser (los detalles precisos pueden consultarse también aquí):
T = 2\pi \sqrt{l/g} \left( 1 + \tfrac{1}{16}\theta_0^2 + \tfrac{11}{3072}\theta_0^4 + \dots \right)
La gráfica de esta función, para amplitud 0, tiene tangente horizontal. Esto significa que cuando la amplitud es muy pequeña, el periodo es prácticamente independiente de la amplitud, correspondiendo al término 1 en la serie entre paréntesis. Pero a amplitudes mayores, el periodo cambia con la amplitud. Al principio cambia poco: para una amplitud de 22 grados, el periodo ha cambiado solo del orden del 1 por cien con respecto al valor que tiene para amplitudes muy pequeñas. Pero después la discrepancia crece más deprisa: para una amplitud de 1 radián, la diferencia relativa es ya del 6 por cien, y para amplitudes mayores crece rápidamente, hasta dar un período infinito cuando la amplitud es exactamente π radianes.

Más allá de la aproximación lineal

Volviendo a nuestro asunto, la digresión anterior nos conduce a la siguiente pregunta:

¿Cómo irá degradándose la precisión con la que las superposiciones de modos normales describen los movimientos reales alrededor de los puntos de Lagrange cuando las amplitudes van aumentando?

Hay al menos dos aspectos diferentes en esta degradación. En primer lugar, si consideramos individualmente cada modo, el movimiento real no será exactamente el descrito por el modo normal, y la función que describe la evolución temporal será progresivamente diferente de los dos prototipos de evolución ‘rígidos’ que ocurren en los modos normales, a saber e^{\sigma t} ó \cos{\omega t}. Según van aumentando las amplitudes, las órbitas asociadas a los modos normales, que solamente son aproximadas lo van siendo cada vez menos, y van haciéndose más y más diferentes en su forma geométrica y en su ley de evolución de las correspondientes órbitas ‘reales’, que son las soluciones exactas de las ecuaciones del movimiento. Tales órbitas exactas se llaman en general órbitas de Lyapunov.

Hay dos tipos de órbitas de Liapunov en nuestro problema: las ‘asociadas’ a los modos centro, llamadas órbitas de Liapunov horizontales, y las ‘asociadas’ a los movimientos oscilatorios verticales, que se denominan órbitas de Liapunov verticales u órbitas de Liapunov en ocho. Para amplitudes más y más pequeñas, cada una de ellas se asemejan respectivamente a las del modo centro o a las de modo oscilador, pero son más y más diferentes de ellas para amplitudes crecientes.

Sabemos que los modos centro y oscilador vertical son periódicos. La pregunta ahora es: ¿lo son también los movimientos según las órbitas de Liapunov horizontales y verticales? Podría ocurrir que no lo fueran. Pero resulta que sí lo son. Sus períodos dependerán de las amplitudes, y cuando éstas van siendo más y más pequeñas, se irán aproximando a los periodos del modo centro o del modo oscilador. Notemos que éste es precisamente el fenómeno que hemos mencionado en el péndulo simple.

En las dos figuras se ilustra este comportamiento: una familia de órbitas de Liapunov horizontales de varias amplitudes y otra de las órbitas de Liapunov verticales.

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Diagrama de la forma de las órbitas de Liapunov horizontales en SEL2. Nótese como para amplitudes muy pequeñas se parecen cada vez más a las elipses del modo centro (cuyo rectángulo circunvalante se muestra en verde), pero van diferenciándose de esa forma al aumentar su amplitud. Se trata de una modelización de las órbitas exactas de Liapunov

Diagrama de la forma de las órbitas de Liapunov horizontales en SEL2. Nótese como para amplitudes muy pequeñas se parecen cada vez más a las elipses del modo centro (cuyo rectángulo circunvalante se muestra en verde), pero van diferenciándose de esa forma al aumentar su amplitud. Se trata de una modelización de las órbitas exactas de Liapunov

Diagrama de la forma de las órbitas de Liapunov verticales en SEL2. Nótese como para amplitudes muy pequeñas se parecen cada vez más a los segmentos verticales del modo oscilador transversal pero van diferenciándose de esa forma al aumentar su amplitud, adoptando una forma tridimensional en ocho. Se trata de una modelización de las órbitas exactas de Liapunov verticales

Por otra parte, en la aproximación de pequeñas oscilaciones, cualquier superposición de soluciones particulares de la ecuación del movimiento es también una solución; esto corresponde a que la ecuación del movimiento es lineal. Pero la ecuación de movimiento exacta en el problema de tres cuerpos no es lineal, y la solución general exacta diferirá cada vez más de una suma de soluciones particulares; se suele describir esto diciendo que la no linealidad acopla los diferentes ‘modos’ que en la ecuación linealizada eran completamente independientes. Este acoplamiento, que se da los fenómenos no lineales, es una de las fuentes básicas de complicación que hace que para su estudio sean necesarias técnicas más allá de las de la Física Matemática lineal.

Vemos ahora que la digresión sobre el péndulo, aparentemente sin relación con nuestro problema, contiene la clave para explorar esta vía lateral a la que nos referimos antes. Un par de párrafos antes mencionamos que los períodos de los movimientos de Liapunov reales, exactos, van cambiando al aumentar sus amplitudes, siendo progresivamente más y más diferentes de la predicción de la aproximación lineal. De esa observación a intuir que pueden aparecer, cuando las amplitudes superen ciertos valores críticos, un nuevo tipo de órbitas periódicas hay solamente un paso. Hay que darlo: veamos cómo.

Las órbitas de Halo

La clave es que los períodos del modo centro y del modo de oscilador armónico vertical sean bastante cercanos. Y este hecho lo vimos en el post anterior, donde dimos las gráficas que indican que en los tres puntos L1, L2, L3 y para cualquier sistema de primarios, ω y ωv apenas difieren.

Esto tiene una consecuencia: como en el régimen de pequeñas oscilaciones los períodos de las órbitas de Liapunov horizontales y verticales son muy cercanos, y sabemos que cuando las amplitudes de estos movimientos van creciendo, los periodos cambian con la amplitud, no es descabellado pensar en la posibilidad de que para ciertas combinaciones particulares de amplitud de esos dos movimientos, los periodos exactos de ambos coincidan. Si esto llega a ocurrir, y si además los dos movimientos de Liapunov no están demasiado acoplados por las ecuaciones de movimiento, entonces podemos esperar que la ‘superposición‘ de ambos movimientos de Liapunov podría ser una órbita tridimensional y periódica, con el mismo período que cada uno de sus movimientos componentes.

Naturalmente, esto no es una demostración, sino solo una sugerencia de que algo así podría ocurrir. Puestos a ser abogado del diablo, también podría ocurrir lo contrario: que al aumentar las amplitudes de las órbitas de Liapunov horizontales y transversales, sus periodos, inicialmente cercanos, se fueran separando y no coincidieran para ningún valor de las respectivas amplitudes. Decidir cual de las dos posibilidades ocurre en realidad requiere hacer los cálculos. Y los cálculos muestran que los dos periodos de los movimientos de Liapunov horizontales y transversales se van acercando hasta cruzarse (esto es, coincidir) para ciertas combinaciones de las respectivas amplitudes.

Esta intuición nos conduce a una primera predicción: estas nuevas órbitas requieren una amplitud mínima. Para amplitudes muy pequeñas, los periodos de ambos movimientos cuya combinación podría dar lugar a tal órbita son cercanos, pero diferentes. Si la necesaria coincidencia de periodos se debe a un mecanismo parecido al que ocurre en el péndulo, ésto es, que el periodo cambie con la amplitud, la coincidencia entre ambos no puede ocurrir hasta que se haya llegado a cierta amplitud mínima para cada uno de los dos movimientos implicados.

Una vez comprobado todo lo anterior (lo que no hacemos aquí, claro), al tomarlo conjuntamente, resulta que, para amplitudes mayores que una amplitud mínima debemos esperar que existan órbitas tridimensionales periódicas, que pueden imaginarse como una cierta ‘superposición’ de dos tipos de órbitas ‘componentes’, las de Lyapunov horizontales y transversales. Estas órbitas tridimensionales periódicas son las órbitas de Halo.

Vemos pues que las órbitas de Halo tienen en común con las de Lissajous el provenir de una superposición de movimientos de Liapunov horizontales y transversales. Pero tienen también diferencias esenciales.

En las órbitas de Lissajous, los periodos de ambos movimientos ‘componentes’ son diferentes y como no estamos obligados a que ambos tengan el mismo periodo, tenemos libertad para tomar independientemente las amplitudes que queramos en cada uno de los dos modos.

En contraste, las de Halo podemos imaginarlas como una combinación de movimientos en una órbita plana de Liapunov (de amplitud mayor que un cierto valor) con un movimiento de Liapunov vertical de amplitud adecuadamente pareada con la anterior. Lo importante es que para estas órbitas, las amplitudes de las dos componentes no son independientes y están ligadas por una relación. La pareja será aquel movimiento de Liapunov que entre todos los movimientos transversales tenga exactamente el mismo periodo que la órbita de Liapunov horizontal. Las órbitas que aparecen así son las buscadas órbitas de Halo.

Las figuras que se incluyen a continuación representan una región centrada en el punto de Lagrange indicado del sistema mencionado. Se representa una órbita tridimensional (en azul) y las tres proyecciones sobre los planos ab, ac y bc. El plano orbital del sistema de los dos primarios está sombreado y en él se marca en naranja el eje que une los primarios, a los que apuntan las flechas grande (primario) y pequeña (secundario). La proyección sobre el plano ab se da en naranja en el plano c=0, y las otras dos proyecciones sobre los planos ac, bc se dan en gris, sobre las correspondientes caras del cubo de la imagen. En el cuaderno de Mathematica es posible rotar este cubo para adaptar el punto de vista de manera que facilite la percepción de tal o cual detalle; esto no es posible en las imágenes fijas que incluyo ahora, en las que he procurado escoger una vista adecuada para al finalidad pretendida.

Modelización de una órbita de Halo en una de las dos familias alrededor del punto SEL2.

Modelización de una órbita de Halo en una de las dos familias alrededor del punto SEL2.

Estas órbitas fueron estudiadas en 1968 por Robert Farquhar en su Tesis y son órbitas tridimensionales, periódicas e inestables, que rodean los puntos de Lagrange en un movimiento como el mostrado en las figuras adjuntas.

Modelización de una órbita de Halo alrededor del punto de Lagrange SEL2

Modelización de una órbita de Halo (de la otra familia) alrededor del punto de Lagrange SEL2

Conocer el periodo exacto de estas órbitas y discutir su estabilidad requiere técnicas mucho más elaboradas que la teoría convencional de sistemas dinámicos lineales. Como aproximación del orden de magnitud del período podemos tomar un valor intermedio entre los de las órbitas centro y de los movimientos oscilatorios tranversales en la aproximación lineal, valores que como sabemos son bastante cercanos por lo que tal estimación tosca no tiene demasiada ambigüedad. En cuanto a la estabilidad de las órbitas de Halo, se estudia a través de los autovalores de la matriz de monodromía de la aplicación del primer retorno de Poincaré, y de ese estudio se concluye que las órbitas de Halo son inestables. Si aceptamos otro argumento medio crudo, podríamos esperar esa inestabilidad a partir de la presencia de modos silla en el problema linealizado.

Esta manera heurística de plantear la cuestión de la existencia de tales órbitas sugiere que en realidad existe toda una familia (uniparamétrica) de órbitas de Halo, con amplitudes mayores que ciertos valores mínimos para las dos componentes de Liapunov horizontal y transversal y cada una de ellas con una relación precisa entre ambas amplitudes que hace que los dos periodos sean iguales. (Para ser preciso, hay dos de tales familias, con diferencias de fase 0 y π entre ambas componentes; se conocen en la literatura como Northern y Southern Halo orbits). Cada familia contiene órbitas con diferentes amplitudes, cubriendo un rango a partir de cierto valor mínimo, y que puede llegar hasta amplitudes espaciales muy grandes.

Las órbitas de halo, como cualquier otra órbita periódica, también tienen su variedad estable. El contexto natural para el estudio de estas variedades es el espacio de fases en vez del espacio ordinario, en el que la condición inicial incluye posición y velocidad; la variedad estable es el conjunto de aquellas condiciones iniciales desde las cuales la evolución acaba en la órbita de Halo.

Doy a continuación algunas imágenes de una evolución siguiendo la variedad estable de la órbita de Halo: en el espacio de configuración, el punto que se mueve se aproxima a la órbita de Halo y queda “instalado” en ella, comportamiento que es el que muestran todos los diagramas de órbitas de aproximación de satélites reales: ISEE-3, SOHO, Genesis, etc. que describiremos a continuación.

Modelización de una órbita de Halo de la otra familia alrededor del punto SEL1

Trayectoria entrante a una órbita de Halo en L1, desde la Tierra. El movimiento seguido es el seguido bajo los efectos de las fuerzas gravitatorias e inerciales en juego: no hay ninguna maniobra de corrección de curso aquí

Trayectoria entrante a una órbita de Halo. El movimiento seguido es el seguido bajo los efectos de las fuerzas gravitatorias e inerciales en juego: no hay ninguna maniobra de corrección de curso aquí

Trayectoria entrante a una órbita de Halo de la otra familia en L1. El movimiento seguido es el seguido bajo los efectos de las fuerzas gravitatorias e inerciales en juego: no hay ninguna maniobra de corrección de curso aquí

Trayectoria entrante a una órbita de Halo. El movimiento seguido es el seguido bajo los efectos de las fuerzas gravitatorias e inerciales en juego: no hay ninguna maniobra de corrección de curso aquí

Trayectoria entrante a una órbita de Halo. El movimiento seguido es el seguido bajo los efectos de las fuerzas gravitatorias e inerciales en juego: no hay ninguna maniobra de corrección de curso aquí

Pasemos a dar números asociados a órbitas de Halo que se han empleado en misiones concretas. Inicialmente las órbitas de Halo se descubrieron, como comentamos antes (ver también aquí) buscando ubicaciones adecuadas para un satélite de comunicaciones alrededor del punto EML2 del sistema Tierra-Luna que pudiera mantener el contacto con la (entonces futura) misión Apolo XVII, que debería alunizar en la cara oculta. El programa Apolo XVII no se llegó a ejecutar y el satélite de comunicaciones auxiliar, que fue la propuesta inicial de Farquhar, tampoco llegó a lanzarse. Si se hubiera hecho, desde la Tierra observaríamos tal satélite mientras se moviera en su órbita de Halo como siguiendo una curva cerrada con un diámetro angular aparente mayor de unos pocos grados y que bordearía el disco de la Luna (disco que subtiende visualmente desde la Tierra un diámetro angular aparente de unos 0.5 grados). El período de las órbitas centro en EML2 es de unos 12 días, y el período de las órbitas de Halo será de un orden comparable

Diagrama con la propuesta de Farquhar en 1966

Diagrama retrospectivo que recoge la primera propuesta de Farquhar en 1966

Aunque Farquhar ya había propuesto en 1964 el empleo del punto SEL1 para misiones de observación del viento y la actividad solar, hasta 1972 tales propuestas no tuvieron eco. Hubo que esperar hasta 1978 para que estos puntos acogieran invitados artificiales, el primero de ellos la misión ISEE-3, que estuvo entre 1978 y 1982 en una órbita de halo (escogida también por Robert Farquhar) alrededor del punto de Lagrange SEL1 del sistema Sol-Tierra. El objetivo inicial de ISEE-3 era estudiar la interacción del viento solar con el campo magnético de la Tierra, y para tal objetivo las cercanías de SEL1 eran una ubicación ideal. Una vez completada aquella misión, ISEE-3, renombrada como ICE tuvo después otras, con un interesante intento de resurección el verano de 2014, ver aquí y aquí).

¿Cuales son los ‘tamaños’ de una órbita de éste tipo?

El punto SEL1 está situado a aproximadamente 0.01UA de la Tierra, esto es, a unos 1,5 millones de km, en el sentido hacia el Sol. La amplitud mínima (en la dirección x, la línea que une el Sol y la Tierra) de una órbita de Liapunov horizontal que tiene asociada una órbita de Halo en SEL1 es del orden de 0,2 millones de km. En la dirección y (la perpendicular a la dirección Sol-Tierra en el plano orbital) las amplitudes son típicamente dos o tres veces mayores. Como hemos repetido antes, el movimiento horizontal debe acoplarse con un movimiento de Liapunov transversal en la dirección z de una amplitud particular, que para cada amplitud horizontal es única.

Hay órbitas de Halo con todo un continuo de amplitudes que van desde estos 0,2 millones de km hasta valores varias veces mayores. Para los efectos de tener un solo indicador del orden de magnitud del ‘tamaño espacial’ de estas órbitas, el valor de 500000 km es adecuado. Lo que, pensándolo bien, no está nada mal.

ffff

Diagrama (adaptado de aquí) de las proyecciones xy, xz, yz de varias órbitas de Halo exactas con diferentes amplitudes alrededor de SEL2. El origen de coordenadas está en el punto de Lagrange. y las escalas de las tres coordenadas son las mismas: los rangos representados según x, y, z son respectivamente 0.8, 2.0 y 1.6 millones de km. Compárese con las imágenes de las modelizaciones dadas antes

Como ejemplo, demos los números para la órbita de Halo en la que se instaló a ISEE-3. En ella, la amplitud del movimiento de Liapunov en la dirección x, la línea que une el Sol y la Tierra era del orden de 0,21 millones de km, acoplada con un movimiento transversal en la dirección z de amplitud 0,12 millones de km. Las amplitudes de la órbita de Liapunov en la dirección y (la perpendicular a la dirección Sol-Tierra en el plano orbital) era de 0.66 millones de km, y su periodo era de unos 180 días (conviene aquí mencionar que el período de los modos normales en SEL2 es de unos 175 días para el modo centro y de 182 días para el modo vertical, comprobando así que los períodos de las órbitas de Halo son, en buena primera aproximación, un valor intermedio).

Actualmente y aún activo, el satélite de observación solar SOHO lleva desde 1995 en mismo punto SEL1 (el que está entre el Sol y la Tierra), en otra órbita de Halo muy parecida. El diagrama adjunto, de la página de la ESA, muestra las proyecciones de la órbita de SOHO sobre los tres planos coordenados, y sobre ella se pueden leer y visualizar los tamaños. Vemos en el diagrama que la amplitud en la dirección x es unos 0,2 millones de km, unos 0.12 millones de km en la dirección z y de 0.65 millones de km en la dirección y. En particular, la proyección en el plano yz corresponde a la órbita visual aparente observada desde la Tierra, que sigue una curva de forma elíptica alargada bordeando el disco solar (cuyo diámetro visual aparente es de unos 0.5 grados) con un acercamiento máximo de unos 5 grados, lo que facilita la recepción desde la Tierra de las señales procedentes de dicho satélite, que evitan la región a menos de unos 4 grados del centro del Sol ya que allí las emisiones del satélite, de baja potencia, estarían enmascaradas por el muy ruidoso espectro de radio proveniente del Sol y de su zona coronal adyacente.

ffff

Diagrama con las tres proyecciones de la órbita de SOHO alrededor de SEL1 y de la trayectoria de transferencia. Fuente: ESA

Otra misión que regresó a la Tierra tras haber permanecido 29 meses en una órbita de Halo alrededor de SEL1, recolectando materia del viento solar fué Genesis (NASA), una misión que tuvo una ejecución impecable marcada por un ultimísimo mal momento: la idea era pescar, literalmente mientras caía, a la cápsula que traía el polvo desde un helicóptero en la etapa final de su reentrada en la atmósfera. El rescate falló y la cápsula se estrelló, aunque al parecer fue posible recuperar incontaminado el material que traía. Se trata de la primera misión espacial en volver a la Tierra desde una distancia tan grande, unos 1.5 millones de km.

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Diagrama con la órbita de salida, de Halo alrededor de SEL1 y de retorno de GENESIS. Fuente: NASA

Herschel, el observatorio espacial de la ESA, estuvo activo entre 2009 y 2013 en una órbita de Lissajous de radio promedio de unos 800000 km alrededor del otro punto de Lagrange del sistema Sol-Tierra útil para observaciones, el SEL2. Es habitual encontrarse la afirmación de que en SEL2, el Sol está permanentemente tapado por la Tierra, y que esa es la razón por la cual ese punto es adecuado para la observación del cielo: un ejercicio elemental de geometría que dejo a cargo del lector permite comprobar si realmente eso es o no así. Al margen del resultado del cálculo anterior, conviene tener en mente que los satélites de observación no están anclados en ese punto, sino situados en órbitas de amplitudes gigantescas alrededor de ellos.

Planck, el satélite al que debemos la última y extraordinaria información sobre el fondo cósmico de microondas, ha permanecido esos mismos años en una órbita de Lissajous de tamaño promedio 400000 km también en SEL2; acabadas sus misiones se ha derivado a Herschel y a Planck a otras órbitas heliocéntricas, para dejar despejado el lugar para otras misiones. Actualmente es el satélite astrométrico Gaia el que está en una órbita alrededor de SEL2 (aquí, una lista de objetos en los varios puntos de Lagrange del sistema solar)

¿Porqué son interesantes las órbitas periódicas?

Volviendo la vista atrás, vemos que la estructura de las órbitas en las cercanías (en sentido algo amplio) de los puntos de Lagrange está completamente dominada por las órbitas periódicas: hablando figuradamente, pero no imprecisamente, ellas constituyen algo así como un esqueleto sobre el que se enroscan las restantes órbitas, en general no periódicas.

El diagrama, tomado y adaptado de aquí, muestra los tres tipos de tales órbitas periódicas ‘fundamentales’ en las cercanías de SEL2. Las familias de cada uno de éstos tipos de órbitas son uniparamétricas.

  • Las órbitas de Liapunov horizontales (en azul; existen para cualquier amplitud a partir de 0 y sus períodos dependen de la amplitud; en el límite de amplitudes pequeñas son los modos centro de la aproximación lineal).
  • Las órbitas de Liapunov verticales a veces llamadas órbitas de Liapunov en ocho, denominación que se entiende por la gráfica (en verde; existen para cualquier amplitud a partir de 0 y sus períodos dependen de la amplitud; en el límite de amplitudes pequeñas son los modos oscilador vertical de la aproximación lineal)
  • Las órbitas de Halo (en magenta, existen solamente a partir de cierta amplitud mínima, y pueden imaginarse como el resultado de ‘combinar’ una de Liapunov horizontal y otra de Liapunov vertical que tengan exactamente los mismos períodos, lo que implica que deben tener cierta relación precisa entre sus amplitudes; las órbitas de Halo no existen en la aproximación lineal).
fff

Los tres tipos de órbitas periódicas alrededor de un punto de Lagrange SEL2.

El resto de los movimientos en los alrededores forman una complicadísima red de órbitas (que se analizaría mejor en el espacio de fases) que se pueden ver como el resultado de combinar las anteriores. La familia completa de cada una de éstas órbitas es biparamétrica, y incluyen, intrincadamente imbricadas, órbitas periódicas de periodos más largos junto con órbitas aperiódicas. Son:

  • Las órbitas de Lissajous, (en verde manzana en el diagrama, son ‘superposición’ de órbitas de Liapunov horizontales y verticales de periodos diferentes (en ciertos rangos de amplitudes), y por tanto son en general biperiódicas (como los dos periodos son realmente muy poco diferentes, se suele emplear el término casi-periódicas). Excepcionalmente, hay entre ellas órbitas periódicas de periodos largos (en las órbitas de Lissajous lineales el período de una superposición de cociente de frecuencias racional es el mínimo común múltiplo de los dos períodos básicos, como describimos en detalle en el post anterior)
  • Las órbitas llamadas de casi-Halo (en rojo) pueden verse como ‘superposición’ de varias maneras. La más fácil de visualizar es combinando órbitas de Halo con órbitas de Liapunov de uno u otro tipo (de amplitudes en ciertos rangos) y periodos diferentes. En general éstas órbitas son biperiódicas (o casi-periódicas), pero hay entre ellas órbitas periódicas
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Las dos familias básicas de órbitas alrededor del punto de Lagrange SEL2 que se obtienen como superposiciones de las órbitas periódicas fundamentales. Estas órbitas son bién periodicas de periodos más largos o bien biperiódicas

¿Porqué todo esto tiene más interés del que parece?

El estudio del movimiento alrededor de los puntos de Lagrange, que a primera vista podría parecer simple, dista de serlo. Lo que aquí he narrado es suficiente para apreciar la extraordinaria complejidad de la disposición relativa de las órbitas en el problema de tres cuerpos, que fué intuida en su auténtica dimensión por Poincaré. Esta diabólica complicación explica retrospectivamente porqué durante casi los doscientos años anteriores los intentos de encontrar la solución general de este problema se habían estrellado ante dificultades que para las técnicas usadas eran infranqueables: el problema, simplemente, no admite una solución general cerrada análoga a la del problema de dos cuerpos.

Las órbitas periódicas exactas en las cercanías de un punto de Lagrange son buenos ejemplos de dinámica no lineal, y basta haber estudiado este ejemplo para prefigurar el papel destacado que en general van a tener las órbitas periódicas en cualquier sistema dinámico. Si se quiere profundizar en este problema, la herramienta básica es la llamada ‘sección de Poincaré’ o la aplicación asociada del primer retorno de Poincaré. Y esta herramienta es básica porque facilita la visualización de las principales características del movimiento. En nuestro problema concreto permite apreciar de un golpe de vista que las órbitas de Halo aparecen como una bifurcación de las órbitas de Liapunov cuando su amplitud alcanza un valor crítico. Este reconocimiento, debido a Hénon en 1973 nos da un ejemplo del comportamiento universal de bifurcación en los sistemas dinámicos no lineales. Pero todo esto es otra historia, sobre la que que hoy deberemos callar ya.

Para saber más:

  • Liapunov and Halo orbits about L2, por M. Kim y C.D.Hall, tiene una breve introducción, una parte más técnica incluyendo una breve mención a la matriz de monodromía y finalmente, da algoritmos de cálculo exacto de órbitas de Halo. Como conclusión, da un resumen de resultados con valores numéricos y gráficas, una de las cuales he adaptado para este post.
  • Quasi-periodic orbits of the restricted three-body problem made easy por E. Kolemen et al. da una buena descripción, de la cual también he adaptado algunas gráficas, y presenta un enfoque para el cálculo exacto de estas órbitas mediante el empleo de varias secciones de Poincaré.
  • The Lagrangian solutions por Ángel Jorba, un review avanzado, autocontenido, reciente y muy completo.
  • Points de Lagrange et orbites de Halo por J.L. Coron (en francés) da una buena descripción comentando la definición y significado de la matriz de monodromía a través de cuyos autovalores se puede concluir si las órbitas son estables o no.
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2 respuestas a Alrededor de los puntos de Lagrange en 3D: Las órbitas de Halo (y IV)

  1. Albert dijo:

    Fantástico post Mariano gracias.
    Solo un pequeño detalle, la frase “… El programa Apolo XVII no se llegó a ejecutar y …” no es correcta, imagino que lo que quieres decir es que finalmente se descartó alunizar en la Cara Oculta, (pero el Apolo XVII sí fue lanzado, alunizando en el valle Taurus–Littrow de la cara visible)
    Saludos.

  2. Albert, me alegro que te haya gustado. En la corrección llevas toda la razón, según está la frase es incorrecta sin paliativos. Se agradecen mucho las correcciones, como la que tu haces, que denotan que uno se ha leído el tocho con ese nivel de atención y que es muy cuidadoso con que las afirmaciones que se hacen sean correctas. Lo que no se ejecutó fue el alunizaje propuesto en la cara oculta, y al descartarlo tampoco resultaba tan necesario disponer de un satélite de comunicaciones específico. Así que Farquhar tuvo que esperar unos cuantos años más para convencer a la gente de su idea básica, aprovechar los puntos de Lagrange para colocar en ellos satélites: un tipo interesante este Farquhar. Luego vino la ISEE-3 y el resto es historia… Saludos.

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