Alrededor de los puntos de Lagrange: Órbitas de Lissajous en 3D (III)


… Sigue del post anterior de la serie….

… en el que discutíamos cómo sería el movimiento libre de un asteroide (o una nave espacial) en las cercanías de uno de los puntos de Lagrange, limitándonos al caso de que el movimiento tenga lugar exactamente en el plano en el que rotan los dos primarios (típicamente el Sol y un planeta). Indicamos entonces que en éste problema el estudio del movimiento exacto no es fácil y para muchos propósitos es preferible emplear un procedimiento que de entrada sea solamente aproximado —tanto más cuanto más cerca estemos del punto— pero que a cambio permita dar una visión uniforme y coherente, dependiente de unos pocos conceptos esenciales. Tal método aproximado se basa en uno de los grandes principios de la Física Matemática, cuyo rango de aplicabilidad trasciende al problema del movimiento en los puntos de Lagrange: la idea de que los pequeños movimientos de cualquier sistema en las cercanías de una posición de equilibrio son una superposición lineal de ciertos movimientos particulares, o modos normales.

En la década de 1950, los albores de la era espacial, se planteó la idea de usar los puntos de Lagrange para colocar en ellos o en sus cercanías satélites artificiales con varias posibles finalidades. Nada sorprendentemente, el padre de la idea fue A.C. Clarke, quien propuso el punto EML2 del sistema Tierra-Luna (habitualmente se antepone un prefijo como EM (ó TL) que identifica al primario y al secundario) como sede de un satélite de comunicaciones para reemitir desde allí a colonias situadas en la cara oculta de la Luna las señales de radio y TV procedentes de la Tierra; recordemos que EML2 está detrás de la Luna y alineado con la Tierra. Si se quiere evitar la dificultad de que la Luna, interpuesta entre la Tierra y el satélite, bloquee la transmisión, es necesario buscar para aquel órbitas tridimensionales cuya amplitud espacial sea suficientemente grande alrededor del punto de Lagrange, de manera que desde la Tierra se tuviera permanentemente comunicación visual con el satélite repetidor, no obstruída por el disco lunar.

Hay otra razón, de pura mecánica celeste, que indica que limitarse a los movimientos que tengan lugar en el plano orbital es poco realista. Las perturbaciones de otros planetas, cuyas órbitas no están precisamente en el mismo plano, pueden producir una cierta componente de movimiento en la dirección transversal que en este contexto se suele llamar ‘vertical’ imaginando el plano como ‘horizontal’. De manera que el estudio de los movimientos planos que dimos en el post anterior es académico si no se completa con el de los movimientos transversales.

Por ello, el análisis de los modos normales ‘planos’, que presentamos en el post anterior no basta: se hace necesario completarlo estudiar los movimientos tridimensionales que un tal cuerpo puede efectuar en las cercanías de un punto de Lagrange, primero dentro de la aproximación lineal, y luego yendo más allá, estudiando hasta donde sea posible los movimientos ‘exactos’.

Diagrama con la propuesta de Farquhar en 1966

Diagrama con la propuesta de Farquhar en 1966. Fuente: Dunham y Farquhar

La conveniencia de un repetidor de radio que cubriera a la cara oculta de la Luna, ya mencionada por Clarke, se hizo más patente durante las primeras misiones espaciales tripuladas a la Luna, con las que se perdía el contacto mientras la nave orbitaba la cara oculta. Robert W. Farquhar fue uno de los primeros que buscó alternativas prácticas para solventar esta dificultad, completando los cálculos necesarios para implementar la idea de Clarke. Ya en 1966 y luego en su Tesis, “The control and use of Libration point satellites”, defendida en Stanford en 1968, propuso emplear en esa finalidad ciertas órbitas alrededor del punto de Lagrange EML2, con amplitud espacial relativamente grande y una componente importante en la dirección vertical, perpendicular al plano orbital: por tanto deberían ser órbitas tridimensionales. Al ser de amplitud grande, no tenemos garantía de que la aproximación lineal las describa con precisión suficiente. Naturalmente, el primer paso para llegar a entender tales órbitas será estudiar el problema tridimensional en la aproximación lineal; luego habrá que ver cómo los movimientos ‘exactos’ van haciéndose diferentes, según la amplitud aumenta, de las previsiones del formalismo de los modos normales.

Las órbitas tridimensionales que aparecen en la aproximación lineal se conocen como órbitas de Lissajous, y la primera propuesta de Farquhar fué usar tales órbitas (o sus análogas exactas), que al ser inestables requerían realizar pequeñas correcciones de curso. En el transcurso de esa búsqueda, Farquhar encontró unas órbitas mucho mejores para la finalidad pretendida. Estas órbitas ‘exactas’ tridimensionales y periódicas (e inestables), previamente desconocidas, son las órbitas de Halo. No se habían encontrado antes porque tales órbitas no aparecen en la aproximación lineal y su hallazgo no puede hacerse mediante la aplicación rutinaria de las técnicas de los modos normales. El primer satélite que se lanzó para instalarse en una de tales órbitas en SEL1 fue la misión de exploración cometaria ISEE-3 en 1978, y desde entonces el censo de ocupantes artificiales de estos puntos del sistema Solar no ha hecho sino aumentar. Volveremos luego sobre estos ocupantes.

Diagrama con la órbita original de la misión ISEE-3.

Diagrama con la órbita original de la misión ISEE-3.

En resumen: Las órbitas de Lissajous tienen análogas en la aproximación lineal; las de Halo no. Se suele decir por ello que éstas últimas órbitas son movimientos intrínsecamente no lineales y se requieren otras técnicas más elaboradas para encontrarlas y estudiarlas.

Entre otras cosas esto significa que estas ‘órbitas’ reales (que son soluciones exactas de las ecuaciones del movimiento) tienen una amplitud mínima, por debajo de la cual no son posibles. Esto marca un contraste nítido con los modos normales, que existen para amplitudes arbitrarias, aunque aproximan al movimiento real tanto mejor solamente  cuanto menor sea la amplitud de los movimientos.

El contraste se extiende entre las nuevas órbitas de Halo y las órbitas de Lissajous. Éstas últimas aparecen en la aproximación lineal y solo cambian cualitativamente desde amplitudes muy pequeñas (en cuyo caso son simples superposiciones de modos normales en tres dimensiones) hasta las órbitas de Lissajous de amplitudes grandes que requieren emplear un enfoque no lineal y que discutiremos un poco en el post siguiente. Las de Halo no existen en la aproximación lineal, y aparecen abruptamente a partir de cierta amplitud, lo que requiere de entrada un análisis no lineal.

Tomemos para concretar el sistema Tierra-Luna. Un satélite que permanezca en EML2 o siga alrededor de él la órbita de un modo centro (plano) de pequeña amplitud, observado desde la Tierra, permanecería siempre invisible al estar oculto tras el disco lunar. Si imaginamos que la Luna fuera transparente, se ‘vería’ al satélite  trazar un pequeño segmento centrado en la Luna, pero como no lo es, el satélite quedaría completamente tapado por la Luna real. En contraste, un satélite en una órbita de Halo tendría como componente en el plano orbital una curva de amplitud relativamente grande combinado con un movimiento transversal del mismo periodo con amplitud también suficientemente grande Esta propiedad es la que permitiría su empleo como bases para satélites de observación: desde una de esas órbitas el satélite tendría a la vista la cara oculta de la luna, al tiempo que mantendría contacto visual permanente con la Tierra y visto desde ella dibujaría una especie de halo alrededor del disco lunar, como el prototípico asignado a las cabezas de los santos en el imaginario religioso. El bautizo como órbitas de Halo resulta extraordinariamente acertado y sugerente.

Las órbitas exactas (contenidas en el plano orbital) que cuando las amplitudes son muy pequeñas se aproximan cada vez mejor a los modos centro se llaman órbitas de Liapunov y  siguen siendo un movimiento periódico, aunque su forma pueden diferir apreciablemente de la forma elíptica de la órbita de un modo centro.  Por el otro lado, las órbitas que cuando las amplitudes son muy pequeñas se aproximan cada vez mejor a los modos oscilador transversal en general se llaman órbitas de Liapunov transversales: son órbitas exactas que siguen trayectorias que difieren de los segmentos verticales que describen las órbitas del modo oscilador.

En este post quiero iniciar la narración de cómo, con las técnicas elementales que se han empleado en el post anterior se puede llegar a sospechar la existencia de tales órbitas. La narración se completará en el post siguiente y último (espero) de la serie.

El movimiento tridimensional en la aproximación lineal y más allá

Debemos comenzar investigando cómo son los movimientos tridimensionales en las cercanías de un punto de Lagrange, esto es, en la aproximación lineal. Lo que requiere completar la descripción de los modos normales (hecha aquí) con los nuevos detalles sobre el movimiento en la tercera dimensión ‘vertical’, transversal al plano orbital del sistema de los primarios. Al combinar estos nuevos movimientos transversales con el movimiento en el plano de los primarios se obtienen ciertas órbitas tridimensionales ‘obvias’, que no son periódicas. Insistamos en que tales órbitas son solamente aproximadas, tanto más cuanto menor sea su amplitud. Tomando éstas órbitas como punto de partida, y centrándose en las cantidades relevantes, que son los períodos de los dos modos centro y transversal, veremos a través de argumentos heurísticos cómo este estudio sugiere que para amplitudes suficientemente grandes podrían existir órbitas tridimensionales que sean simplemente periódicas.

Como siempre, lo difícil es efectuar el planteamiento adecuado de los problemas y saber qué es lo que se debe buscar. Una vez que sospechamos la existencia en este sistema de órbitas tridimensionales periódicas, la tarea pendiente será demostrarlo y encontrarlas. Conseguir completamente estos últimos objetivos requiere técnicas bastante menos elementales que las necesarias para alcanzar los resultados descritos en el post anterior, y aquí tampoco voy a entrar en ellas. A cambio, veremos que exprimiendo debidamente información elemental que la aproximación lineal proporciona se puede lograr un convencimiento razonable —no una demostración— de que deben existir tales órbitas, y a eso es a lo que aspiro aquí. Encapsulado, se trata de aplicar a este problema el “principio 0 de la Física Teórica”, enunciado por John A. Wheeler: “Nunca hagas un cálculo antes de saber el resultado”.

Las órbitas de Lissajous en la aproximación lineal

Dentro de la aproximación lineal de pequeñas oscilaciones, el problema del movimiento tridimensional resulta apenas más complicado que el del movimiento en el plano orbital de los primarios. Añadiremos una coordenada z en la dirección ‘vertical’ transversal, perpendicular al plano orbital en el que se usan las coordenadas x, y, con x a lo largo de la línea que une los primarios. Tomando la separación entre los primarios como unidad de longitud natural del problema, completaremos las coordenadas de posición reducidas a=x/d, b=y/d empleadas en los dos posts anteriores con una tercera coordenada reducida c=z/d. Se trata de un sistema con tres grados de libertad, cuyo espacio de fases tiene dimensión seis y que tiene una característica adicional muy importante: el problema tiene simetría de reflexión alrededor del plano orbital. Debido a ello los modos normales ‘planos’, que describimos en el post anterior siguen siendo modos normales ‘espaciales’ en los que el movimiento resulta estar confinado al plano z=0. Y también debido a ello el nuevo modo normal que aparece en este sistema tiene asociado un movimiento exclusivamente transversal.

En todos los diagramas a continuación se da una vista 3D del movimiento en las cercanías del punto de Lagrange y del sistema que se indique. El plano orbital está coloreado y para facilitar la ubicación (que puede obtenerse también del rango representado de las tres coordenadas) se marca el eje entre los primarios en naranja y las direcciones que apuntan hacia el primario y el secundario se indican por dos flechas, mayor la del primario.

En cualquiera de los puntos de Lagrange del sistema, e independientemente de las masas de los primarios (o del valor del parámetro α), el modo normal ‘transversal’ resulta ser un oscilador armónico: el movimiento tiene una pulsación ωv y la componente vertical de la posición z viene descrita por una ley evolución temporal z(t) = a cos(ωv t+ φ), que es un movimiento armónico simple con amplitud a y fase inicial φ. La pulsación de este movimiento, ωv, es un valor fijo, característico del modo normal, y su inverso 1/ωv (con dimensiones de tiempo) juega el papel de tiempo característico de los movimientos transversales de oscilación en las cercanías del punto de equilibrio: es el tiempo que tarda la fase de este movimiento en aumentar 1 radián. El periodo Tv del modo transversal, igual a 2π veces el tiempo característico, es el tiempo Tv=2π/ωv que tarda la fase ωv t en aumentar en 2π.

El modo básico de movimiento transversal 'vertical': un movimiento oscilatorio armónico  en la dirección transversal al plano orbital.

El modo básico de movimiento transversal ‘vertical’: un movimiento oscilatorio armónico en la dirección transversal al plano orbital.

Si uno quiere entretenerse en argumentaciones de física general (que por supuesto, deberán llevar y realmente llevan al resultado correcto), de ellas puede concluirse que el movimiento transversal debe ser de esta forma sin necesidad de plantear y resolver la búsqueda de los nuevos modos normales en el sistema tridimensional. Para empezar, la fuerza de Coriolis no debe tener ningún efecto sobre los movimientos que sean puramente transversales (cuya velocidad es paralela al vector velocidad angular del sistema) y por ello basta analizar el movimiento bajo el efecto del potencial equivalente total del sistema, que incluye el potencial newtoniano de los dos primarios y el potencial centrífugo. El potencial centrífugo, que depende solo de la distancia al eje de rotación, es independiente de la nueva coordenada transversal z, y en cuanto al potencial gravitatorio de los dos primarios, debe tener simetría en el intercambio de z por -z, lo que implica que si el potencial tiene puntos críticos, necesariamente han de ser simétricos respecto al plano z=0. Como los puntos de Lagrange son los puntos críticos del potencial restringido al plano, vemos que esos mismos puntos son críticos del potencial en tres dimensiones, y en cada uno de los puntos de Lagrange ‘planos’, el potencial visto como función de z tiene en ellos un mínimo, en cuyas cercanías el movimiento transversal es estable. Y como en cualquier problema unidimensional, el movimiento transversal en las cercanías de un mínimo del potencial se aproxima por un oscilador armónico.

Aplicando ahora el principio de superposición de las pequeñas oscilaciones, el movimiento general (aproximado) de un cuerpo en las cercanías de un punto de Lagrange será una superposición de los tres modos normales: los dos modos ‘centro’ y ‘silla’ que describimos en el post anterior, entendidos ahora como movimientos en tres dimensiones con z=0, y el nuevo modo ‘oscilador’ para el movimiento en la dirección z.

El movimiento según un modo centro, visto en 3D.

El movimiento según un modo centro, visto en 3D.

Así la aproximación de pequeñas oscilaciones resuelve por completo el problema del movimiento en las cercanías del punto de Lagrange, una vez conocidos los tres modos básicos (análogamente a lo que ocurría en el problema reducido a dos dimensiones, en donde había dos modos). Lo único que falta es establecer el diccionario que nos permita pasar de las condiciones iniciales posición y velocidad a las amplitudes y fases de los modos centro y silla (en el plano x,y) y oscilador (en el eje z). Al igual que ocurría en el caso plano, este diccionario es un problema elemental de álgebra lineal: es el ejercicio rutinario de descomponer un vector arbitrario en el espacio de fases del problema en la base formada por los vectores propios de la matriz de linealización. Algo que puede hacer sin esfuerzo ni dificultad cualquier programa de cálculo simbólico.

De entre todos estos movimientos posibles, aquellos que tengan componente nula según el modo silla se mantendrán confinados a las cercanías del punto de Lagrange, aunque es claro que serán inestables, pues la más mínima componente del modo silla repulsivo que puedan adquirir, por ejemplo como consecuencia de cualquier perturbación externa, acabará amplificándose y haciéndose dominante con el transcurso del tiempo, alejándose irremisiblemente del punto de Lagrange.

Una órbita de Lissajous en la aproximación lineal.

Una órbita de Lissajous en la aproximación lineal.

Si decidimos centrar la atención en los movimientos que no tengan componente según los modos silla (cuyo destino a largo plazo sería caer a o alejarse de el punto de Lagrange, en ambos casos exponencialmente) tales movimientos en las cercanías son las superposiciones de los modos centro (plano) y oscilador (transversal). Estos movimientos son los que vamos a considerar en el resto del post. Por supuesto, cuando materialicemos estos movimientos en un satélite real, deberemos estar dispuestos a efectuar correcciones de curso con la debida regularidad, para mantener ausente cualquier componente del modo silla repulsivo, que una vez presente y si no actuamos para reducirla comenzará a crecer exponencialmente con el tiempo, ampliándose en un factor e cada intervalo 1/σ de tiempo (el tiempo de e-plicación del modo silla; en el post anterior de la serie expliqué en cierto detalle estos términos y comportamientos).

Recordemos cómo son los dos modos relevantes. El modo centro es un movimiento que transcurre en el plano z=0. Es periódico, de pulsación ω y periodo Tc = 2π/ω y sus órbitas son elipses circunscritas por el paralelogramo circunvalante. La amplitud y la fase inicial de este movimiento son arbitrarias, y en la aproximación de pequeñas oscilaciones el período de estos movimientos resulta ser independiente de su amplitud. El movimiento transversal, que ocurre según el eje z, es un oscilador armónico, de pulsación ωv y periodo Tv = 2π/ωv. Su amplitud y fase inicial son arbitrarias, y al igual que en el modo centro, en la aproximación de pequeñas oscilaciones el periodo de estos movimientos transversales resulta ser independiente de su amplitud.

Lo realmente importante en este momento de la exposición es que los valores de las dos pulsaciones ω y ωv están completamente determinados por los datos del problema (las masas de los dos primarios y la velocidad angular del sistema rotante). En cada punto de Lagrange, y para cada valor del parámetro α que determina el reparto de masas entre los dos primarios, cada una de las dos pulsaciones ω y ωv son las cantidades que resultan al resolver el problema de autovalores (para ser precisos, ± i ω, ± i ωv son los valores propios de la matriz linealizada del sistema dinámico en el punto de Lagrange), y resultan independientes de las respectivas amplitudes.

Antes de seguir conviene aquí hacer una pequeña digresión. ¿Qué resulta cuando se combinan dos movimientos armónicos simples en dos direcciones perpendiculares? Cualquier estudiante de física elemental sabe que lo que se obtiene se llaman figuras de Lissajous.

Digresión sobre figuras de Lissajous
Denotaremos cada uno de los dos movimientos por subíndices x,y, que en este inciso se refieren a las dos direcciones de los movimientos. Individualmente, se trata de movimientos armónicos, (y por tanto periódicos), con pulsaciones ωx, ωy y con periodos Tx = 2π/ωx, Ty=2π/ωy. La forma geométrica de la órbita que resulta de la superposición de estos dos movimientos depende fundamentalmente del cociente entre las pulsaciones ωyx. (que es igual al conciente invertido de los periodos, Tx/Ty). La forma también cambia, aunque dentro de un orden, cuando manteniendo el mismo cociente ωyx cambian las amplitudes de cada componente o su fase relativa.
El ejemplo mejor conocido de estas figuras es el caso en el que los dos movimientos tienen la misma pulsación (o la misma frecuencia) y por tanto Tx=Ty. La superposición es un movimiento periódico del mismo período que cada componente. La órbita del movimiento superposición resulta en general una elipse, cuya excentricidad depende de las condiciones iniciales (esto es, de la amplitud relativa y de la fase relativa de los dos movimientos). La órbita, genéricamente una elipse, puede degenerar en ciertos casos particulares. Si la fase relativa es 0 o π resulta una línea recta situada en una dirección cualquiera, no necesariamente los ejes x o y. Si las dos amplitudes son iguales y la fase relativa es ±π/2 resulta un círculo. Todas estas posibilidades corresponden a un cociente ωyx =1, y siempre que ése sea el caso, se obtiene es un movimiento periódico del mismo periodo que cada uno de los componentes.
Cuando las frecuencias son diferentes, la forma geométrica de la curva que efectúa la superposición depende esencialmente del cociente entre las pulsaciones ωyx. La naturaleza de la órbita resultante depende del valor del cociente y, sobre todo, del carácter racional o irracional de este valor.
Cuando este valor es un numero racional ωyx = m/n (cociente entre dos enteros positivos supuesto en forma irreducible), entonces entre los correspondientes periodos de cada componente se tiene la relación Tx/Ty = m/n, o bien n Tx = m Ty. Esto implica que transcurrido un tiempo T = n Tx = m Ty, la componente x del movimiento ha efectuado n oscilaciones completas mientras que la componente y ha completado m oscilaciones: tras ese tiempo el movimiento ha regresado exactamente a la configuración inicial. En consecuencia, el movimiento resultante es un movimiento periódico, cuyo periodo T = n Tx = m Ty es el mínimo común múltiplo de Tx y Ty.
Cuando el cociente ωyx no sea un número racional, el movimiento resultante de la superposición no es periódico y se dice biperiódico, al poder descomponerse como una superposición de dos movimientos periódicos. Debido a la naturaleza irracional que hemos supuesto en este caso para el cociente ωyx, el movimiento no se repetirá nunca de manera exacta, aunque si se espera lo suficiente, el movimiento acabará pasando arbitrariamente cerca de cualquier configuración inicial y a largo plazo cubriendo por completo el rectángulo en el que el movimiento ocurre, a diferencia del caso racional donde la órbita es una curva cerrada que no pasa cerca de cualquier punto del rectángulo. Estrictamente hablando, la figura obtenida en el caso irracional no es lo que clásicamente se llama figura de Lissajous, pero siendo tolerantes con el uso del lenguaje, podríamos seguir refiriéndonos a ella con esa misma denominación y hablar, si queremos enfatizar la distinción, de figuras de Lissajous racionales e irracionales.
Todo valor irracional puede aproximarse arbitrariamente bien mediante números racionales. El cociente ωyx, cuando sea irracional, podrá aproximarse mediante racionales de la forma p/q (de muchas formas diferentes, cada forma con diferente aproximación), y en el movimiento resultante, que no será exactamente periódico, al cabo de un cierto número entero q de oscilaciones completas de la componente x, la componente y estará cerca de completar o de haber completado ya p oscilaciones (pero nunca las habrá completado exactamente en el instante que el modo centro completa el número q entero de periodos, sea cual sea la elección de la aproximación racional p/q).
Fuente y demas
Fuente.

En la figura, pueden verse figuras de Lissajous para algunos valores racionales de los cocientes de las pulsaciones ωyx = m/n con m, n enteros pequeños. Las dos componentes tienen la misma amplitud.

Superponiendo modos centro y verticales: ¿es periódica la superposición?

Volvamos a nuestro problema, en el que hay una superposición de un movimiento periódico de pulsación ω en el plano orbital (con una órbita que es una elipse en ese plano), y un movimiento tipo oscilador armónico de pulsación ωv en la dirección transversal al plano orbital. El carácter de la superposición depende sobre todo del valor del cociente adimensional entre las pulsaciones ω/ωv. Si este cociente fuera igual a 1, entonces los dos movimientos a superponer tendrían el mismo periodo y la superposición sería un movimiento periódico. La pregunta es: ¿cual es el valor de ese cociente?

No hay ninguna razón que nos permita esperar el valor 1 y realmente, sería una coincidencia excepcional que tal cosa ocurriera. En general tales ‘casualidades accidentales’ son heraldo de alguna relación oculta. Pero aquí no hay tal. En el caso que estamos estudiando, cuando se calcula ωv y se compara con ω, resulta que ambos valores son diferentes: el cociente ω/ωv no es igual a 1.

Esto, que seguramente era lo esperable, viene acompañado de una sorpresa inesperada: ambos valores son diferentes, sí, pero son muy poco diferentes. En los tres puntos de Lagrange L1, L2 y L3, y a lo largo de todo el rango del parámetro α que registra el reparto de masas entre los dos primarios, el cociente ω/ωv difiere de 1 solamente en unos pocos por ciento, como se ve en las tres gráficas siguientes. En ellas se recoge el cociente adimensional ω/Ω en cada uno de los puntos de Lagrange L1, L2, L3 como función de α (algo que ya dimos en el post anterior de la serie), y se añade el nuevo cociente ωv/Ω. Las gráficas muestran claramente que en los tres puntos de Lagrange, y a lo largo de todos los valores de α, las pulsaciones del modo centro ω y del modo vertical ωv son muy parecidas: las discrepancias entre estos cocientes y el valor 1 no sobrepasan nunca algo como un 6 por ciento.

Cociente entre las pulsaciones del modo centro y las transversales, en el punto de Lagrange L1 y en todo el rango de valores de alpha

Cociente entre las pulsaciones del modo centro y las transversales, en el punto de Lagrange L1 y en todo el rango de valores de α

Idem

Cociente entre las pulsaciones del modo centro y las transversales, en el punto de Lagrange L2 y en todo el rango de valores de α

Idem 2

Cociente entre las pulsaciones del modo centro y las transversales, en el punto de Lagrange L3 y en todo el rango de valores de α

No conozco ningún argumento que permita prever que los dos valores ω y ωv de las dos pulsaciones (asociadas a dos modos normales completamente diferentes) sean relativamente cercanas. Pero el hecho es que lo son.

El movimiento exacto resultante de la superposición no será en general periódico, pero podremos visualizarlo como una composición tipo Lissajous de movimientos. Si aproximamos ω/ωv mediante un cociente de enteros ω/ωv ≈ p/q, vemos que tras p períodos del modo centro, la superposición casi cierra pues ha casi completado q períodos del modo transversal: éstas son las órbitas (lineales) de Lissajous (en general irracionales) alrededor de uno de los puntos de Lagrange.

Una órbita de Lissajous en la aproximación lineal.

Una órbita de Lissajous en la aproximación lineal.

En la figuras se muestran algunas órbitas de éste tipo. Por supuesto, en los casos especiales en que, ademas de ser cercano a 1, el cociente ω/ωv sea racional, ω/ωv = m/n, entonces el movimiento será exactamente periódico: tras m períodos del modo centro el modo transversal ha efectuado n períodos completos y el movimiento retorna exactamente al punto de partida.

Conviene mantener en mente la importante distinción entre aquellos elementos de la órbita asociados con las condiciones iniciales (como las amplitudes y las fases relativas de los dos modos centro y oscilador transversal) y aquellos que están fijados completamente por el problema y sobre los que no tenemos ninguna posibilidad de modificación (como las pulsaciones de cada modo, o su cociente ω/ωv).

That’s (almost) all, folks.

Pues bien, en la aproximación lineal …. esto es todo. Cuando un movimiento alrededor de un punto de Lagrange tiene una componente según un modo centro y otra según el modo transversal, el movimiento (aproximado) resultante es una órbita de Lissajous contenida en una banda de cierta amplitud vertical de un ‘cilindro’ cuya base es la órbita del centro y cuya generatriz está situada según la dirección transversal. El cociente de las pulsaciones de ambos movimientos ω/ωv, que está fijado por el problema, resulta ser siempre cercano a 1, (ésta propiedad es el resultado del cálculo, no algo previsible a partir de primeros principios). La órbita en general no será periódica (y acabará ‘llenando’ la banda del cilindro) aunque puede serlo exactamente si el cociente es racional (en cuyo caso la órbita será una curva cerrada).

Una órbita de Lissajous, representada durante 25 periodos del modo centro. La órbita acaba ebn general cubriendo completamente la banda de un cilindro cuya base es la órbita centro.

Una órbita de Lissajous, representada durante 25 periodos del modo centro. La órbita acaba en general cubriendo completamente la banda de un cilindro cuya base es la órbita centro.

Otra vista más cenital de la órbita anterior, em donde se aprecia mejor la estructura de la órbita de Lissajous (en la aproximación lineal), enroscada sobre un cilindro que en general acaba cubriendo por completo al no ser periódica en general.

Otra vista más cenital de la órbita anterior, en donde se aprecia mejor la estructura de la órbita de Lissajous (en la aproximación lineal), enroscada sobre un cilindro que en general acaba cubriendo por completo al no ser periódica en general.

Acabamos viendo, en la figura siguiente, qué imagen de la órbita nos da la aproximación lineal cuando combinamos una órbita de Lissajous con una cierta componente del modo silla atractivo. La órbita resultante, que es uno de los miembros de la variedad estable de la órbita de Lissajous, hereda alguna de los patrones que vimos en la variedad estable del problema plano el post anterior. Es interesante remarcar que esta órbita no tiene ninguna corrección de curso: el aparente quiebro que se produce antes de quedar ‘aparcado’ en la órbita de Lissajous no se debe a ninguna maniobra efectuada en ese instante, sino es una consecuencia de las sutilezas del movimiento en el problema de tres cuerpos. Esta órbita entrante sería aquella órbita de transferencia en la que habría que colocar una nave cuyo destino final fuera quedar orbitando alrededor de L1 en la órbita de Lissajous. Si la órbita inicial es la correcta, no será necesario hacer nada más: Newton se encargará del resto.

Entrando

Entrando

En el post siguiente, y final de la serie, exploraremos las consecuencias del hecho de que el cociente de pulsaciones ω/ωsea muy cercano a 1. Este hecho resulta tener mucha más importancia de lo que puede parecer, y tomándolo como punto de partida llegaremos hasta las órbitas de Halo. Esencialmente, éste fue el camino por el que Farquhar llegó a su descubrimiento.

 

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