La proyección quincuncial de Peirce (y) V: …. y recubrimientos ramificados

Sigue desde el post anterior (IV) de esta serie.

Planeando excursiones con el mapa de Peirce.

En el post anterior quedó en el aire una pregunta: ¿Qué ocurre si planeamos una excursión que en el mapa efectúe una circunvalación alrededor de uno de los cuatro  puntos L, E, R, W?

Planeando una excursión en la que pretendemos circunvalar el punto E.

Planeando una excursión en la que pretendemos circunvalar el punto E.

En casi cualquier otro mapa, se trataría de una pregunta muy inocente. Pero ahora la respuesta no tiene nada que ver con lo que estamos acostumbrados cuando planeamos una excursión sobre un mapa, y resulta muy chocante. Ocurre que la imagen del circuito que en el mapa circunvala una vez a uno de los cuatro puntos L, E, R, W ejecuta en la realidad dos circunvalaciones completas alrededor del punto base correspondiente.

Esta afirmación despierta varias preguntas. La primera es: ¿porqué tal extravagancia no se intuye simplemente mirando el mapa? Peirce escogió hábilmente los cuatro puntos L, E, R, W equiespaciados a lo largo del Ecuador y en medio de los océanos (afortunadamente, la mayor parte del Ecuador cae en el mar, de manera que esto no es difícil de conseguir). Ya que en un mapa el mar suele carecer de características distintivas, la curiosa excepcionalidad de esos cuatro puntos queda bastante disimulada, incluso aunque el mapa registre otros detalles (lo que no pasa en los diagramas ilustrativos de estos posts).

Pero atendiendo a las líneas de latitud y longitud resulta fácil apreciar tal comportamiento. Lo discutiremos siguiendo el mapa original de Pierce que reproducimos a continuación. Los paralelos boreales están representados por líneas que son muy aproximadamente circulares en las cercanías del polo N, pero van adquiriendo una deformación con cuatro abultamientos según nos acercamos al Ecuador. El paralelo de latitud 0°, que es precisamente el Ecuador, es exactamente un cuadrado, en el cual los cuatro abultamientos se han hecho esquinas. Si seguimos hacia el S, ya dentro del cuadrado que representa el hemisferio S, los paralelos australes repiten una secuencia inversa del comportamiento anteriormente descrito, hasta ser muy aproximadamente circulares en las cercanías del polo S.

En cuanto a los meridianos, son las líneas ortogonales a las anteriores. Así, se ve que meridianos y paralelos se cortan siempre ortogonalmente y que por cada punto ordinario del mapa pasan exactamente un meridiano y un paralelo, excepto ….

QuincuncialMapOriginalPeirce

El mapa original de Peirce, reproducido de la publicación original (enlace al final del post)

…. excepto en los cuatro puntos singulares, situados sobre el Ecuador, por los que (en el mapa) pasan “dos” meridianos y “dos” Ecuadores, formando ángulos respectivos (“de mapa”) de 45° que corresponde en la realidad a un ángulo de 90°, a diferencia de lo que ocurre en el resto del mapa, donde el ángulo entre cada meridiano y el Ecuador o los paralelos es ya de 90°, como corresponde a un mapa conforme. Por ello,  un ángulo total registrado “en el mapa” alrededor de los puntos singulares de una vuelta completa corresponde en la realidad a dos vueltas completas.

Superada la sorpresa inicial, tenemos la tarea de entender porqué ocurre este fenómeno. Esto es bastante fácil: basta recordar que en el mapa cuadrado PN del hemisferio N, cada uno de los cuatro vértices (del cual salen dos tramos de Ecuador que en el mapa encierran un ángulo de 90°) corresponden a dos tramos del Ecuador real que encierran un ángulo de 180°. Al construir el mapa cuadrado T, un angulo en el punto E que es de 180° en el mapa (media vuelta alrededor de E en el mapa “ajedrezado” completo) corresponde pues a una vuelta completa en la realidad debido a la identificación de los tramos ES y ES, lo que conlleva que una vez completado el mapa ajedrezado, en él una vuelta completa alrededor del punto E corresponde a dos vueltas completas en la realidad.

Es imprescindible comprender que este curioso comportamiento se da exclusivamente cuando se rodea uno de los cuatro puntos L, E, R, W. Para un circuito que no encierre L, E, R, ó W, esto ya no ocurre: en todos los demás puntos el mapa es conforme. Por ejemplo, si consideramos un punto M que esté situado en el tramo ES pero que sea diferente de E (cuyo original real estaría en el hemisferio Sur, sobre el meridiano que pasa por E), entonces una pequeña vuelta completa alrededor de M en el mapa corresponde precisamente a una vuelta completa alrededor de M en la realidad, como uno esperaría en un mapa habitual.

Recubrimientos ramificados en el mapa de Peirce

La siguiente pregunta es: ¿qué matemáticas se esconden tras este curioso comportamiento? Me limitaré a un enunciado descriptivo, que pueda servir de introducción heurística a una descripción más técnica.

En pocas palabras, la estructura que se oculta tras la proyección de Peirce es una aplicación de recubrimiento doble del toro en la esfera que presenta cuatro puntos excepcionales que se denominan puntos de  ramificación del recubrimiento. El conjunto se denomina  aplicación de recubrimiento ramificado del toro en la esfera.

El toro (la forma topológica de la superficie de un donut) resulta de identificar entre sí las dos parejas de lados opuestos de un cuadrado, respetando la orientación. Una sola identificación de una pareja de dos lados opuestos en un cuadrado produce un cilindro, identificación que se puede efectuar con un cuadrado de papel real pues esta identificación no requiere deformaciones intrínsecas en el papel. La segunda identificación de los dos lados opuestos, ahora transformados en los dos bordes del cilindro, hay que entenderla de manera abstracta, pues no admite una realización con papel; la admitiría físicamente si suponemos el cilindro de una sustancia flexible como el caucho, y la conseguiríamos juntando los dos bordes circulares del cilindro (precisamente este es el proceso con el que se fabrican las cámaras de bicicleta o de moto, cuya forma final es un toro).

Aparece un toro siempre que tengamos un cuadrado (o un rectángulo) cuyos bordes deban identificarse manteniendo la orientación (lo que ocurre en muchos juegos 2D de ordenador, en los que lo que desaparece por un borde de la pantalla reaparece por el borde opuesto; estos juegos se juegan en una pantalla con topología de toro, aunque aparentemente sea un rectángulo).

En la proyección de Peirce, el mapa teselado es periódico, y la celda unidad es un cuadrado en el que los bordes se identifican. De manera que literalmente hablando, el espacio en el que vive la proyección de Peirce no es un plano, sino un toro. Veamoslo.

Para ello, deberemos identificar una celda unidad de la teselación, esto es, una región mínima del mapa que permita recuperar el mapa completo añadiendo copias trasladadas de esa region. Trasladadas solo, no reflejadas ni rotadas. El cuadrado T no es una celda unidad, pues para obtener T’ a partir de él se requiere una rotación de media vuelta.

La mejor elección de la celda unidad buscada es un cuadrado, que vamos a llamar U y que pasamos a describir. En la figura que da la primera etapa de la construcción del mapa teselado en el post anterior, U tiene como centro la copia del polo N central (en el cuadrado que allí denotamos T) y los cuatro vértices de U son las cuatro copias del polo N de los cuatro cuadrados T’ adyacentes. Nótese que en cuanto a su contenido, la celda unidad contiene en total dos copias de la Tierra completa: una copia de T, entera, y otra copia de T’, troceada en cuatro triángulos rectángulos que se adosan a los cuatro lados de T hasta obtener el cuadrado U, que reproducimos en el siguiente gráfico.

mp_PeirceTBCeldaUnidad

La celda unidad U de la teselación del el mapa de Peirce. Cada punto de la Tierra aparece en precisamente dos posiciones sobre la celda unidad, excepto los cuatro puntos L, E. R, W, que solamente aparecen una vez. Crédito: elaboración propia sobre una imagen de Carlos Furuti.

Resulta claro que la teselación completa se obtiene adosando a cada uno de los cuatro lados de este cuadrado U otras nuevas copias de U, en este caso con la misma orientación (comparar con el proceso que añadía a cada T cuatro copias de T rotadas media vuelta). Basta ver la figura para apreciar que de acuerdo con la periodicidad del mapa, los cuatro lados de esta celda unidad U se identifican dos a dos, lados opuestos entre sí, respetando la orientación,  que es la manera habitual para obtener un toro. Asi, la figura anterior puede verse como la auténtica proyección de Peirce, viviendo sobre un toro.

¿Cuántas veces se recubre la superficie esférica de la Tierra con cada celda unidad U? Esta pregunta es equivalente a preguntarse cuántas veces aparece en U cada punto de la Tierra.

Ejercicio: escoja su ciudad favorita y búsquela en el mapa U.

Independientemente de qué lugar de la Tierra haya Vd. escogido, ese lugar aparecerá precisamente dos veces en el cuadrado U, excepto ….

… excepto que haya escogido uno de los cuatro puntos L, E, R, W, los cuales aparecen una sola vez. Vemos así surgir la propiedad enunciada antes:

… una aplicación de recubrimiento doble del toro en la esfera, que presenta cuatro puntos excepcionales en los cuales el recubrimiento tiene ramificaciones, que justifican la denominación de recubrimiento ramificado.

Este mapa U, que tras la identificación de sus lados por parejas es topológicamente un toro, recubre dos veces a la esfera (lo que corresponde a que el dominio que representa a la Tierra completa es una región de área la mitad de la celda unidad U). En este recubrimiento hay puntos excepcionales: los cuatro puntos L, E, R, W son los únicos cuatro puntos de la Tierra que en esta proyección aparecen en el mapa una sola vez; se verán como los cuatro puntos de ramificación del recubrimiento.

Ejercicio: buscar una regla que asocie cada pareja de puntos en U que corresponden (recubren) al mismo punto de la Tierra. ¿Sirve esta regla para entender porqué cada uno de los cuatro puntos L, E, R, W, aparecen una sola vez, mientras que todos los demás aparecen dos veces?

Con entrenamiento y esfuerzo de visualización, es posible emplear el mapa de Peirce para obtener una bastante buena intuición de lo que el concepto de recubrimiento ramificado significa.

El mapa de Peirce y las funciones elípticas

Al lector que conozca la teoría de funciones de variable compleja  llegando hasta las funciones elípticas le bastarán los comentarios anteriores para intuir —correctamente— que tras la proyección de Peirce subyace una función elíptica. El enfoque constructivo dado en este post deja esta conexión algo la sombra. Naturalmente, el artículo de Schwarz contenía como ejemplo ilustrado gráficamente  la transformación más sencilla que transforma el cuadrado en un círculo, la dada por la fórmula constructiva explícita de Schwarz. Y nada sorprendentemente, esta transformación es la (inversa de la) función elíptica de Jacobi cn en el caso de módulo autocomplementario (cuando el paralelogramo fundamental es un cuadrado, con valor del parámetro m=1/2, módulo elíptico k=\frac{1}{\sqrt{2}} y ángulo modular \alpha=\pi/2).

De manera que la transformación que Peirce empleó para describir la relación entre la proyección estereográfica y la quincuncial, es:

z_s = {\rm cn}[z_p, m=1/2]

Para beneficio del lector que no conozca esta teoría, indico simplemente que las funciones elípticas son las funciones complejas de variable compleja “hermanas mayores” de las funciones trigonométricas e hiperbólicas. Éstas últimas, vistas como funciones de variable compleja, son funciones determinadas por dos condiciones: a) son meromorfas (lo que significa holomorfas excepto en singularidades aisladas —polos— en los cuales existen series de Laurent), y b1) son funciones simplemente periódicas. Pues bien, las funciones elípticas son las funciones complejas de variable compleja caracterizadas por dos condiciones a) ser meromorfas, y  b2) ser doblemente periódicas, esto es, admitir como periodos dos números complejos independientes. Las funciones elípticas incluyen, como casos degenerados, a las funciones trigonométricas e hiperbólicas cuando uno de los dos periodos se hace infinito.

Con esto acaba la serie de posts dedicada a comentar la proyección quincuncial. Que ilustraré en un pequeño regalo de Navidad, el próximo post.

Apéndice.

Como en el apéndice del post II de la serie, \lambda, \theta representan la latitud y longitud geográficas de un punto de la Tierra, en escala angular convencional, de manera que \lambda=\frac{\pi}{2} en el polo N, \lambda=0 en el Ecuador, y \lambda=-\frac{\pi}{2} en el polo S. Las ecuaciones de la proyección estereográfica centrada en el polo N, referidas a coordenadas polares R, \Theta en el plano del mapa son:

R = \tan\frac{\frac{\pi}{2}-\lambda}{2},   \Theta = \theta,

que evidentemente aplican el hemisferio norte de la Tierra en el interior de un círculo de radio 1, el ecuador sobre el círculo de radio 1, y el hemisferio sur en su exterior, extendiéndose hasta el infinito.

Doy aquí la transformación de Schwarz-Christoffel empleada en la construcción de la proyección quincuncial. Esta transformación aplica el círculo de radio 1 sobre un cuadrado y el interior del círculo (el hemisferio N) sobre el interior del cuadrado. Para dar las expresiones explícitas, consideremos el plano estereográfico como un plano complejo mediante la identificación usual

z_s := R \exp{i \Theta}

y sea z_p := X + i Y el plano imagen (de Peirce) sobre el que el circulo unidad se representa mediante un cuadrado. La relación entre ambas variable complejas se expresa mediante la función elíptica {\rm cn} de Jacobi para el valor autocomplementario m=1/2 del parámetro elíptico (lo que ocurre cuando el paralelogramo fundamental es un cuadrado)

z_s = {\rm cn}[z_p, 1/2]

cuya función inversa, salvo un factor numérico global es

z_p = \int_0^{z_s} \frac{1}{\sqrt{1-z^4}} d z

Referencias

Enlace para ver el artículo original de Peirce (en JSTOR); otro enlace al mismo artículo aquí (en Google Books). El artículo puede descargarse de JSTOR en formato pdf .

Yo aprendí las matemáticas tras la proyección quincuncial a través de John Baez en la semana 229 (Abril 2006) de sus magníficas “This week finds in Mathematical Physics”, (enlace a la week 229), en donde comenta la relación con las funciones elípticas y con los recubrimientos ramificados (que reaparecen en varias teorías avanzadas, en particular en teoría de cuerdas). Lo que he tratado de hacer es exponer aquí el proceso constructivo de la proyección de Peirce y sus propiedades de manera deliberadamente descriptiva pero con algo más de detalle del que aparece en el artículo original de Peirce, en la semana de Baez, o en la Wikipedia.

Varios de los mapas reproducidos proceden de la excelente página de C Furuti, en varios casos con una pequeña elaboración posterior propia. La entrada Map Projections de la Wikipedia da una información sobre proyecciones cartográficas muy claramente organizada. Aquí también hay un buen catálogo, incluyendo algunos mapas con proyecciones completamente excéntricas. El sitio de Internet más completo que he encontrado hasta ahora, con mapas básicos, con estilo uniforme y sin coloración pero perfectamente adecuados para entender visualmente las diferentes proyecciones,  es la página dedicada a cartografía del  CSISS; aparte de una completa bibliografía, he contado, clasificadas en varias categorías, las imágenes de 324 proyecciones. Allí escondidas están otras proyecciones teselables —que permiten hacer mapas de la Tierra completa recubriendo el plano de manera periódica— que actualmente están ya clasificadas. La de Peirce en 1879 fué la primera; hay otras varias debidas a Adams entre 1925 y 1936 (la rómbica que es una versión “triangular/hexagonal” de la quincuncial y otras dos con celdas cuadradas), y la más reciente es la tetraedral de Lee, publicada en 1965. Los problemas interesantes no se resuelven de golpe; en éste problema de encontrar los posibles mapas que permitan hacer “papel pintado” la línea de tiempo se extiende al menos durante un siglo.

Este post forma parte de una serie. Si quiere saltar directamente a otro de la misma serie, puede usar los enlaces siguientes, directos a cada entrada.

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