La proyección quincuncial de Peirce IV: teselaciones y más …

Sigue desde el post anterior (III) de esta serie

Teselando el plano con el mapa de Peirce

Lo realmente novedoso en el mapa de Peirce, en comparación con otros, comienza ahora. La mayor parte de los mapas que describen la Tierra completa tienen cortes, y simplemente no es posible la yuxtaposición de copias para hacer “regular” el mapa en los cortes. Algo mejores en ese aspecto son el mapa equirectangular, o el de Mercator, en donde se puede extender el mapa por repetición periódica en la dirección E-W. Esto nos permite obtener una representación suave de la región en torno al meridiano 180°, pero incluso en esos dos mapas no es posible extender esta representación suave a los polos N y S, que siguen siendo singulares (representados por una línea en el equirectangular, o situados en el infinito en el de Mercator).

En el caso del mapa de Pierce, basta un momento de reflexión para convencerse de que si consideramos el mapa T’ obtenido de T (que, recordemos, cubre la Tierra completa) por media vuelta alrededor del centro y yuxtaponemos sendas copias de T’ en los cuatro lados de T , se obtiene una coincidencia suave a lo largo de los cuatro lados de T. La siguiente figura ilustra el proceso ….

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Primera etapa de la construcción del mapa teselado: A una copia de T se adosan por los cuatro lados copias respectivas de T’. Elaboración propia basada en imagen con crédito de Carlos Furuti.

… que puede repetirse indefinidamente. Consideremos el mapa T” obtenido aplicando media vuelta alrededor de su centro  a T’ (evidentemente T” coincide con T ya que en el paso de T a  T” hay implicadas dos medias vueltas). Y ahora, en cada uno de los cuatro lados de cada copia de T’ del mapa anterior yuxtaponemos una copia de T. Nuevamente hay coincidencia suave en los bordes, y lo que resulta es:

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Etapa final de la construcción del mapa teselado: a cada copia de T’ se adosan cuatro copias de T; es evidente como el proceso puede proseguir indefinidamente. Elaboración propia basada en imagen con crédito de Carlos Furuti.

Así se obtiene un patrón tipo tablero de ajedrez, con los cuadros T en la disposición original jugando el rol de cuadros “blancos”, y como cuadros “negros” los T’, que estaban rotados media vuelta alrededor de su centro con respecto a los T. Si en un solo cuadrado T el polo S aparecía “repartido” en los cuatro vértices del cuadrado, tras esta teselación ajedrezada el polo S aparece en el mapa final de manera completamente comparable a la del polo N.

De hecho, basta contemplar el mapa teselado anterior tomando mentalmente como origen el polo S, y  limitar la atención a una región cuadrada del ajedrezado completo cuyos vértices sean ahora las cuatro copias adyacentes del polo N, para ver que en esa vista la Tierra completa queda representada de manera conforme (excepto en los cuatro puntos singulares, que son los puntos medios de las aristas del ajedrezado) con el polo S en el centro del mapa. Concluimos que no hay realmente ninguna discriminación entre los dos polos N y S en este mapa, y el hecho de que inicialmente S apareciera repartido en cuatro sectores es un simple artefacto de una etapa de la construcción que desaparece en el resultado final.

Pero aún hay más en el mapa de Pierce ……

El mapa de Peirce guarda aún otra sorpresa, fácil de enunciar y de comprobar pero cuya explicación completa lleva, matemáticamente hablando, bastante lejos: éste mapa ofrece la imagen más visualizable que conozco de un concepto matemático avanzado (juzgue Vd. mismo cuan avanzado a partir de la entrada de la Wikipedia que lo describe), el de recubrimiento ramificado.

Si planeamos una excursión con  cualquier mapa “ordinario” siguiendo sobre el mapa un pequeño circuito alrededor de un punto base —digamos bordeando sobre el mapa el punto que representa a una ciudad— la excursión nos llevará en la realidad a dar una vuelta completa que circunvala la ciudad. Si el mapa es además conforme, un circuito que sea un pequeño círculo en el mapa corresponderá a una circunvalación según un círculo en la realidad.

El mapa de Peirce es conforme excepto en los cuatro puntos L, E, R, W, lo que significa que excepto en esos cuatro puntos, un pequeño circuito circular que circunvale una vez cualquier punto del mapa representará una circunvalación según un camino circular en la realidad, que da una vuelta completa alrededor del punto base. Nada sorprendente en ésto.

Naturalmente, los cuatro puntos L, E, R, W son puntos ordinarios en la superficie de la Tierra; tales puntos son solamente son singulares en lo que respecta a su aparición en el mapa. Y bien, ¿qué ocurre si planeamos una excursión que en el mapa efectúe una circunvalación alrededor de uno de estos cuatro puntos? Lo que ocurre es totalmente inesperado si no se sabe previamente. Si este tipo de retos le estimulan, mi sugerencia es que procure responder por sus propios medios a la pregunta empleando la descripción y los mapas que hemos presentado más arriba. Pero si prefiere leerlo, el post acaba aquí en plan cliffhanger; la solución, en el último post de la serie en un par de días.

Quincunx: una disgresión etimológica

Incluiré aquí una pequeña disgresión sobre el nombre de la proyección. El Diccionario de la Real Academia Española define Quincuncial: “Dispuesto en forma de quincunce”, y Quincunce (Del lat. quincunx,-cis): “Disposición semejante a la figura de un cinco de dados, con cuatro puntos que forman rectángulo o cuadrado y otro punto en el centro”. En latín quincunx significa “5/12” y se deriva de la conjunción de quinque (cinco) y uncia (un doceavo; término que es también el origen de la palabra onza).

QuincunxCoinUncia se empleaba aquí como una fracción de un doceavo de la moneda básica, el as, y quincunx hacía referencia a una moneda que habitualmente tenía grabada una figura de cinco puntos, cuatro según un cuadrado y el quinto en el centro, con un de valor cinco doceavas partes de un as. El quincunx no formó parte del sistema monetario romano estandar y fue emitida por unas pocas cecas, durante un período breve de la República.

En español tengo la impresión de que quincunce y quincuncial, aunque existen, son términos que apenas han tenido uso. En la página “World Wide Words”, sección “Weird Words” hay una entrada sobre quincunx que explica cómo en el inglés ilustrado del S. XVII se hizo habitual el empleo del término para referirse a una configuración de objetos (inicialmente árboles en un jardín) según esa disposición particular. Debemos concluir que Peirce no sólo estaba al tanto de los avances matemáticos recientes (concibió su proyección unos pocos años después de la invención de la transformación de Schwarz-Christoffel, lo que hace siglo y medio y viviendo al otro lado del Atlántico no es mucho tiempo) sino también de otros campos. Pues esta configuración de cinco puntos, cuatro según un cuadrado y el quinto en el centro, es la que muestran los polos N y S en el mapa de Peirce, y la que justifica el bautizo como Quincuncial de la proyección ….

Este post forma parte de una serie. Si quiere saltar directamente a otro de la misma serie, puede usar los enlaces siguientes, directos a cada entrada.

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