La Proyección quincuncial de Peirce III: ¿cómo se construye?

sigue del post anterior (II) de esta serie.

La transformación de Schwarz-Christoffel

Si la proyección estereográfica es la puerta para llegar naturalmente a la proyección quincuncial de Peirce, la llave de esa puerta es la transformación llamada de Schwarz-Christoffel, descubierta independientemente por ambos matemáticos en la segunda mitad de la década de 1860 y publicada por Christoffel en cuatro artículos entre 1868 y 1870 y por Schwarz en un artículo en 1869.

Se trata de un resultado a primera vista algo sorprendente que afirma que existen transformaciones del plano que aplican el interior de un polígono arbitrario en el interior de un círculo y que son conformes en todos los puntos, excepto en los vértices del polígono (cuyas imágenes son ciertos puntos sobre el círculo). Para un polígono y un círculo dados, la contribución de Schwarz y Christoffel fué demostrar que siempre existen y dar una expresión explícita para una transformación que tuviera tales propiedades (realmente existen infinitas de tales transformaciones).

El grabado siguiente, reproducido del artículo original de Schwarz, muestra un ejemplo particular del resultado general, con la transformación de Schwarz-Christoffel “más sencilla” que lleva un cuadrado a un círculo (cuyas ecuaciones daré en el siguiente post de la serie). El dibujo representa por un lado la rejilla ortogonal natural en el cuadrado y por otro su imagen tras la transformación en un círculo; en todos los puntos del interior del círculo, la imagen de la rejilla ortogonal del cuadrado es una red que cubre el círculo con curvas que se cortan ortogonalmente en todos sus puntos. Y esto se extiende a toda la periferia del círculo, excepto en las imágenes de los cuatro vértices del cuadrado, que son los puntos denotados 1, i, -1, -i en el diagrama del círculo. La transformación es pues conforme excepto en los cuatro vértices del cuadrado.

mp_SchwarzMap

Ejemplo de una transformación de Schwarz-Christoffel de un cuadrado en un círculo que es conforme excepto en los vértices del cuadrado. Tomada del artículo original de 1869 de Schwarz.

El caracter excepcional de esta transformación en los cuatro vértices es evidente: los dos lados del cuadrado inicial que confluyen en cada vértice forman un ángulo de 90°, pero el ángulo que forman las imágenes de estos dos lados, que son los dos pequeños arcos en el borde del círculo que confluyen en los puntos rotulados, es claramente igual a 180°. De hecho, cada uno de los “cuadraditos” de la rejilla original tiene como imágenes figuras con cuatro ángulos rectos aunque sus cuatro lados sean curvos, excepto para los cuadraditos en los vértices, en donde el ángulo de  la imagen del vértice por la transformación es de 180°. En todos los demás puntos, incluyendo las aristas del cuadrado, el ángulo que forman las imágenes de la rejilla coordenada vale siempre un ángulo recto, igual por tanto al ángulo que formaba la rejilla original.

El resultado de Schwarz-Christoffel funciona en ambas direcciones, lo que garantiza también la existencia de una transformación que lleva el interior de un círculo en el interior de un polígono, que es conforme en el interior del círculo y que solamente deja de ser conforme en los puntos sobre el borde del círculo que juegan el papel de preimágenes de los vértices del polígono. En la siguiente figura se muestra la rejilla coordenada polar sobre el círculo, radios por el origen y círculos centrados en el origen, que es ortogonal, y se puede comprobar que la rejilla transformada también es ortogonal en todos los puntos del interior del cuadrado y en las aristas, perdiendo el carácter conforme solamente en los cuatro vértices, en donde en este caso la imagen de un ángulo de 180° resulta ser un ángulo de 90°.

La transformación de Schwarz-Christoffel de un círculo en un cuadrado. Crédito: J.H.Mathews

Una transformación de Schwarz-Christoffel de un círculo en un cuadrado. Crédito: J.H.Mathews

Construyendo la proyección quincuncial de Peirce

Ahora basta colocar mentalmente la proyección estereográfica al lado de la transformación particular de Schwarz-Christoffel recién descrita que transforma un círculo en un cuadrado, y dejar a la mente hacer su trabajo de por libre mientras pensamos en otra cosa.

Si la mente funciona bien, al cabo de poco tiempo deberá haber tropezado con la idea de transformar el círculo que representa cada uno de los hemisferios del mapa estereográfico en un cuadrado, mediante una transformación que sea conforme salvo en cuatro puntos escogidos en la periferia del círculo, que serán las preimágenes de los cuatro vértices del cuadrado. Escogiendo cuatro puntos equiespaciados sobre el Ecuador (les llamaremos polos L, E, R, W como abreviaturas de polo local, este, remoto y oeste) y aplicando una tal transformación al mapa estereográfico del hemisferio Norte, obtenemos un nuevo mapa, que representa la totalidad del hemisferio Norte sobre el interior de un cuadrado y que será también conforme excepto en esos cuatro puntos. A este mapa le llamaremos PN, la P por Peirce y la N por hemisferio Norte. He aquí el resultado:

mp_PeircePN

El mapa PN, que representa el hemisferio Norte de la Tierra en la proyección de Pierce.
Basado en imagen con crédito de Carlos Furuti

En este mapa el Ecuador está representado por el borde del cuadrado; sólo en los cuatro puntos seleccionados L, E, R, W, que corresponden a las esquinas del cuadrado, el mapa no es conforme, pero sí lo es en todos los restantes puntos. La imagen muestra este mapa junto con las lineas coordenadas que representan meridianos y paralelos; los cuatro puntos equiespaciados L, E, R, W sobre el Ecuador se han escogido de manera que caigan en océanos (L en el Atlántico, E en el Indico y R, W en el Pacífico).

Naturalmente, podemos repetir el proceso con un mapa estereográfico del hemisferio Sur, escogiendo los mismos cuatro puntos sobre el Ecuador, con lo que obtendremos un mapa de este hemisferio sobre otro cuadrado, que llamaremos PS.

mp_PeircePS

El mapa PS del hemisferio Sur de la Tierra en la proyección de Pierce.
Basado en imagen con crédito de Carlos Furuti

Como antes, el Ecuador corresponde al borde del cuadrado; y los cuatro puntos L, E, R, W están representados por los cuatro vértices del cuadrado; solamente en ellos el mapa no es conforme, pero lo es en todos los restantes puntos.

Basta comparar las dos cartas cuadradas PN y PS de los hemisferios N y S que acabamos de obtener con las dos cartas estereográficas de ambos hemisferios para apreciar algo nuevo: ahora las dos cartas PN y PS sí que pueden yuxtaponerse y coinciden suavemente a lo largo de los cuatro lados (si la afirmación de que coincidan suavemente no le resulta evidente, es cierto, hay que demostrarlo, pero el enunciado es correcto debido a la simetría de la esfera en la reflexión en el plano del Ecuador y a las propiedades de la proyección estereográfica y de la transformación de Schwarz-Christoffel empleada).

Obtenemos un mapa que cubre toda la Tierra yuxtaponiendo una sola copia de las cartas cuadradas PN y PS de cada uno de los dos hemisferios N y S, de la manera que indica la siguiente gráfica:

mp_PeircePNS

El mapa completo de la Tierra en la proyección de Pierce.
Basado en imagen con crédito de Carlos Furuti

La identificación de uno de los cuatro arcos del ecuador (el que atraviesa África) queda incorporada por la yuxtaposición, y deben sobreentenderse las identificaciones de los tres lados restantes que resultan claras en el diagrama. Una manera descriptiva de imaginar estas identificaciones consiste en doblar el mapa anterior hacia atrás por el tramo de Ecuador que cruza África: así se obtiene un mapa cuadrado, con anverso y reverso, cada uno correspondiendo a un hemisferio. Cruzar el Ecuador se traduce en cambiar del anverso al reverso.

Una vez llegados hasta aquí, es evidente que hay otra elección preferible: recortemos el cuadrado PS del hemisferio S en cuatro triángulos rectángulos, delimitados por las dos diagonales de PS, y adosemos cada uno de estos triángulos al cuadrado PN del hemisferio N respetando las reglas de yuxtaposición. Se obtiene así un nuevo cuadrado T (cuyo lado es igual a la diagonal del anterior), que representa ahora a la Tierra completa (y de ahí el nombre T).

mp_PeirceTB

El mapa completo T de la Tierra en la forma final de la proyección de Pierce.
Crédito de la imagen: Carlos Furuti

El polo N aparece en el centro del cuadrado T, y los cuatro sectores que convergen en el polo S aparecen representados de manera conforme en las cuatro esquinas del cuadrado T. Los cuatro puntos singulares L, E, R, W de la proyección aparecen como los puntos medios de los lados del cuadrado T, y el propio Ecuador está representado en el mapa por la linea quebrada cuadrada que une los puntos medios L, E, R, W de los cuatro lados de T.

El cuadrado T tiene bordes, mientras que la Tierra no los tiene: por supuesto lo que ocurre es que los ocho segmentos del borde de T deben identificarse por parejas: cada “semilado” que va desde el centro de cada lado a los dos vértices del cuadrado T, debe identificarse con el otro “semilado” .

Quizás aquí lo mejor es recurrir a una “metáfora del sobre de carta”: dóblese el mapa por las cuatro líneas LE, ER, RW, WL que conjuntamente representan al Ecuador y plieguénse hacia atrás las cuatro esquinas LSE, ESR, RSW, WSL: al hacerlo los segmentos a identificar coinciden por parejas como deben y los cuatro sectores que debían converger en el polo S lo hacen, de manera que ahora el polo S está representado por un sólo punto. Tenemos así un mapa de la Tierra completa impreso en las dos caras de un cuadrado, que se puede fácilmente desplegar hasta formar un mapa cuadrado impreso por una sola cara (lo que es una idea original para un sobre con un toque de distinción).

Si prefiere imaginarse el mapa y la correspondiente proyección de manera imprecisa pero visual en términos de una geometría deformable, entonces la idea es partir de una superficie de la Tierra esférica formada por una lámina elástica, hacer cuatro cortes siguiendo la mitad Sur de los cuatro meridianos que pasen por los puntos L, E, R, W del Ecuador, levantar primero los cuatro “pétalos” que así se crean y luego desplegar la lámina estirándola adecuadamente hasta llevar los cuatro puntos L, E, R, W a las cuatro esquinas de un cuadrado PN, el polo N al centro de ese cuadrado, y los cuatro octantes en los que ha quedado dividido el hemisferio Sur, adosadas al cuadrado PN hasta completar un cuadrado mayor T. Lo que las matemáticas añaden a esta descripción imprecisa es hacer la deformación necesaria de manera conforme.

No parece que esta proyección haya sido muy utilizada, aunque entre los cartógrafos es conocida y apreciada: ver por ejemplo aquí,  aquí, donde se la califica de preciosa y se comenta que durante un tiempo fue el sistema de proyección preferido a la hora de representar rutas aéreas, aquí o aquí, donde Sean Carroll la declara su favorita. Quizás hay una barrera  psicológica que explica la poca popularidad de ésta y de algunas otras proyecciones interesantes: estamos demasiado acostumbrados a mapas que tienden a representar el Norte hacia arriba y el Sur hacia abajo, bien exactamente o al menos aproximadamente. El mapa de Peirce rompe completamente esta convención implícita, lo que nos obliga a un esfuerzo de flexibilidad mental. Que es necesario como precio a pagar para conseguir lo que se pretende. En su artículo, Peirce enumera algunas propiedades de la proyección que propone. Comienza diciendo que

For meteorological, magnetological and other purposes, it is convenient to have a projection of the sphere which shall show the connection of all parts of the surface. This is done by the one shown in the plate.

y luego compara con la proyección de Mercator y con la estereográfica, indicando que la parte en la que el factor de escala sobrepasa el doble de la escala en el centro es en este mapa menor que en el de Mercator, y mucho menor que en el estereográfico. Los meridianos quedan representados por curvas que excepto cerca del Ecuador tienen curvatura pequeña. Como última propiedad, Peirce indica concisamente que

It can be tessellated in all directions.

En los dos próximos y últimos posts de esta serie, discutiré las curiosísimas propiedades matemáticas de esta proyección que están ligadas con la posibilidad de teselación, y daré algunas indicaciones más matemáticas y las pertinentes referencias.

Este post forma parte de una serie. Si quiere saltar directamente a otro de la misma serie, puede usar los enlaces siguientes, directos a cada entrada.

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