La proyección quincuncial de Peirce II: mapas conformes y la “magia” estereográfica

sigue del post anterior (I) de esta serie

Mapas conformes

Hasta aquí es posible y relativamente fácil llegar sin demasiadas matemáticas. Pero si queremos avanzar más, las matemáticas se hacen imprescindibles. Veamos hasta donde podemos llegar con descripciones verbales, dejando de paso algunos detalles  matemáticos.

Sabemos que la escala de cualquier mapa plano de la Tierra no puede ser la misma en todos los puntos. En general la escala con la que se representa en el mapa un elemento lineal sobre la Tierra (digamos, una longitud dada de una carretera recta con cierta orientación) dependerá no solo del lugar en el que está situado ese elemento, sino posiblemente también de su orientación.

Esto se suele representar mediante la llamada indicatriz de Tissot, que es la imagen sobre el mapa de una circunferencia de cierto radio fijo centrada en un punto sobre la Tierra. En general, la indicatriz será una curva cerrada de forma típicamente elíptica, cuyo tamaño (medido por las longitudes de sus dos semiejes sobre el mapa) y disposición (medida por las direcciones en las que apuntan los dos semiejes en el mapa) puede cambiar al desplazarse sobre el mapa. Que la indicatriz sea una elipse significa que en cada punto la escala a la que se representa un elemento lineal depende de su orientación: la escala es máxima en la dirección sobre el mapa que corresponde al eje mayor de la elipse, y es mínima en la dirección sobre el mapa ortogonal a la anterior, que corresponde respectivamente al eje menor. Las dos figuras siguientes muestran las indicatrices de Tissot para la proyección equirectangular

La indicatriz de Tissot para la proyección equirectangular. Crédito de la imagen: Wikipedia

Indicatrices de Tissot para la proyección equirectangular. Crédito de la imagen: Wikipedia

y para la proyección sinusoidal; el fenómeno de dependencia de la escala con la orientación se aprecia en ambos mapas en las indicatrices ubicadas en el paralelo de latitud 60°, que en ambos casos son elipses de semiejes bastante diferentes.

mp_Tissot_sinusoidal_proj.svg

La indicatriz de Tissot para la proyección sinusoidal. Crédito de la imagen: Wikipedia

Es claro en estos mapas que, además de tener una escala que depende de la orientación del elemento, los ángulos se representan distorsionados: esto quiere decir que líneas que en la Tierra se corten según un cierto ángulo, tendrán como imágenes en el mapa líneas que se cortarán según un ángulo posiblemente diferente. Por ejemplo, meridianos y paralelos se cortan en la Tierra formando ángulo recto (de 90°, lo que se dice ortogonalmente), mientras que en la proyección sinusoidal (y de hecho también en otros tres mapas representados en el post I de esta serie, Mollweide, Aitoff y Robinson), las imágenes correspondientes de paralelos y meridianos en general se cortan según ángulos diferentes de un ángulo recto.

A un mapa que tenga la propiedad de que todos los ángulos entre curvas en la Tierra se representen exactamente iguales a los ángulos entre sus imágenes en el mapa se le denomina mapa conforme. Ninguno de los mapas que hemos visto hasta ahora son conformes.

Un mapa conforme que ha tenido gran importancia histórica fué el de Mercator (publicado en 1569). Su introducción por parte de Gerardus Mercator fue seguida durante un siglo por la investigación de las matemáticas subyacentes, comenzando por la “perpetuall addition of the Secantes” de E. Wright en 1599, uno de los precedentes claros y no triviales de la moderna integración, y acabando en la preciosa demostración de Barrow, un siglo tras Mercator, de la identidad que hoy escribimos

\int_0^\lambda \frac{1}{\cos t}dt = \ln\tan\left|\frac{\pi}{4}+\frac{\lambda}{2} \right|

Así se pudo plantear y se acabó entendiendo el origen matemático de las propiedades de la proyección de Mercator que hicieron este mapa imprescindible para la navegación —las líneas de rumbo se representan mediante líneas rectas en el mapa— en lo que forma parte de uno de los más interesantes episodios de la prehistoria del cálculo infinitesimal. Pero ésta es otra historia …

La indicatriz de Tssot en la Proyección de Mercator. Las filas superior e inferior de indicatrices, no representadas, se superpondrían al ser de radio bastante mayor. Crédito: Wikipedia

Indicatrices de Tssot en la Proyección de Mercator. Se representan indicatrices sobre los paralelos de latitud 0°, 30° y 60° N y S: todas son círculos. Las ‘siguientes’, en la latitud 90° N y S tendrían su centro en el infinito arriba y abajo y su radio sería infinito. Las intermedias, digamos en la latitud 75°, tendrían un radio bastante mayor que en la latitud 60° y aparecerían superpuestas. Crédito: Wikipedia

Los mapas conformes tienen una propiedad notable, que se ilustra en la figura anterior: en ellos las indicatrices de Tissot serán siempre círculos, cuyo radio no puede mantenerse constante a través del mapa (si fuera constante estaríamos ante un mapa de escala fija, lo que sabemos ya que es imposible). Para verlo, y al tiempo entender el origen de la denominación “conforme”, debemos notar que en la geometría elemental varias figuras semejantes tienen todas sus dimensiones lineales en la misma proporción (escala), y todos los ángulos correspondientes son iguales, lo que nos permite decir que todas ellas tienen la misma forma. Este hecho explica el origen de la denominación conforme: en el límite de figuras pequeñas, un mapa conforme, al conservar todos los ángulos, conserva las formas, de manera que la imagen de un pequeño círculo en la realidad aparece como un círculo en el mapa, lo que implica que las indicatrices de Tissot serán siempre círculos y que la escala de un tal mapa dependerá solamente de la posición pero no de la orientación.

La proyección estereográfica

Hay un ejemplo importante de mapa conforme, basado en una idea que se conoce desde la antigüedad, la idea de la proyección estereográfica de una esfera sobre el plano, que tiene la propiedad de que el ángulo entre dos líneas cualesquiera en la Tierra es igual al ángulo entre sus imágenes. Realmente, en la Antigüedad se usó esta proyección para la representación de la esfera celeste —lo que acabó cristalizando en el astrolabio— y no para dar un mapa de la Tierra completa, que por entonces era en gran medida terra incognita.

Describimos esta proyección. Imaginemos una esfera Σ apoyada en una mesa horizontal, que idealizaremos como un plano infinito Π. Se toman sobre la esfera dos puntos antipodales, que convencionalmente vamos a llamar polos N y S. El polo S es el punto de contacto de la esfera con la mesa, y el polo N es el punto antipodal. La mesa puede verse como el plano tangente en el polo S a la esfera, plano que se extiende hasta el infinito.

Proyección estereográfica de una esfera sobre un plano. Crédito: D.W.Henderson

Proyección estereográfica de una esfera sobre un plano. Crédito: D.W.Henderson

La proyección estereográfica de la esfera centrada en el polo S y proyectada desde el polo N se construye del siguiente modo: para cada punto R sobre la esfera, se considera la linea recta que pasa por N y R, que convenientemente prolongada cortará al plano de la mesa en un punto que denominamos P, que por construcción es la imagen estereográfica de R. Análogamente, el punto P’ es la imagen estereográfica de Q, un punto genérico situado en el mismo meridiano que R, y la imagen estereográfica de ese meridiano es la linea recta SPP’.

Aunque no sea evidente a partir de su descripción, la aplicación estereográfica tiene varias propiedades que la hacen casi mágica. Por un lado, la imagen de cualquier círculo situado sobre la superficie de la esfera es otro círculo en la imagen estereográfica. Esto ocurre para todos los círculos sobre la esfera, no solo para  los círculos máximos que pasan por el polo de proyección, cuyas imágenes son líneas rectas, que deben verse aquí como círculos de radio infinito, o para los círculos “paralelos” que aparecen al cortar la esfera por un plano paralelo a Π, cuyas imágenes son claramente círculos centrados en S en el plano imagen.

Por otro lado, la aplicación es conforme: el ángulo entre dos curvas cualesquiera sobre la esfera es exactamente igual al ángulo entre sus imágenes estereográficas.

Al utilizar la anterior proyección para construir un mapa estereográfico de la Tierra, proyectado desde el polo N, de manera que el mapa está “centrado” en el polo S, los meridianos se representan pues mediante líneas rectas que salen de S, y los paralelos mediante círculos concéntricos, centrados en S; el diagrama muestra la imagen del Ecuador de la esfera.  El mapa ocupa la totalidad (infinita) del plano de proyección, y el polo N es el único punto que estrictamente hablando no aparece representado en el mapa. Podemos, para conseguir que la aplicación que describe la proyección sea biunívoca, esto es, uno a uno, adjuntar un solo punto nuevo, “en el infinito” al plano sobre el que se proyecta; éste punto adicional y ficcional es el que representa al polo N, y aparece como un solo punto nuevo que “cierra” el plano en el infinito y lo transforma topológicamente en una esfera (en teoría de funciones de variable compleja, un plano bidimensional se identifica con el plano complejo, que tras la adjunción de un solo punto en el infinito pasa a ser el plano complejo completado, que visto topológicamente como una esfera se conoce como la esfera de Riemann).

Vemos que un mapa basado en esta proyección no presenta ningún corte y solamente exhibe una singularidad en el polo desde el que se proyecta, que podemos imaginar representado como el solo punto adicional “en el infinito” que cierra el plano

En el siguiente enlace, de la interesante página “Dimensions” puede verse un video con toda una familia de proyecciones estereográficas de la Tierra con polos de proyección que se van moviendo. La proyección comienza desde el polo N, con el mapa centrado en el polo S (la imagen fija de arranque del video), y a lo largo del video el polo de proyección intermedio va cambiando, acabando en la misma proyección inicial. El video registra las imágenes en cada momento de la familia de meridianos y paralelos.

DimensionsStereographicVideo

Como la proyección estereográfica es conforme, aplica círculos en círculos, y por ello las indicatrices de Tissot son círculos, lo que implica que  en los mapas de la Tierra basados en esta proyección, la escala es independiente de la orientación. Naturalmente, la escala sí que depende de la posición; para ser precisos, si se proyecta desde el polo N, como en la imagen anterior, la escala depende solamente de la latitud pero no de la longitud. Esto es evidente también en las imágenes del video anterior.

Es fácil comprobar que la escala crece continuamente desde un valor mínimo en el “centro” de la proyección, alcanzando en el Ecuador un valor doble, y haciéndose infinita en el polo desde el que se proyecta (el antipodal del centro), que en el mapa aparece en el infinito.

Indiquemos una curiosidad de este mapa: independientemente de cuan pequeña sea la escala del mapa en el punto que aparece en el centro del mapa, según avanzamos hacia el polo opuesto nos encontraremos con un cierto paralelo (muy cercano al polo opuesto) en el que la escala es 1:1 (sobre ese paralelo el mapa tiene el mismo tamaño que la realidad representada) que encierra toda una región circular de la Tierra, representada en el mapa con escala mayor que 1:1. Claro está, el tamaño infinito de este mapa completo no es muy aconsejable para un mapa real.

De manera que en lo que respecta a representar la Tierra completa, la proyección estereográfica tiene más interés matemático que cartográfico, siendo razonable a efectos geográficos solamente para regiones cuyo tamaño no exceda de un hemisferio. Más allá la escala se dispara y la deformación en las distancias y en las áreas representadas llega enseguida a un nivel malamente aceptable. Se ve esto claramente en el mapa que damos a continuación, una proyección estereográfica en la que el último paralelo que se ve completo es el de latitud -30°; más al Sur, se encontraría la Antártida, que ocuparía el resto del mapa, hasta el infinito. Sobre ese mapa, compárese la parte que aparece de Australia con la totalidad de América del Norte (cuya área real es el triple que la de Australia completa) .

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Proyección estereográfica, centrada en el polo N, cubriendo hasta latitud Sur 30. Fuente: Wikicommons, Autor: Strebe

Una versión “practicable” del mapa estereográfico de la Tierra consiste en dos cartas, cada una un mapa estereográfico parcial, que representa cada hemisferio en el interior de un círculo. Así podemos conseguir un mapa completo de la Tierra en un tamaño finito mediante dos tales cartas, cada una cubriendo un hemisferio completo. Los dos bordes de ambos círculos deben identificarse entre sí de acuerdo con un patrón evidente, que se visualiza fácilmente adosando ambos mapas como anverso y reverso de un solo disco circular.

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La imagen del hemisferio Norte en proyección estereográfica centrada en el polo N.

Con respecto al mapa equirectangular, en el nuevo mapa estereográfico hemos ganado que (en cada una de las dos cartas) cada polo está representado ahora por un solo punto, sin ninguna singularidad. Pero las dos “mitades” del mapa están limitadas por dos círculos, que no podemos adosar, de manera que hemos perdido la posibilidad de eliminar mediante yuxtaposición la singularidad de borde que seguimos teniendo en la pareja de cartas N y S estereográficas.

En el post siguiente, veremos cómo las cartas estereográficas que hemos descrito aquí se pueden tomar como punto de partida para llegar, de una manera comprensible y constructiva, a la proyección quincuncial de Peirce.

Apéndice

Aquí \lambda, \theta representan la latitud y longitud geográficas de un punto de la Tierra, en escala angular convencional, de manera que \lambda=\frac{\pi}{2} en el polo N, \lambda=0 en el Ecuador, y \lambda=-\frac{\pi}{2} en el polo S. Las ecuaciones de la proyección estereográfica centrada en el polo N, referidas a coordenadas polares R, \Theta en el plano del mapa involucran la colatitud \frac{\pi}{2}-\lambda y son:

R = \tan\frac{\frac{\pi}{2}-\lambda}{2}, \Theta = \theta,

que evidentemente aplican el hemisferio norte de la Tierra en el interior de un círculo de radio 1, el ecuador sobre el círculo de radio 1, y el hemisferio sur en su exterior, extendiéndose hasta el infinito.

Realmente, las dos proyecciones estereográficas centradas en los polos N y S, se expresan de la manera más sencilla usando las distancias angulares de cada punto de la Tierra a ambos polos, medidas sobre los meridianos. Si denotamos a estos ángulos por \rho_N, \rho_S, ambos se expresan en términos de la latitud como

\rho_N = \frac{\pi}{2}-\lambda, \rho_S = \frac{\pi}{2}+\lambda\qquad.

Las ecuaciones de la proyección estereográfica centrada en el polo N o S, referidas a coordenadas polares R, \Theta en el plano del mapa son respectivamente :

R_N = \tan\frac{\rho_N}{2} = \tan\left( \frac{\pi}{4}-\frac{\lambda}{2}\right), \Theta = \theta,

R_S = \tan\frac{\rho_S}{2} = \tan\left( \frac{\pi}{4}+\frac{\lambda}{2}\right), \Theta = \theta,

Este post forma parte de una serie. Si quiere saltar directamente a otro de la misma serie, puede usar los enlaces siguientes, directos a cada entrada.

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3 respuestas a La proyección quincuncial de Peirce II: mapas conformes y la “magia” estereográfica

  1. pi314 dijo:

    el enlace del video debe estar roto, al pinchar no sale de la imagen fija

  2. Gracias por el aviso, pi314, ya está arreglado. De hecho me ha servido para darme cuenta que el post publicado no era la última revisión que había hecho; el único aspecto de WordPress que me ha resultado un poco desconcertante desde el principio y al que aún no he cogido el tranquillo es cómo gestiona las revisiones previas antes de dar al botón “publicar”. Me ha sucedido varias veces volver a una versión antigua sin haberlo pretendido, y el problema es que aún no entiendo porqué ocurre.

  3. Pingback: La Proyección quincuncial de Peirce III: ¿cómo se construye? | Una vista circular

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