La proyección quincuncial de Peirce I: de mapas y límites.

Este post (que publicaré en varias partes debido a su extensión) estaba prometido desde hace un año y escrito desde hace casi tanto. Se trata de explorar lo que se esconde tras la imagen de cabecera del blog, una vista circular de la Tierra …. Si esta cuestión les interesa, pasen y pónganse cómodos.

Una carta esférica

¿Cómo se podría representar la superficie de la Tierra completa, cuya forma es muy  aproximadamente esférica, mediante un mapa que haya de dibujarse sobre un plano? Para un objeto (la planta de una casa, un jardín, una ciudad, de dimensiones lineales respectivas 20m, 200m, 2000m) lo suficientemente pequeño para que frente a ese tamaño podamos ignorar la curvatura de la superficie de la Tierra, es posible construir un plano a escala, que dentro de la precisión que determinan las técnicas de dibujo o de impresión puede tomarse como exacta y fija; en este plano o mapa todas las distancias reales se reducen en el mapa por un mismo factor, la escala, y todos los ángulos se representan sin ninguna deformación.

Pero cuando se trata de extender una representación de este tipo a una zona de la Tierra lo suficientemente grande como para que ya no podamos ignorar la curvatura, las cosas cambian. Estrictamente hablando, no existe ningún mapa de una región de tamaño no despreciable de la Tierra, mucho menos de la Tierra completa, dibujado sobre un plano que represente todas las distancias a la misma escala. Este hecho es una de las muchas consecuencias indirectas pero inevitables del Theorema Egregium de Gauss, que de manera definitiva establece la imposibilidad de realizar un mapa a escala de una esfera sobre un plano.  En contraste, sí que es posible hacer un mapa de la Tierra a escala exacta sobre otra superficie esférica de radio muchísimo menor (un globo terráqueo), cuyo manejo y almacenamiento, como sabe quien haya tenido uno, tiende a ser latoso y engorroso.

De manera que si queremos representar la Tierra completa sobre un mapa plano, deberemos estar dispuestos a compromisos. Las magnitudes geométricas más relevantes en un mapa son las distancias, los ángulos y las áreas. Una vez sabido que un mapa a escala estricta (que representaría todos los ángulos correctamente y las longitudes y áreas también a escala) es imposible, no tenemos otra alternativa que relajar las exigencias,  privilegiando una “mejor” representación de alguna magnitud —a costa de posiblemente empeorar la representación de otras—. Es posible construir mapas en los que las áreas de cualquier región, en particular de los países, se representen a una escala estricta —lo que es interesante a efectos de geografía política—, y por otro lado es posible  construir mapas en los que todos los ángulos se representen exactamente.  También es posible buscar un buen balance entre la representación de diferentes magnitudes, de manera que ninguna aparezca lo mejor que podría, pero que tampoco ninguna otra resulte demasiado desfigurada. Finalmente, es posible pasar de mapas a cartogramas, en los que se pretende representar “a escala” otras propiedades no propiamente geométricas, como datos de población, magnitudes económicas, etc. En este tema una palabra mágica es Worldmapper.

Todo esto es lo hace de la Cartografía y de sus descendientes un asunto complicado e interesante. Aquí, aquí, y aquí podemos efectuar una rápida excursión cultural y visual por esta ciencia fascinante, que nos sirve como un buen ejemplo de los posibles compromisos, a la vez que nos proporciona algunos ejemplos de mapas intrigantes y poco conocidos. Algunos de ellos, propuestos hace tiempo y discutidos en las obras clásicas, se han popularizado para el gran público tan solo recientemente a través de Internet. El mapa de la Tierra que aparece en la imagen de cabecera del blog, basado en la proyección quincuncial de Peirce es uno de estos casos.

Comenzando desde el principio

Una manera muy familiar para representar la Tierra completa en un solo mapa es la proyección llamada geográfica, o de plate carrée, atribuida a Marino de Tiro (aprox. 100 a.C). En ella la Tierra completa se representa en un rectángulo de lados en proporción (aspect ratio) 2:1, con las coordenadas cartesianas (x, y) sobre el mapa correspondiendo (proporcionalmente) a los dos ángulos geográficos, la longitud (entre -180° y +180° de izquierda a derecha) y a la latitud (entre -90° y +90° de abajo arriba) [en este post, siguiendo la tradición cartográfica, daremos las medidas angulares de longitud y latitud en grados sexagesimales]. Las dos líneas centrales del rectángulo representan al Ecuador, de latitud 0° y al meridiano base de longitud 0°; cuando la proyección no se supone necesariamente centrada en el Ecuador se llama más generalmente equirectangular.

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La Tierra en proyección equirectangular. Crédito de la imagen: Carlos Furuti

Esta proyección no tiene ninguna propiedad geométrica especialmente destacada; en particular, no representa las longitudes ni las áreas a escala ni conserva todos los ángulos. Pero dada la relación directa y simple entre las coordenadas cartesianas de cada punto imagen en el papel o cada pixel en la imagen digital y las coordenadas geográficas “naturales” longitud y latitud del punto representado, esta proyección se ha convertido de facto en el estandar como formato inicial en muchas aplicaciones que requieran registrar una esfera visual completa. A partir de este formato se permite un tratamiento digital posterior de manera especialmente sencilla.

Límites, bordes y confines

Sobre este mapa simple podemos ilustrar la idea inicial cuya exploración nos acabará llevando al mapa quincuncial de Peirce: la Tierra realmente es finita pero no tiene límites. Sin embargo, en la proyección equirectangular la representamos mediante un rectángulo en el plano, que es de tamaño finito, pero que sí tiene límites, los bordes del rectángulo. Idealmente desearíamos que un mapa tradujera lo más fielmente posible la idea de cercanía en la realidad, traduciéndola a cercanía en el mapa. Se trata de un requerimiento epistemológico aparentemente inocente.

Pero conseguir satisfacer este requerimiento con un mapa de la Tierra completa no es lo fácil que ingenuamente podría suponerse.  Lo muestra la manera en que nuestro simple mapa incumple tal desideratum. ¿Como encajar la aparente discrepancia entre la realidad de la superficie de la Tierra, en la que no hay límites, y este mapa, en donde sí los hay? Lo que ocurre es lo siguiente: a) los dos lados verticales del rectángulo del mapa se deben identificar entre sí (pues ambos representan el mismo meridiano -180° y +180°) aunque parezcan estar muy alejados, y b) el lado superior del rectángulo del mapa corresponde a un solo punto de la Tierra, el Polo Norte y todo el lado inferior corresponde a otro solo punto de la Tierra, el Polo Sur, de modo que cada uno de esos dos puntos en la realidad están representados de manera excepcional,  no mediante un solo punto en el mapa sino mediante toda una línea en su borde (un borde que no existe en la realidad de la Tierra), y de nuevo ocurre que dos puntos muy cercanos al polo Norte pueden aparecer como muy alejados en el mapa.

La escala “horizontal” (sobre los paralelos), que en el Ecuador tiene un cierto valor,  crece sin límite cuando nos acercamos a los polos, en donde esa escala horizontal tiene un valor infinito. En contraste, la escala “vertical”, a lo largo de los meridianos, es constante en todo el mapa, e igual a la escala horizontal en el Ecuador. Conjuntamente, esto conlleva que la escala correcta para un cierto segmento cuya orientación no sea exactamente Norte-Sur dependerá tanto de la posición como de la orientación del segmento. Ya comenzamos a ver que en mapas generales, el asunto de la escala es bastante complicado.

Si queremos visualizar cómo este mapa se ajusta a la realidad, podemos imaginar un proceso que, supuesto el material del plano suficientemente elástico, nos permitiría adaptar, en dos etapas, el mapa a un globo de la Tierra que tenga la misma escala en el Ecuador. En la primera formaríamos un cilindro, enrollándolo sobre el Ecuador del globo mediante la yuxtaposición de los lados derecho e izquierdo del mapa;  esto  no requiere ninguna distorsión y se puede hacer con un mapa de papel ordinario. La segunda etapa, que requiere una flexibilidad que no tiene el papel ordinario, consistiría en ir  adaptando el cilindro a la forma esférica, para lo cual habrá que ir “encogiendo” cada una de las dos mitades superior e inferior, de manera creciente según nos acerquemos a los polos, hasta que los bordes superior e inferior de nuestro mapa elástico queden colapsados a un solo punto, los polos N y S.

Por supuesto, también podemos imaginar el proceso inverso, partiendo de un mapa globular supuesto de un material debidamente elástico. Este proceso inverso requeriría dar un corte en la superficie del globo de la Tierra, desde el polo N al S a lo largo del meridiano 180°, que luego habrá que ir desplegando sobre un plano, deformándolo hasta llevarlo a una forma rectangular de razón de aspecto 2:1, para lo que debemos mantener el Ecuador sin estirarle ni contraerle mientras le rectificamos, e ir alargando el resto horizontalmente, de manera creciente conforme nos acercamos  a los polos, de manera que cada paralelo completo ocupe en el mapa la misma extensión que el Ecuador; en el extremo, los dos polos pasarán a ocupar todo el borde superior e inferior del rectángulo que se debe obtener.

Resumiendo, este mapa equirectangular obliga a cortar la Tierra a lo largo de un meridiano (corte que en el mapa aparecerá como los dos bordes verticales del rectángulo), y a estirarla horizontalmente cada vez más según nos acercamos en latitud al polo N o al S, lo que al final conduce a desgarrarla en los dos polos (que en el mapa aparecerán como dos líneas, los dos bordes horizontales del rectángulo, siendo que en la realidad original de la Tierra son dos puntos).

Dado que nadie vive allí, es de esperar que nadie se quejará demasiado de que los Polos estén representados en el mapa por una línea en vez de por un solo punto y que en ellos la escala horizontal sea infinita. Pero seguramente no simpatizaríamos con un mapa de la Tierra en el que eso ocurriera en nuestra ciudad. Por otro lado, poca gente vive sobre el meridiano 180°, y para ellos tener su Oeste a un lado del mapa y su Este al otro es ligeramente inconveniente, aunque quizás esté compensado por ser los primeros en celebrar la llegada del año nuevo :-).

Dos por el precio de uno

La pregunta es: ¿podemos conseguir un mapa de la Tierra completa que evite cortes y singularidades extensas? y ¿cual es el precio a pagar? Antes de ver si podemos evitar las dos características simultáneamente (lo que nos llevará a la proyección de Peirce), veamos como podemos obviar cada una de ellas separadamente.

Evitar el corte en el meridiano 180° partiendo del mapa equirectangular es facilísimo: basta con yuxtaponer copias del mapa completo a la derecha y a la izquierda.

mp_EquirectangularPeriodica-s75Así se obtiene un mapa que recubre varias veces a la Tierra, y que permite ver la región en torno al meridiano 180° sin el molesto corte. Claro está, esto  no resuelve el problema de la singularidad en los polos N y S, que ahora se extienden a todo el borde superior e inferior de las varias copias del mapa.

Por el otro lado, conseguir que los polos N y S estén representados por un sólo punto, evitando la singularidad de los dos bordes superior e inferior es también fácil. Hay muchas soluciones posibles y la más obvia (y posiblemente la más antigua también, la proyección sinusoidal o de Sanson-Flamsteed, que se usa en el mapa de Cossin of Dieppe, publicado  en 1570) es, manteniendo el Ecuador y el meridiano central fijos, contraer horizontalmente cada paralelo del mapa equirectangular por un factor adecuado que haga que la escala “horizontal” a lo largo de cada paralelo sea la misma que en el Ecuador. Esto contrae las “imágenes extendidas” de los polos N y S a un solo punto, y deja los bordes derecho e izquierdo, que aún representan el meridiano 180°, en forma de un arco de sinusoide. Incidentalmente, este mapa representa las áreas a escala exacta, y se dice que es un mapa equiareal.

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La Tierra en proyección sinusoidal. Crédito de la imagen: Carlos Furuti

Con este expediente hemos conseguido que cada uno de los dos polos aparezcan en el mapa como un solo punto. Pero hemos perdido la posibilidad de hacer que el mapa cubra suavemente la región en torno al meridiano 180° mediante yuxtaposición: la nueva forma de los dos bordes ya no lo admite. Podríamos, claro está, tomar como punto de partida  un mapa semejante centrado en el meridiano 180°, pero lo único que así conseguimos es mover de sitio la dificultad: en ese mapa el corte estaría en el meridiano 0°.

Una rápida ojeada a la multitud de proyecciones existentes muestra que entre los mapas que representan la Tierra completa, hay bastantes que la representan en el interior de una elipse con ejes en proporción 2:1, con los polos N y S en los dos vértices “superior” e “inferior” de la elipse, y con los bordes izquierdo y derecho representando los meridianos -180° y +180° (sobre los que las parejas de puntos con la misma latitud realmente deben identificarse). Naturalmente, estos mapas consiguen que los polos aparezcan en el mapa como un solo punto, pero también excluyen la posibilidad de yuxtaponer suavemente otra copia que haga el mapa regular en la región del meridiano 180°. Ejemplos de estos mapas basados en un marco elíptico 2:1 son la proyección de Mollweide, en la que los paralelos se representan por líneas horizontales,

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La Tierra en la proyección de Mollweide. Crédito de la imagen: Carlos Furuti

o la de Aitoff (que es la habitualmente utilizada en cosmología para representar las inhomogeneidades de la temperatura del fondo cósmico de microondas); en ella los paralelos son ciertas curvas:

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La Tierra en la proyección de Aitoff. Crédito de la imagen: Carlos Furuti

Hay también mapas que, en la búsqueda de compromisos adecuados para tal o cual finalidad, proponen soluciones intermedias, como por ejemplo, el de Robinson,

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La Tierra en la proyección de Robinson. Crédito de la imagen: Carlos Furuti

En general, tenemos la imagen de la “forma” de los continentes y los mares tan interiorizada que el empleo de uno u otro de estos mapas no representa ninguna dificultad conceptual (siempre que mantengamos la alerta necesaria para saber de qué estamos hablando y para no caer como incautos en las trampas de la lamentable demagogia cartográfica asociada al nombre de Peters y sus epígonos).

En el siguiente post de esta serie presentaré la proyección estereográfica, que permite conseguir mapas conformes y que puede verse como una etapa natural en el camino que lleva a la proyección quincuncial.

Este post forma parte de una serie. Si quiere saltar directamente a otro de la misma serie, puede usar los enlaces siguientes, directos a cada entrada.

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5 respuestas a La proyección quincuncial de Peirce I: de mapas y límites.

  1. Pingback: La proyección quincuncial de Peirce II: mapas conformes y la “magia” estereográfica | Una vista circular

  2. Pingback: Que por mí no quede | Una vista circular

  3. J.-Fernando Pascual dijo:

    Me parece que en Cosmología para el CMB se usa la proyección de Mollweide.

  4. Fernando, bienvenido. Tienes razón, es cierto que en los ultimos articulos de resultados del Planck y del WMAP se usa la proyección de Mollweide, y seguramente como dices ahora este es el nuevo estandar. Tengo la impresión de que hasta hace poco la proyección más habitual en las representaciones gráficas de la esfera celeste completa era la de Aitoff, que tiene distorsiones relativamente pequeñas en la representación de los ángulos. Buscando un poco parece confirmarse esto (por ejemplo, en este libro ‘Statistics of Galaxy Distribution’ p.381). Se lo pregunté (bien es verdad que puede que haga 10 años) a uno de los cosmólogos españoles más destacados, y por lo que recuerdo su respuesta fue que (entonces) la proyección más habitual para representar el CMB, y en general para todas las representaciones de la esfera celeste completa era la de Aitoff.

    La verdad es que para el CMB y a simple vista, en ausencia de figuras previamente reconocibles como pueden ser las costas de la Tierra o las constelaciones, la diferencia entre ambas proyecciones no es demasiada: ambas representan los meridianos mediante arcos de elipse, y la diferencia es que en la de Mollweide los paralelos se representan por lineas rectas y en la de (Hammer)-Aitoff por arcos de elipse. La razón de usar una de estas dos proyecciones al hacer una representación de toda la esfera celeste es que ambas son equiareales.

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