El tamaño de las moléculas (II)

En el post anterior comenté una experiencia, llevada a cabo por Benjamin Franklin en los 1770s y que vista con ojos modernos nos informa muy directamente sobre el tamaño de las unidades básicas que constituyen la materia de un tipo dado, sus “moléculas”. Para el aceite de oliva obtuvimos un tamaño lineal de 10-9 m, lo que debe entenderse solamente como una estimación, ya que el aceite no es un compuesto puro sino una mezcla de muchas sustancias. Lo importante de este resultado es su orden de magnitud: en 1 milímetro, puestas en fila, cabrían un millón de esas moléculas. El valor de este número es importante: relaciona la escala lineal del nivel macrofísico ordinario con la escala micro de las moléculas y los átomos. Y quizás debería ser más conocido fuera del círculo de los físicos.

Hoy quiero presentar otra manera diferente de abordar la cuestión del tamaño de las moléculas. En ambos casos se trata de ver situaciones completamente cotidianas con los ojos de la física (y en los dos casos, basta la física clásica).

Comenzaremos por recordar algo que (sólo aparentemente) no tiene nada que ver.

1302Weiskopf1La superficie de un líquido, o una película de un líquido mantenida en un marco de alambre, tiene la propiedad de resistirse a una fuerza externa. Simples experimentos muestran que para mantener una película de un líquido extendida en un marco rectangular de alambre, colocado en un plano vertical y con su lado inferior l deslizante, es necesario aplicar una fuerza al lado deslizante. Si la anchura del marco es de l = 1cm, la fuerza necesaria es el peso F = m g de una masa con m = 0.145 gramos. Cualquiera puede hacer el experimento en su casa. Se suele definir en los cursos elementales la tensión superficial γ del líquido como la fuerza neta que por unidad de longitud del lado deslizante se debe ejercer en ese montaje experimental para mantener la película. Si la fuerza total es F y la longitud del lado deslizante es l, entonces la definición de γ es γ  = F / (2 l). En ausencia de esa fuerza, si el marco es deslizante la película colapsa; si el marco fuera rígido, la fuerza la estaría ejerciendo el marco sobre la película (como la están ejerciendo los tres lados fijos).
Hay otra manera  de presentar la idea de tensión superficial que es preferible por muchos motivos. Imaginemos que desplazamos el lado deslizante una cantidad h hacia abajo; el área de la película se ha incrementado en 2 l h (dos caras!) mientras que la fuerza F  ha efectuado un trabajo F h, que es naturalmente la energía E empleada en el proceso. Reemplazando todo esto en la definición anterior, vemos que se puede también definir la tensión superficial como el coeficiente γ entre  la energía E necesaria para incrementar la superficie libre del líquido y el incremento de superficie ΔA provocado. El otras palabras, aumentar en ΔA el área de la película requiere una energía Eγ  ΔA . En vez de ser “fuerza por unidad de longitud”, la tensión superficial es ahora “energía por unidad de superficie”.  En esta forma se aplica muy directamente a muchos fenómenos, por ejemplo, explicar la forma de las pompas de jabón, y el hecho de que algunos insectos puedan caminar sobre la superficie del agua, y otras muchas cosas en las que ahora no debemos entrar.
Para el agua a temperatura ambiente, y vista como “energía por unidad de superficie”, la tensión superficial vale 72 · 10-3 Joule por metro cuadrado, o lo que es lo mismo 0,72 · 10-5 Joule por centímetro cuadrado. Fin del inciso.

Pasemos  al cuerpo principal del post. Imaginemos ahora una cierta cantidad, digamos de agua, y supongamos —recibido el mensaje de Feynman del post anterior— que está formada por moléculas, que en el estado líquido estarán ligadas entre sí por ciertas fuerzas (que no conocemos, sin que esa ignorancia nos impida llegar a conclusiones, como veremos). ¿Pueden separarse las moléculas que forman parte del volumen dado de agua? Claro, lo podemos hacer en nuestra cocina: pongamos el agua en un recipiente y calentemos hasta conseguir que el agua hierva. Y así, dejémoslo hasta que el agua se haya evaporado. Voilà! Ya hemos separado todas las moléculas, que ahora están dispersas en el ambiente de la cocina. ¿Cuál es el precio a pagar? Naturalmente, hemos debido emplear cierta cantidad de energía. No es difícil calcular cuanta: una parte para calentar el agua líquida desde la temperatura inicial hasta el punto de ebullición, y otra parte para la vaporización. Ambas cantidades son proporcionales a la masa del agua sobre la que actuemos. Para incrementar la temperatura de una masa de agua líquida, la energía necesaria es aproximadamente proporcional al incremento de temperaturas, y la constante de proporcionalidad (por unidad de masa y de temperatura) es la capacidad calorífica del agua. Una vez llegados a la temperatura de vaporización, se requiere otra cantidad de energía para pasar del estado líquido al de vapor sin que que ahora haya incremento la temperatura; la constante de proporcionalidad (por unidad de masa) se denomina entalpía de vaporización. El cálculo indica que para incrementar un volumen de agua desde temperatura ambiente (25 grados centígrados) hasta la vaporización completa en condiciones ordinarias se requieren 2570 Joules por cada gramo de agua, de los cuales 313 se invierten en calentar desde la temperatura inicial hasta la de evaporación y 2257 en vaporizar. Los valores necesarios de las dos constantes se pueden consultar en Internet aquí y aquí.

Cambiemos por un momento de tercio e imaginemos ahora una barra de pan de molde (o un salami), cuyo destino en la vida será ser cortado en rajas finas. Cada corte requiere una cierta cantidad de energía, que en este caso aportamos nosotros a mano (o una máquina cortadora). Qué tiene esto que ver con lo anterior? Pues que nos da la idea de otro método (éste sólo mental, claro está) para separar las moléculas. Imaginemos un cubo macroscópico de cualquier sustancia, de lado D, que supondremos formado por moléculas, idealizadas como piezas (cubitos, esferas, la forma precisa que imaginemos es irrelevante) de tamaño lineal desconocido (y presumiblemente muy pequeño), apiladas ordenadamente hasta formar el cubo grande y unidas entre sí por ciertas fuerzas (que no conocemos). En cada lado del cubo habrá un número muy grande N de estas piezas en fila, y este arreglo se extiende en las tres direcciones, de manera que por unidad de longitud del cubo grande habrá N/D moléculas, cuyo tamaño lineal individual será L=D/N, y en total habra N3 moléculas en el cubo original. Todo esto es obvio. La pregunta es: cómo determinar N?

Volvamos a la cantidad de agua que pretendemos separar en moléculas individuales, que vamos a imaginar ahora cómo colocada en un cubo de lado D. ¿Cómo podríamos separar las moléculas de agua hasta dejar el cubo reducido a una gran colección de moléculas sueltas? Es aquí donde interviene la imagen del salami.

1302Weisskopf2

Crédito de las imágenes: V Weisskopf & American Journal of Physics.

Con una navaja mucho más fina que la de Ockham :-), cortamos el cubo original en N rodajas, cada una de anchura que sea precisamente la de una molécula L; en total necesitaremos dar N cortes (bueno, precisamente N-1, pero dado que N será muy grande, la diferencia entre tomar N o N-1 es irrelevante). Con ello hemos separado el cubo en N rebanadas de espesor monomolecular, cada una con aún N2 moléculas. Si queremos separarlas todas, aun deberemos dar otras dos series de N cortes en las dos direcciones perpendiculares, siguiendo las otras dos aristas del cubo.

Así transformamos el cubo, un solo objeto que consta de N3 moléculas, primero en N rodajas cada una con N2 moléculas, después en N2 ristras monomoleculares, cada una con N moléculas, y finalmente, en N3 moléculas aisladas. Voilà!, ya tenemos el cubo separado en sus moléculas individuales. He aquí una bonita máquina de `monomolecularizar’, digna de haber aparecido en Cube. ¿Cual es el precio del proceso, en energía? Como hemos dado 3N cortes, debemos estimar la energía que necesitamos para cada corte y la total la podemos calcular multiplicando la de cada corte por 3N. Ello nos lleva a la pregunta clave: ¿cual es el coste energético de cada corte?

Cada corte ha creado una superficie libre de agua de área 2 D2 (dos caras, cada una de las cuales es un cuadrado de lado D) y por tanto ha requerido una energía E = 2 γ D2, donde γ es la tensión superficial del agua. Con un total de 3N cortes, la energía total necesaria habrá sido de 6 N γ D2. Si estimamos esta cantidad para un gramo de agua, que con su densidad ocupará un cubo de lado D = 1cm, la energía necesaria es de 6 N γ ·(1 cm2) lo que da 6 N · 0,72 · 10-5 Joule = 4,32 N · 10-5 Joule. Nótese que este resultado es lineal en el número de cortes necesarios en cada dirección, que es aún una cantidad desconocida.

La energía necesaria para disgregar por completo el volumen de agua en moléculas aisladas debe ser una cantidad fijada en la naturaleza, independiente del procedimiento que se emplee, luego nuestras dos estimaciones deben necesariamente coincidir. En la primera estimación, basada en el procedimiento de fuerza bruta de calentar un gramo de agua que ocupa un cubo de D = 1 cm de lado desde temperatura ambiente hasta su vaporización, se requieren 2570 Joules. En la segunda estimación, disgregar en moléculas individuales mediante el procedimiento del salami,  la misma cantidad de agua requiere 4,32 N · 10-5 Joule, donde N es el número de cortes paralelos a dar en cada una de las tres dimensiones del cubo. Igualando ambas cantidades, y despejando N resulta N = 105 · 2570 / 4,32 = 5,94 · 107. Así obtenemos que en cada arista de un cubo de agua de 1 cm de lado hay unos 60 millones de moléculas de agua en fila. El tamaño de cada molécula será LD / N que resulta en un valor L = 1,7 ·10-8 cm.

Para ser una estimación hecha con procedimientos tan básicos, no está nada mal; el valor real del “tamaño” de una molécula de agua (que claro está tampoco es ni un cubito ni una esfera) es de 3,16 · 10-8 cm. Así pues, en cuanto al orden de magnitud, que es lo que se pretendía, nuestro resultado es completamente correcto. Lo casi milagroso es que el valor obtenido sea tan cercano al valor real, dada la cantidad de simplificaciones (explícitas y sobre todo implícitas) que se han hecho. En el post anterior, la estimación para el tamaño de las “moléculas” de aceite era de 10-9 m, esto es, 10-7 cm, cuyo rango es unas 6 veces mayor del que obtenemos para el agua, lo que es esperable ya que en cualquier caso, las moléculas de trioleina son apreciablemente mayores que las de agua. El orden de magnitud está en la misma zona, como parece razonable esperar.

En el tercer y último post de esta serie haré algunos comentarios sobre este resultado (especialmente, sobre porqué debemos tomarnoslo más en serio de lo que podría parecer, ya que está aparentemente basado en imágenes clásicas que sabemos fundamentalmente inapropiadas), y daré las oportunas referencias (por si no ha quedado claro, esta idea no es mía, aunque es de esas que hacen a uno preguntarse ¿caramba, porqué esto no se me había ocurrido a mí?).

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6 respuestas a El tamaño de las moléculas (II)

  1. lcb dijo:

    Me parecen muy ilustrativos y pertinentes los post sobre el tamaño de los átomos, justo en este año que se conmemora el centenario del modelo atómico de Bohr. Aunque son muy conocidos los precedentes del pensamiento atomista y algunas estimaciones previas, me gustaría, con tu permiso Mariano, dejar aquí alguna breve glosa y referencias sobre el tema.
    En el primer apartado (Atomismo especulativo) del tercer capítulo (La realidad de los átomos) del libro de Pascual Jordan “La física del siglo XX” (Breviarios del Fondo de Cultura Económica, México, 1950, traducción de la primera edición alemana de 1938) se glosa el pensamiento de Demócrito: Como los movimientos de cada átomo singular se hallan regulados de acuerdo con la ley natural, nada arbitrario puede ocurrir en la naturaleza; nada ocurre por azar sino que todo procede de una causa y de la necesidad. Nuestros toscos sentidos no pueden percibir en su verdadera forma y naturaleza estos elementos extraordinariamente finos y no hacen más que experimentar sus efectos confusamente. “Sólo para la opinión existe la dulzura, sólo para la opinión la amargura, el calor, el frío, los colores; en verdad nada existe fuera de los átomos y el vacío”.

    El tercer apartado del mismo capítulo y libro se titula “Los límites de la divisibilidad de la materia” y comienza así: “Las experiencias diarias, que parecen mostrar una divisibilidad ilimitada de la materia, nos ofrecen, con sólo sencillos refinamientos, la certeza de que los átomos tienen que ser extremadamente pequeños, y que, por lo tanto, el número de átomos en un gramo de cualquier substancia tiene que ser extraordinariamente grande.” Luego define el número de Loschmidt (actualmente se denomina a esa cantidad número de Avogadro) y comenta varios “testimonios clarísimos de la divisibilidad de la materia”. Por ejemplo, si determinamos hasta qué grado de dilución en una masa grande de aire podemos seguir percibiendo el olor de substancias muy olorosas; o disolviendo un líquido de tinte muy fuerte en una cantidad grande de agua y observando el grado de dilución mínimo para percibir el teñido uniforme del agua. Luego comenta otras experiencias cotidianas, basadas en la observación de películas muy tenues de materia, que indican los límites que la estructura atómica impone a la subdivisión de la materia. Por ejemplo, aunque se pueden obtener panes de oro de unos 100 nanómetros (1nm es una milésima de micra), que muestran al trasluz una coloración verde, aún estamos lejos del límite último. Podemos ver en las películas iridiscentes de jabón que se forman a veces entre los dedos índice y pulgar al lavarnos las manos, que la diversidad y cambio rápido de sus colores prueba la variación de su espesor con la posición y con el tiempo. Las pequeñas manchas negras que aparecen a veces no son agujeros sino películas aún más delgadas. Produciendo estas películas en una armazón metálica en un recinto lleno de vapor (para prevenir la evaporación) pueden conservarse durante días. Así es como descubrió Newton que esas manchas negras son películas que reflejan la luz débilmente y que contienen zonas todavía más oscuras. La película más delgada obtenida por Newton era de unos 6 nanómetros. Pero la membrana más delgada que la sigue tiene exactamente un espesor doble. Si la más delgada es una monocapa de moléculas, la segunda es una bicapa.
    También podemos formar una película muy delgada haciendo que un poco de aceite se extienda por una gran superficie de agua. Las películas iridiscentes que se forman en el agua son tan delgadas como las de jabón. Se pueden formar películas aún más delgadas de aceite que no son visibles a simple vista pero si con instrumentos sencillos. Se han logrado tenuidades de 1 nm, y también se ha visto que el espesor de estas películas no varía continuamente.

    En el conocido libro de A. Pais “…subtle is the Lord” se relatan las varias maneras que desarrolló Einstein para determinar el número de Avogadro (N). Einstein hizo en 1905 varias propuestas. De hecho, el trabajo sobre el movimiento Browniano (recibido en Annalen der Physik el 11 de mayo de 1905) es la tercera ocasión en menos de dos meses en la que Einstein hace un descubrimiento fundamental ligado a la determinación de N. Y los tres métodos son muy distintos. Si me dejas, Mariano, los resumiré en otra nota.

  2. lcb, no necesitas ningun permiso para comentar aquí, claro (pero en todo caso, concedido está a perpetuidad). El tema que mencionas al final, la determinación del número de Avogadro, es extremadamente interesante, y aunque deba avergonzarme por ello aún (glupp) no he leido a fondo el libro de Pais. (El año pasado, en una circunstancia que menciono en el tercer post de esta serie, salió este asunto y tuve que pensar un rato hasta reconstruir cómo se hicieron las primeras determinaciones por parte de Loschmidt). Si te animas, como me sugieres, a hacer un resumen, encantado. Escribelo con calma cuando puedas y si estás de acuerdo, vemos cual es la mejor manera para ponerlo aquí, quizás en vez de un comentario sea mejor un post invitado, pues en los comentarios puede pasar más desapercibidos.

  3. lcb dijo:

    Debo rectificar mi comentario anterior sobre el número de Loschmidt. No es cierto que sea igual que el número de Avogadro. La relación entre ambos se puede ver en un artículo de Wikipedia
    (buscar Loschmidt constant). El número de Loschmidt es el número de moléculas por unidad de volumen del gas ideal a presión y temperatura dados.y vale 2.686 7774×10^(25) por metro cúbico a 0 °C y 1 atmósfera de presión. Merece la pena leer el mencionado artículo de Wikipedia, donde, además de su definición y su relación con el número de Avogadro, se explica como estimó Loschmidt (en 1865 !) que el tamaño de una molécula es aproximadamente 1 nm (nanometro). Para hacer esta estimación (la primera que se conoce del tamaño molecular), Loschmidt dedujo que el cociente del volumen del gas y el volumen combinado de todas las moleculas es igual a un octavo del cociente entre la trayectoria libre media (definida por Maxwell) y el diámetro de una molécula. Usando la imaginación “a la Weizsäcker” (ver el post III de Mariano sobre este tema), consiguió relacionar dichos volúmenes con cantidades medibles y obtuvo el orden de magnitud correcto del tamaño molecular.

    Hay que recordar que las moléculas pueden ser muy grandes. La molécula DNA puede tener miles de millones de átomos, los cuales pueden combinarse de maneras diferentes manteniendo ciertas reglas que mantengan la estructura global. Así es como el DNA codifica nuestra información genética. En todos los materiales las moléculas están moviéndose constantemente. Cuanto más enérgico es el movimiento más caliente está el material. Cuando nos frotamos las manos hacemos que las moléculas se muevan más rápido. ¿A qué velocidad se mueven? La respuesta es alarmante: la velocidad típica es la misma, aproximadamente, que la velocidad del sonido, unos 330 m/s. Son muy rápidas, pero, al menos en un sólido, no viajan muy lejos. Chocan con sus vecinas y retroceden, de modo que en promedio no cambian de posición, como los ciclistas de pista cubierta. Sirva esto como introducción a los métodos de estimación del número de Avogadro basados en el movimiento Browniano, que comentaré aquí, junto con Mariano, en otro momento.

  4. lcb, cierto que rectificar es de sabios. Pero en términos generales, la constante de Loschmidt y el número de Avogadro corresponden tan directamente a la misma idea que la distinción es un buen ejemplo de “… sutilezas de universitario” [Esta frase es casi un auténtico código en casa, pero dejaré su divertida explicación para otra ocasión]. En cualquier caso, como la precisión y la exactitud son o deben ser metas en sí mismas, pues OK con el comentario.

    Y es curioso notar que buscando un nombre asociado a este tipo de argumentos durante el S. XX, el de Weizsäcker sea uno de los primeros que vienen a la mente, como comentas. Ahora enlaza con el post III de esta serie: imaginación “a la Waterston”, “a la Weizsäcker”, “a la Weisskopf”. Tras verlo acabo de comprender que hay una razón para que esas ideas no se nos hayan ocurrido a nosotros, lo que nos falta es una W inicial. Al menos :-).

  5. Pingback: Del átomo al Higgs IV: La electrodinámica cuántica y los primeros ejemplo de la teoría cuántica de campos | Una vista circular

  6. Miguel A.F. Sanjuán dijo:

    La determinación experimental del numero de Avogadro fue un gran hito en la historia de la física realizado por el físico francés Jean Baptiste Perrin (1870-1942) y fue publicado en el año 1909

    http://pages.physics.cornell.edu/p510/w/images/p510/4/49/Perrin_1909.pdf

    y mereció por ello el Premio Nobel de Física en 1926. La enorme importancia de este aparentemente simple hecho es que pone fin al debate atomista y prueba las hipotesis de la teoría cinética establecidas por Maxwell y Boltzmann en el siglo XIX. La idea es muy sencilla: consiste en medir el desplazamiento cuadratico medio de una particula que sufre un movimiento browniano, que de acuerdo con los resultados de William Sutherland (1904) (anterior a Einstein), Albert Einstein (1905) , Marian Smoluchowski (1906) y Paul Langevin (1908), es directamente proporcional al tiempo. Dicha constante de proporcionalidad involucra además de ciertas propiedades fisicas de las particulas brownianas, la temperatura y la constante de Boltzmann, que está a su vez relacionada con la constante R de los gases y el numero de Avogadro, de modo que resulta relativamente sencillo determinar su valor.

    Un articulo sencillo y poco sofisticado sobre la importancia de enseñar el movimiento browniano en el curriculum de la escuela secundaria y sobre la enorme relevancia en el desarrollo moderno de la ciencia puede descargarse del enlace:

    https://www.dropbox.com/s/okcqrfml61p0cln/SSR317Jun2005p39.pdf

    Sobre movimiento browniano y tamaño de las moleculas:

    http://seit.unsw.adfa.edu.au/staff/sites/hrp/Literature/articles/karel3Avogadro.pdf

    Con respecto al comentario de lcb, indicar que efectivamente los numeros de Loschmidt y de Avogadro son diferentes, si bien el numero de Loschmidt aparece en textos de Física alemanes numericamente identico al de Avogadro llamandole indistintamente numero de Loschmidt y constante de Avogadro. (N_L= 6.02252 x 10^23 atom/mol. N_L wird LOSCHMIDT-Zahl (oder AVOGADRO-Konstante) genannt.)

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